两边开平方,得x 第2课时用配方法求解较 或x-2= 复杂的一元二次方程 5+√15 5=√15 2 2 教学目标一 易错提醒:用配方法解一元二次方程 1.会用配方法解二次项系数不为1的 元二次方程:(重点) 时,易出现以下错误:(1)方程一边忘记加常 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解 一元二次方程.(难点) 数项;(2)忘记将二次项系数化为1;(3)在二 次项系数化为1时,常数项忘记除以二次项 系数;(4)配方时,只在一边加上一次项系数 、情景导入 某辆汽车在公路上行驶,它行驶的路程半的平方 s(m)和时间s)之间的关系为:s=10+3r2, 探究点二:配方法的应用 那么行驶200m需要多长时间? 【类型一】利用配方法求代数式的值 团2已知a2-3a+b2 b,37 216=0,求a 4√b的值 二、合作探究 解析:观察方程可以知道,原方程可以 探究点一:用配方法解二次项系数不为 1的一元二次方程 用配方法转化为两个数的平方和等于0的形 1用配方法解方程 式,得到这两个数都为0,从而可求出a,b 的值,再代入代数式计算即可 解析:先把方程二次项的系数化为 解:原等式可以写成:(a-)2+(b 再配方成x+m)2=m(n≥0)的形式,最后开 平方即可 解:方程两边同除以一,得x2-5x+ 34×~4 b 移项,得x-5x=-5 方法总结:这类题目主要是配方法和非 负数性质的综合应用,通过配方把等式转化 配方,得x2-5x+(-2)=-2+(-2 为两个数的平方和等于0的形式是解题的关 即(x
第 2 课时 用配方法求解较 复杂的一元二次方程 1．会用配方法解二次项系数不为 1 的 一元二次方程；(重点) 2．能够熟练地、灵活地应用配方法解 一元二次方程．(难点) 一、情景导入 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s(m)和时间 t(s)之间的关系为：s＝10t＋3t 2， 那么行驶 200m 需要多长时间？ 二、合作探究 探究点一：用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 用配方法解方程：－1 2 x 2＋ 5 2 x－ 5 4 ＝ 0. 解析：先把方程二次项的系数化为 1， 再配方成(x＋m) 2＝n(n≥0)的形式，最后开 平方即可． 解：方程两边同除以－1 2 ，得 x 2－5x＋ 5 2 ＝0. 移项，得 x 2－5x＝－ 5 2 . 配方，得 x 2－5x＋(－ 5 2 ) 2＝－ 5 2 ＋(－ 5 2 ) 2， 即(x－ 5 2 ) 2＝ 15 4 . 两边开平方，得 x－ 5 2 ＝± 15 2 . 即 x－ 5 2 ＝ 15 2 或 x－ 5 2 ＝－ 15 2 . 所以 x1＝ 5＋ 15 2 ，x2＝ 5－ 15 2 . 易错提醒：用配方法解一元二次方程 时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常 数项；(2)忘记将二次项系数化为 1；(3)在二 次项系数化为 1 时，常数项忘记除以二次项 系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数 一半的平方． 探究点二：配方法的应用 【类型一】 利用配方法求代数式的值 已知 a 2－3a＋b 2－ b 2 ＋ 37 16＝0，求 a －4 b的值． 解析：观察方程可以知道，原方程可以 用配方法转化为两个数的平方和等于0的形 式，得到这两个数都为 0，从而可求出 a，b 的值，再代入代数式计算即可． 解：原等式可以写成：(a－ 3 2 ) 2＋(b－ 1 4 ) 2 ＝0. ∴a－ 3 2 ＝0，b－ 1 4 ＝0，解得 a＝ 3 2 ，b＝ 1 4 . ∴a－4 b＝ 3 2 －4× 1 4 ＝－ 1 2 . 方法总结：这类题目主要是配方法和非 负数性质的综合应用，通过配方把等式转化 为两个数的平方和等于0的形式是解题的关
【类型二】利用配方法求代数式的最 值或判定代数式的值与0的关系 例3]请用配方法说明:不论x取何值, 解:设花砖路面的宽为xm根据题意, 代数式x2-5x+7的值恒为正 得(48-2x)(24-2x)=。×48×24 解析:本题是要运用配方法将代数式化 整理,得x2-36x=-128 为一个平方式加上一个常数的形式 配方,得x2-36x+(-18)2=-128+( 18)2 解:∵x2-5x+7=x-5x+(22+7 即(x-18)2=196 两边开平方,得x-18=±1 65=(x-5}2+,而(x-52≥0, 即x-18=14,或x-18=-14 所以x=32(不合题意,舍去),x2=4 故花砖路面的宽为4m. ∴代数式x2-5x+7的值恒为正 方法总结:列一元二次方程解决实际问 方法总结:对于代数式是一个关于x的 题时,一定要检验方程的根,这些根虽然满 二次式且含有一次项,在求它的最值时,常 足所列的一元二次方程,但未必符合实际问 常采用配方法,将原代数式变形为一个平方 题,因此,求出一元二次方程的解之后,要 式加—个常数的形式,根据一个数的平方是 把不符合实际问题的解舍去 一个非负数,从而就可以求出原代数式的最 三、板书设计 用配方法解二次项系数不为1的一元二 次方程的步骤: 【类型三】利用配方法解决一些简单 (1)把原方程化为一般形式 的实际问题 (2)二次项系数化为1,方程两边都除以 囹4如图,一块矩形土地,长是48m,二次项系数: 宽是24m,现要在它的中央划一块矩形草 (3)移项,把常数项移到右边,使方程左 地,四周铺上花砖路,路面宽都相等,草地边只含二次项和一次项 面积占矩形土地面积的5,求花砖路面的宽 (4)配方,方程两边都加上一次项系数 半的平方 解析:若设花砖路面宽为xm,则草地 (5)用直接开平方法解方程 教学反思 的长与宽分别为48-2xm及(24-2m,根 通过对比用配方法解二次项系数是1的一元 二次方程,发现解二次项系数不是1的一元 据等量关系∶矩形草地的面积=。×矩形土 二次方程的方法,经历从简单到复杂的过 地的面积,即可列一元二次方程求解 程,对配方法全面认识.培养学生发现问题 的能力,通过学生亲自解方程的感受与经
键． 【类型二】 利用配方法求代数式的最 值或判定代数式的值与 0 的关系 请用配方法说明：不论 x 取何值， 代数式 x 2－5x＋7 的值恒为正． 解析：本题是要运用配方法将代数式化 为一个平方式加上一个常数的形式． 解：∵x 2－5x＋7＝x 2－5x＋( 5 2 ) 2＋7－ ( 5 2 ) 2＝(x－ 5 2 ) 2＋ 3 4 ，而(x－ 5 2 ) 2≥0， ∴(x－ 5 2 ) 2＋ 3 4 ≥ 3 4 . ∴代数式 x 2－5x＋7 的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于 x 的 二次式且含有一次项，在求它的最值时，常 常采用配方法，将原代数式变形为一个平方 式加一个常数的形式，根据一个数的平方是 一个非负数，从而就可以求出原代数式的最 值． 【类型三】 利用配方法解决一些简单 的实际问题 如图，一块矩形土地，长是 48m， 宽是 24m，现要在它的中央划一块矩形草 地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地 面积占矩形土地面积的5 9 ，求花砖路面的宽． 解析：若设花砖路面宽为 xm，则草地 的长与宽分别为(48－2x)m 及(24－2x)m，根 据等量关系：矩形草地的面积＝5 9 ×矩形土 地的面积，即可列一元二次方程求解． 解：设花砖路面的宽为 xm.根据题意， 得(48－2x)(24－2x)＝ 5 9 ×48×24. 整理，得 x 2－36x＝－128. 配方，得 x 2－36x＋(－18)2＝－128＋(－ 18)2， 即(x－18)2＝196. 两边开平方，得 x－18＝±14. 即 x－18＝14，或 x－18＝－14. 所以 x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4. 故花砖路面的宽为 4m. 方法总结：列一元二次方程解决实际问 题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满 足所列的一元二次方程，但未必符合实际问 题，因此，求出一元二次方程的解之后，要 把不符合实际问题的解舍去． 三、板书设计 用配方法解二次项系数不为1的一元二 次方程的步骤： (1)把原方程化为一般形式； (2)二次项系数化为 1，方程两边都除以 二次项系数； (3)移项，把常数项移到右边，使方程左 边只含二次项和一次项； (4)配方，方程两边都加上一次项系数一 半的平方； (5)用直接开平方法解方程． 通过对比用配方法解二次项系数是1的一元 二次方程，发现解二次项系数不是 1 的一元 二次方程的方法，经历从简单到复杂的过 程，对配方法全面认识．培养学生发现问题 的能力，通过学生亲自解方程的感受与经
验,总结成文,帮助学生养成系统整理知识 的学习习惯
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