确定一元二次方程中字母的值或取 值范围
确定一元二次方程中字母的值或取 值范围
类型—根据方程根的情况求字母的值或取值范围 1·(2014·陕西)若ⅹ=-2是关于x的一元二次方程x aX a2=0的一个根,则a的值为(B A·1或4B.-1或-4 C·-1或4D.1或-4 2·若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的 实数根,则k的取值范围是(A) A·k1 C·k=1D.k≥0
类型一 根据方程根的情况求字母的值或取值范围 1．(2014·陕西)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x 2－ 5 2 ax ＋a 2＝0 的一个根，则 a 的值为( ) A．1 或 4 B．－1 或－4 C．－1 或 4 D．1 或－4 2．若关于 x 的一元二次方程 x 2＋2x＋k＝0 有两个不相等的 实数根，则 k 的取值范围是( ) A．k＜1 B．k＞1 C．k＝1 D．k≥0 B A
3·(2014南通)如果关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等 的实数根,那么m=9 4·若关于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+1-m2=0无 实数根,则m的取值范围是m 5·已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根 5 则m的取值范围是m<4且m1
3．(2014·南通)如果关于x的方程x 2－6x＋m＝0有两个相等 的实数根，那么m＝____． 4．若关于x的一元二次方程－x 2＋(2m＋1)x＋1－m2＝0无 实数根，则m的取值范围是______________． 5．已知关于x的一元二次方程(m－1)x 2＋x＋1＝0有实数根 ，则m的取值范围是__________________． 9 m＜－ 5 4 m≤ 5 4 且 m≠1
6·已知关于x的方程(a-1)x2-(a+1)x+2=0 (1)若方程有两个不等的实数根,求a的取值范围; (2)若方程的根是正整数,求整数a的值 解:(1)由题意有△=[-(a+1)2-4(a-1)×2>0,整理得 (a-3)2>0,∴a3.又∵方程为一元二次方程,∴a-10, 解得a≠1,∴aA且a3; (2)原方程整理得:[(a-1)x-2](x-1)=0,∴x1 2 、a-1,∵方程的根是正整数,∴a-1=1或a-1=2, a=2或a=3
6．已知关于x的方程(a－1)x 2－(a＋1)x＋2＝0. (1)若方程有两个不等的实数根，求a的取值范围； (2)若方程的根是正整数，求整数a的值． 解：(1)由题意有△＝[－(a＋1)]2－4(a－1)×2＞0，整理得 (a－3) 2＞0，∴a≠3.又∵方程为一元二次方程，∴a－1≠0， 解得a≠1，∴a≠1且a≠3； (2)原方程整理得：[(a－1)x－2](x－1)＝0，∴x1＝1，x2 ＝ 2 a－1 ，∵方程的根是正整数，∴a－1＝1 或 a－1＝2， ∴a＝2 或 a＝3
7·(2015山西模拟)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x k2+k=0 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根, 第三边BC的长为8,当△ABC是等腰三角形时,求k的值 解:(1)证明:∵Δ=(2k+1)2-4k2+k)=1>0,∴方 程有两个不相等的实数根;
7．(2015·山西模拟)已知关于x的一元二次方程x 2－(2k＋1)x ＋k 2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根， 第三边BC的长为8，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 解：(1)证明：∵Δ＝(2k＋1) 2－4(k 2＋k)＝1＞0，∴方 程有两个不相等的实数根；
(2)解:一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解为x= 2k+1 2 即x1=k,x2=k+1.k<k十1,∴AB+AC.当 AB=k,AC=k+1,且AB=BC时,△ABC是等腰三角 形,则k=8;当AB=k,AC=k+1,且AC=BC时,△ABC 是等腰三角形,则k十1=8,解得k=7,所以k的值为7 或8
(2)解：一元二次方程 x 2－(2k＋1)x＋k 2＋k＝0 的解为 x＝ 2k＋1± 1 2 ，即 x1＝k，x2＝k＋1.∵k＜k＋1，∴AB≠AC.当 AB＝k，AC＝k＋1，且 AB＝BC 时，△ABC 是等腰三角 形，则 k＝8；当 AB＝k，AC＝k＋1，且 AC＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k＋1＝8，解得 k＝7，所以 k 的值为 7 或 8
类型二利用韦达定理求代数式的值或字母的取值范围 8·(2014·攀枝花)若方程x2+x-1=0的两实根为a,B 那么下列说法不正确的是(D) A·a+6=-1B.aB=-1 C·a2+B2=3D.-+ 9·已知a,B是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2 =0的两个不相等的实数根,且满足+ B 则m的 值是(B A·3或-1B.3 C·1D.-3或
类型二 利用韦达定理求代数式的值或字母的取值范围 8．(2014·攀枝花)若方程 x 2＋x－1＝0 的两实根为α，β， 那么下列说法不正确的是( ) A．α＋β＝－1 B．αβ＝－1 C．α2＋β2＝3 D. 1 α ＋ 1 β ＝－1 9．已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x 2＋(2m＋3)x＋m 2 ＝0 的两个不相等的实数根，且满足 1 α ＋ 1 β ＝－1，则 m 的 值是( ) A．3 或－1 B．3 C．1 D．－3 或 1 D B
10·已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的 平方和等于11,则k的值为1. 11·(2014十堰)已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x 1=0 (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足(x1-x2)2=16 xx2,求实数m的值
10．已知关于x的方程x 2＋(2k＋1)x＋k 2－2＝0的两实根的 平方和等于11，则k的值为____ 1 ． 11．(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程x 2＋2(m＋1)x ＋m2－1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1 ，x2 ，且满足(x1－x2 ) 2＝16－ x1 x2 ，求实数m的值．
解:(1)由题意有△=[2m+1)2-4(m2-1)≥0,整理得8m+ 8≌0,解得m≥-1,∴实数m的取值范围是解得:m>-1; (2)由两根关系得,x1+x2=-2(m+1),x1x2=m2-1∴(x1 x2)2=16-x1x2,∴(x1+x2)2-3x1x2-16=0,∴[-2(m+ 1)]2-3(m2-1)-16=0,∴m2+8m-9=0,解得m=-9 或m=1.,∵m≥-1,∴,m=1
解：(1)由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋ 8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是解得：m≥－1； (2)由两根关系得，x1＋x2 ＝－2(m＋1)，x1·x2 ＝m2－1.∵(x1 －x2 ) 2＝16－x1 x2，∴(x1＋x2 ) 2－3x1 x2－16＝0，∴[－2(m＋ 1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9 或m＝1.，∵m≥－1，∴m＝1
12·已知方程a(2x+a)=x(1-x)的两个实数根为x1,x2 设S=x1+/x2 (1)当a=-2时,求S的值; (2)当a取什么整数时,S的值为1? (3)是否存在负数a,使S2的值不小于25?若存在,请求 出a的取值范围;若不存在,请说明理由 解:(1)当a=-2时,原方程可化为x2-5x+4=0.解得x1 4,x,=1,∴S=2+1=3;
12．已知方程 a(2x＋a)＝x(1－x)的两个实数根为 x1，x2， 设 S＝ x1＋ x2. (1)当 a＝－2 时，求 S 的值； (2)当 a 取什么整数时，S 的值为 1? (3)是否存在负数 a，使 S 2的值不小于 25？若存在，请求 出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)当a＝－2时，原方程可化为x 2－5x＋4＝0.解得x1 ＝4，x2 ＝1，∴S＝2＋1＝3；