探究点一:正方形的判定 第2课时正方形的判定 【类型一】先证明是矩形再证明是正 方形 数学目标一 1.掌握正方形的判定方法;(重点 2.会运用正方形的判定条件进行有关 1己知:如图所示,在Rt△ABC中 的论证和计算.(难点) ∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点 D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F求证: 四边形CEDF是正方形 数学过程 解析:欲证明四边形CEDF是正方形, 情景导入 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、先根据∠C=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,证 正方形,那么思考一下,它们之间有怎样的 包含关系?请填入下图中 明四边形CEDF是矩形,再证明一组邻边相 等即可 形 证明:如图所示,过点D作DG⊥AB 于点G DF⊥AC,DE⊥BC ∠DFC=∠DEC=90° 通过填写让学生形象地看到正方形是 特殊的矩形,也是特殊的菱形,还是特殊的 又∠C=90° ∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直 平行四边形:而正方形、矩形、菱形都是平角的四边形是矩形) 行四边形:矩形、菱形都是特殊的平行四边 ∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,DG⊥AB, 形 DF= DG 怎样判断一个四边形是矩形? 同理可得DE=DG∴DE=DF 2.怎样判断一个四边形是菱形? ∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边 3.怎样判断一个四边形是平行四边 相等的矩形是正方形) 4.怎样判断一个平行四边形是矩形、 方法总结:正方形的判定方法有很多, 菱形? 议一议:你有什么方法判定一个四边形可以先证明它是矩形,再证明它有一组邻边 是正方形? 三个角是直角 相等或对角线互相垂直;或先证明它是菱 矩形 定义 形,再证明它有一个角是直角或对角线相 四 平行四边形 正方形 形三个判定定理 对角线 定义互相垂直 四边相等 【类型二】先证明是菱形再证明是正 对角线互相垂直平分形 例2如图,EG,FH过正方形ABCD 、合作探究
第 2 课时 正方形的判定 1．掌握正方形的判定方法；(重点) 2．会运用正方形的判定条件进行有关 的论证和计算．(难点) 一、情景导入 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、 正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的 包含关系？请填入下图中． 通过填写让学生形象地看到正方形是 特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的 平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平 行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边 形． 1．怎样判断一个四边形是矩形？ 2．怎样判断一个四边形是菱形？ 3．怎样判断一个四边形是平行四边 形？ 4．怎样判断一个平行四边形是矩形、 菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形 是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的判定 【类型一】 先证明是矩形再证明是正 方形 已知：如图所示，在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，∠BAC，∠ABC 的平分线交于点 D，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F.求证： 四边形 CEDF 是正方形． 解析：欲证明四边形 CEDF 是正方形， 先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证 明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相 等即可． 证明：如图所示，过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵DF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°. 又∠C＝90°， ∴四边形 CEDF 是矩形(有三个角是直 角的四边形是矩形)． ∵AD 平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG. 同理可得 DE＝DG.∴DE＝DF. ∴四边形 CEDF 是正方形(有一组邻边 相等的矩形是正方形)． 方法总结：正方形的判定方法有很多， 可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边 相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱 形，再证明它有一个角是直角或对角线相 等． 【类型二】 先证明是菱形再证明是正 方形 如图，EG，FH 过正方形 ABCD
的对角线的交点O,且EG⊥FH求证:四边 解:(1)相等且互相平分(2)相等(3) 形EFGH是正方形 垂直且相等(4)垂直(5)相等 解析:已知EG⊥FH要证四边形EFGH 方法总结:从对角线上分析特殊四边形 为正方形,则只需要证四边形的对角线EG,之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质 HF互相平分且相等即可,根据题意可通过与判别,防止混淆.菱形、矩形、正方形都 三角形全等来证OE=OH=OG=OF 是平行四边形,且是特殊的平行四边形,特 证明:∵四边形ABCD为正方形 OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°, 殊之处在于:矩形是有一个角为直角的平行 ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH 四边形;菱形是有一组邻边相等的平行四边 形;而正方形是兼具两者特性的更特殊的平 ∵EG⊥FH, 行四边形,它既是矩形,又是菱形 ∴∠BOE+∠BOH=90° 三、板书设计 ∠COH=∠BOE, ∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH 同理可证:OE=OF=OG OE=OF=OG=OH 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形 且邻边相等且一个内角为直 道角 ∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF, 平行四边 正方形 或对角线互相垂直且相等) 四边形EFGH为正方形 方法总结:对角线互相垂直平分且相等 的四边形是正方形 矩形 探究点二:正方形、菱形、矩形与平行歇学反思 四边形之间的关系 圆例3填空: 经历正方形判定条件的探索过程,发展学生 (1)对角线 的四边形初步的综合推理能力,主动探究的学习习 是矩形; 惯,逐步掌握说理的基本方法.理解特殊的 (2)对角线 的平行四边形平行四边形之间的内在联系,培养学生辩证 是矩形; 看问题的观点 (3)对角线 的平行四边形是 正方形 (4)对角线 的矩形是 正方形; (5)对角线 的菱形是 正方形
的对角线的交点 O，且 EG⊥FH.求证：四边 形 EFGH 是正方形． 解析：已知 EG⊥FH，要证四边形 EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线 EG， HF 互相平分且相等即可，根据题意可通过 三角形全等来证 OE＝OH＝OG＝OF. 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°， ∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH. ∵EG⊥FH， ∴∠BOE＋∠BOH＝90°， ∴∠COH＝∠BOE， ∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH. 同理可证：OE＝OF＝OG， ∴OE＝OF＝OG＝OH. 又∵EG⊥FH， ∴四边形 EFGH 为菱形． ∵EO＋GO＝FO＋HO，即 EG＝HF， ∴四边形 EFGH 为正方形． 方法总结：对角线互相垂直平分且相等 的四边形是正方形． 探究点二：正方形、菱形、矩形与平行 四边形之间的关系 填空： (1)对角线________________的四边形 是矩形； (2)对角线____________的平行四边形 是矩形； (3)对角线__________的平行四边形是 正方形； (4)对角线________________的矩形是 正方形； (5)对角线________________的菱形是 正方形． 解：(1)相等且互相平分 (2)相等 (3) 垂直且相等 (4)垂直 (5)相等 方法总结：从对角线上分析特殊四边形 之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质 与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都 是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特 殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行 四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边 形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平 行四边形，它既是矩形，又是菱形． 三、板书设计 经历正方形判定条件的探索过程，发展学生 初步的综合推理能力，主动探究的学习习 惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的 平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证 看问题的观点