那么x1+x2=-2,x1 25一元二次方程的根与 方法总结:如果方程ax2+bx+c= 系数的关系 0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x+x2= 教学目标 探究点二:一元二次方程的根与系数的 1.掌握一元二次方程的根与系数的关关系的应用 系:(重点) 【类型一】利用根与系数的关系求代 2.会利用根与系数的关系解决有关的数式的值 问题,(难点) 2设x,x2是方程2x2+4x-3=0的 两个根,利用根与系数的关系,求下列各式 的值 、情景导入 解下列方程,将得到的解填入下面的表 解析:先确定a,b,c的值,再求出x 格中,你发现表格中两个解的和与积和原来+x2与xx的值,最后将所求式子做适当变 的方程有什么联系? (1)x2-2x=0; (2)x2+3x-4=0 形把x+x2与xx的值整体代入求解即可 (3)x2-5x+6=0 解:根据根与系数的关系,得x1+x2 2,x1x2= 3 方程xxx+xxx (1)(x+2)x+2)=xx2+2(x+x2)+4 +2×(-2)+4=~3 合作探究 探究点一:一元二次方程的根与系数的 x2 x1x2 关系 例1利用根与系数的关系,求方程3x2(x1+x2)2-2xx2 (-2)2-2×(-2) 6x-1=0的两根之和、两根之积 X1x2 解析:由一元二次方程根与系数的关系 可求得 方法总结:先确定a,b,c的值,再求 解:这里a=3,b=6,c=-1 A=b2-4ac=62-4×3×(-1)=36+ 出x1+x2与x1x2的值,最后将所求式子做适 12=48>0, ∴方程有两个实数根 设方程的两个实数根是x1,x 当的变形,把x1+x与xx2的值整体代入求 解即i
*2.5 一元二次方程的根与 系数的关系 1．掌握一元二次方程的根与系数的关 系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的 问题．(难点) 一、情景导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表 格中，你发现表格中两个解的和与积和原来 的方程有什么联系？ (1)x 2－2x＝0； (2)x 2＋3x－4＝0； (3)x 2－5x＋6＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的 关系 利用根与系数的关系，求方程 3x 2 ＋6x－1＝0 的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系 可求得． 解：这里 a＝3，b＝6，c＝－1. Δ＝b 2－4ac＝6 2－4×3×(－1)＝36＋ 12＝48＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1＋x2＝－2，x1·x2＝－ 1 3 . 方法总结：如果方程 ax2 ＋bx＋c＝ 0(a≠0)有两个实数根 x1，x2，那么 x1＋x2＝ － b a ，x1x2＝ c a . 探究点二：一元二次方程的根与系数的 关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代 数式的值 设 x1，x2 是方程 2x 2＋4x－3＝0 的 两个根，利用根与系数的关系，求下列各式 的值： (1)(x1＋2)(x2＋2)； (2)x2 x1 ＋ x1 x2 . 解析：先确定 a，b，c 的值，再求出 x1 ＋x2 与 x1x2 的值，最后将所求式子做适当变 形，把 x1＋x2 与 x1x2 的值整体代入求解即可． 解：根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝ －2，x1x2＝－ 3 2 . (1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4 ＝－ 3 2 ＋2×(－2)＋4＝－ 3 2 ； (2) x2 x1 ＋ x1 x2 ＝ x2 2＋x1 2 x1x2 ＝ （x1＋x2）2－2x1x2 x1x2 ＝ （－2）2－2×（－3 2 ） － 3 2 ＝－ 14 3 . 方法总结：先确定 a，b，c 的值，再求 出 x1＋x2 与 x1x2 的值，最后将所求式子做适 当的变形，把 x1＋x2 与 x1x2 的值整体代入求 解即可．
【类型二】旦知方程一根,利用根与 化简整理,得m2-2m-3=0 系数的关系求方程的另二根 解得m=3或m=-1 囹3已知方程5x2+kx-6=0的一个 当m=-1时,方程为x2+x+1=0, 根为2,求它的另一个根及k的值 此时A=12-40, 方程有两个不相等的实数根 综上所述,m=3 方程另一个根,然后根据两根之和求出k的 易错提醒:本题由根与系数的关系求出 解:设方程的另一个根是x1,则2x 字母m的值,但一定要代入判别式验算,字 6 母m的取值必须使判别式大于0,这一点很 k 容易被忽略 三、板书设计 元二次 方法总结:对于一元二次方程ax2+bx 方程的根 与系数的 +c=0(a≠0,b2-4ac≥0),当已知二次项 关系 系数和常数项时,可求得方程的两根之积 关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根x1,x2,那么x1+x 当已知二次项系数和一次项系数时,可求得 方程的两根之和 利用根与系数的关系求代数式的值 应用已知方程一根,利用根与系数的关 【类型三】判别式及根与系数关系的应用系求 综合应用 4已知a、B是关于x的一元二次方 判别式及根与系数的关系的综合应用 程x2+(2m+3)x+m=0的两个不相等的实 教学反思 数根,且满足a+=-1,求m的值 让学生经历探索,尝试发现韦达定理, 感受不完全的归纳验证以及演绎证明.通过 解析:利用韦达定理表示出a+B,四,观察、实践、讨论等活动,经历发现问题、 再由+1=-1建立方程,求解m的值 发现关系的过程,养成独立思考 的习惯,培养学生观察、分析和综合判断的 解:∵αβ是方程的两个不相等的实数能力,激发学生发现规律的积极性,激励学 根 生勇于探索的精神.通过交流互动,逐步养 ∴a+B=-(2m+3),aB=m2 成合作的意识及严谨的治学精神 (2m+3) 又 b ap 2
【类型二】 已知方程一根，利用根与 系数的关系求方程的另一根 已知方程 5x 2＋kx－6＝0 的一个 根为 2，求它的另一个根及 k 的值． 解析：由方程 5x 2＋kx－6＝0 可知二次 项系数和常数项，所以可根据两根之积求出 方程另一个根，然后根据两根之和求出 k 的 值． 解：设方程的另一个根是 x1，则 2x1＝ － 6 5 ， ∴x1＝－ 3 5 .又∵x1＋2＝－ k 5 ， ∴－ 3 5 ＋2＝－ k 5 ，∴k＝－7. 方法总结：对于一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a≠0，b 2－4ac≥0)，当已知二次项 系数和常数项时，可求得方程的两根之积； 当已知二次项系数和一次项系数时，可求得 方程的两根之和． 【类型三】 判别式及根与系数关系的 综合应用 已知 α、β 是关于 x 的一元二次方 程 x 2＋(2m＋3)x＋m2＝0 的两个不相等的实 数根，且满足1 α ＋ 1 β ＝－1，求 m 的值． 解析：利用韦达定理表示出 α＋β，αβ， 再由1 α ＋ 1 β ＝－1 建立方程，求解 m 的值． 解：∵α、β 是方程的两个不相等的实数 根， ∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2 . 又∵ 1 α ＋ 1 β ＝ α＋β αβ ＝ －（2m＋3） m2 ＝－1， 化简整理，得 m2－2m－3＝0. 解得 m＝3 或 m＝－1. 当 m＝－1 时，方程为 x 2＋x＋1＝0， 此时 Δ＝1 2－4＜0，方程无解， ∴m＝－1 应舍去． 当 m＝3 时，方程为 x 2＋9x＋9＝0， 此时 Δ＝9 2－4×9＞0， 方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m＝3. 易错提醒：本题由根与系数的关系求出 字母 m 的值，但一定要代入判别式验算，字 母 m 的取值必须使判别式大于 0，这一点很 容易被忽略． 三、板书设计 一元二次 方程的根 与系数的 关系 关系：如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2 ＝－ b a ，x1x2＝ c a 应用 利用根与系数的关系求代数式的值 已知方程一根，利用根与系数的关 系求方程的另一根 判别式及根与系数的关系的综合应用 让学生经历探索，尝试发现韦达定理， 感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过 观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、 发现关系的过程，养成独立思考 的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的 能力，激发学生发现规律的积极性，激励学 生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养 成合作的意识及严谨的治学精神