元二次方程的解法
一元二次方程的解法
知回顾 元二次方程的求根公是什么? 般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是 b±√b2-4ac 2a 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么? 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式, 进而确定a、b、c的值,再求出b2-4ac的值, 当b2-4ac20的前提下,再代入公式求解 当b2-4ac<0时,方程无实数解(根)
知识回顾 1.一元二次方程的求根公是什么？ a b b ac x 2 4 2 − − = 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），当b 2-4ac≥0时，它的根是 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式， 进而确定a、b、c的值，再求出b 2-4ac的值， 当b 2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解； 当b 2-4ac＜0时，方程无实数 解(根)
知识回顺3.用公式法解下列方程: (1)x2+x-1=0 (2)x2-2√3×+3=0 (3)2x2-2x+1=0 观察上面解一元二次方程的过程,一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数 次项系数及常数项有关吗?能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢?
知识回顾 3.用公式法解下列方程： ⑴ x 2＋x－1 = 0 ⑵ x 2－2 ⑶ 2x 2－2x＋1 = 0 3 x＋3 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、 一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢？
尝試: 不解方程,你能判断下列方程根的情况吗? (1)x2+2x-8=0 (2)×2=4X-4 (3)×2-3x=-3 答案:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根 你能得出什么结论? 可以发现b2-4ac的符号决定着方程的解
尝试： 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x 2＋2x－8 = 0 ⑵ x 2 = 4x－4 ⑶ x 2－3x = －3 （3）没有实数根 答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； 你能得出什么结论？ 可以发现b 2－4ac的符号决定着方程的解
概括总结 由此可以发现一元二次方程ax2+bx+c=0 (az0)的根的情况可由b2-4ac来判定 当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac 当一元二次方程有两个相等的实数根时,b2-4 ac 当一元二次方程没有实数根时,b2-4ac<
概括总结 ，x2=2 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b 2－4ac来判定 当b 2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b 2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b 2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b 2－4ac ＜ 0
梳念机固 1.方程3×2+2=4x的判别式b2-4a=-8 所以方程的根的情况是方程无实数根 2.下列方程中,没有实数根的方程是(D) A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D2y2+6y+7=0 3方程ax2+bx+c=0(a#O)有实数根,那么总成立的式 子是O A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0
概念巩固 1.方程3x2+2=4x的判别式b 2-4ac= ， 所以方程的根的情况是 . 2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 -8 方程无实数根 D 3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式 子是（ ） A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 D
典型例题 例1不解方程,判断下列方程根的情况 (1)-x2+2√6x-6=0 (2)x2+4x=2 (3)4x2+1=-3x (4)x2-2mx+4(m-1)=0 解(1)∵b2-4ac=24-4×(-1)×(-6)=0 该方程有两个相等的实数根 (2)移项,得x2+4x-2=0 b2-4ac=16-4×1×(-2)=16-(-8) =16+8=24>0 ∴该方程有两个不相等的实数根
典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况： （1）-x 2+ x-6=0 （2）x 2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x 2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b 2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ∴该方程有两个相等的实数根 （2） 移项，得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8） =16+8=24＞0 ∴该方程有两个不相等的实数根 2 6
典型例题 例1不解方程,判断下列方程根的情况: (3)4x2+1=-3X (4)x2-2mx+4(m-1)=0 解(3)移项,得4x2+3×+1=0 b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7<0 该方程没有实数根 (4)“b2-4ac=(2m)2-4×1×4(m-1) =4m2-16(m-1) 4m2-16m+16 =(2m-4)220 该方程有两个实数根
典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况： （3）4x2+1=-3x （4）x 2-2mx+4（m-1）=0 解（3）移项，得4x2+3x+1=0 ∵b 2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0 ∴该方程没有实数根 （4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0 ∴该方程有两个实数根
典型例题 例2:m为任意实数,试说明关于x的方程 x2-(m-1)x-3(m+3)=0恒有两个不相等 的实数根。 解:b2-4ac=[(m-)2-43(m+3 =m2+10m+37 =m2+10m+52-52+37 =(m+5)2+12 不论m取任何实数,总有(m+5)2≥0 b2-4ac=(m+5)2+12≥12>0 不论m取任何实数,上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题 例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程 x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 的实数根。 解： ( ) ( ) ( 5) 12 10 5 5 37 10 37 4 1 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + − + = + + − = − − − + m m m m m b ac m m ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0 ∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题 例3:m为何值时,关于x的一元二次方程 2x2-(4m+1)x+2m2-1=0: (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? 解:∵a=2,b=-(4m+1),c=2m2-1 b24ac=(-(4m+1))24×2(2m2-1)=8m+9 (1)若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0,即8m+9>0m> (2)若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0即8m+9=0∴m (3)若方程没有实数根,则b2-4ac8时,方程有两个不相等的实数根:当m=8时, 方程有两个相等的实数根;当m<一一时,方程没有实数根
典型例题 例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b 2 -4ac=〔-（4m+1）〕2 -4×2（2m2 -1）=8m+9 8 9 （1）若方程有两个不相等的实数根，则b − 2 -4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 8 9 （2）若方程有两个相等的实数根，则b 2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= − 8 9 （3）若方程没有实数根，则b 2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜ − 8 9 − 8 9 − 8 9 − ∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时， 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根