第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数 28.1.1三角函数的定义
第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 28.1.1 三角函数的定义
课前预习 1.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8, 则tanA的值为(D) A. 3-534 D 4543 2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=Q,AC=7, 那么BC为(C) A sin a B cos a Ctan a D cot a 3.已知锐角α,且sinα=cos37°,则a等于 (C) A.37° B.63 53 D.45°
课前预习 1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=6，BC=8， 则tanA的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知Rt△ABC中，∠C=90° ，∠CAB=α，AC=7， 那么BC为（ ） A.7sin α B.7cos α C.7tan α D.7cot α 3.已知锐角α，且sin α=cos 37°，则α等于 （ ） A.37° B.63° C.53° D.45° 3 5 4 5 3 4 4 3 D C C
4.如图,在直角三角形ABC中,B ∠C=90°,AC=12,B=13, 12 则sinB的值等于13 A 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC:BC=3:4,那 B 么cosA的值为5 斜边 课堂精讲 知识点1正弦的定义 A C 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐 角A确定,那么∠A的对边与斜边的比是一个固定 值.锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine) 记作sinA,即sinA=4的对边_a 斜边
4.如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90° ，AC=12，B=13， 则sin B的值等于 ． 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC：BC=3：4，那 么cos A的值为 ． 12 13 3 5 课堂精讲 知识点1 正弦的定义 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90° ，如果锐 角A确定，那么∠A的对边与斜边的比是一个固定 值．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)， 记作sin A，即sin A= . A = a c 的对边 斜边
注意:(1)正弦是在直角三角形中定义的,反映了 直角三角形边与角的关系,是两条线段的比 值,它没有单位,当角的度数确定时,其比 值随之确定,与三角形的边的长短无关,即 与三角形的大小无关 (2)sinA是一个完整的符号,不能写成 “sin·A”,书写时习惯省略∠A的角的符号 “∠”,但当用三个大写字母表示角时(如 ∠ABC),其正弦应写成sin∠ABC,不能写 成 sin abc.sin2A表示(sinA)2,即 sinA·sinA,而不能写成sinA2. (3)在直角三角形中,因为0<a<c,所以由正 弦的定义可知0<sinA<1
注意：(1)正弦是在直角三角形中定义的，反映了 直角三角形边与角的关系，是两条线段的比 值，它没有单位，当角的度数确定时，其比 值随之确定，与三角形的边的长短无关，即 与三角形的大小无关． (2) sin A是一个完整的符号，不能写成 “sin·A”，书写时习惯省略∠A的角的符号 “∠”，但当用三个大写字母表示角时(如 ∠ABC)，其正弦应写成sin ∠ABC，不能写 成sin ABC. sin2 A表示(sin A)2，即 sin A·sin A，而不能写成sin A2． (3)在直角三角形中，因为O<a<c，所以由正 弦的定义可知O<sin A<1．
【例1】在Rt△ABC中,∠A=90°,求sinC和sinB 的值 C 解析:利用勾股定理求出BC 再由锐角三角函数值的定义F 求出sinC和sinB的值 解:在Rt△ABC中,BC、AB2+AC2=34, AB5√34 sin c BC 34 AC 34 sin B BC 34 变式拓展
【例1】在Rt△ABC中，∠A=90°，求sin C和sin B 的值． 解析：利用勾股定理求出BC， 再由锐角三角函数值的定义 求出sin C和sin B的值． 解： 在Rt△ABC中，BC= = ， ∴sin C= ； sin B= ． 2 2 AB AC + 34 5 34 34 AB BC = 3 34 34 AC BC = 变式拓展
1.如图是4×4的正方形网格,点C B 在∠BAD的一边AD上,且A、B、C 为格点,sin∠BAD的值是_2 知识点2余弦、正切的定义 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A 的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边 与邻边的比也分别是确定的,我们把∠A的邻边与 斜边的比叫做∠A的余弦( CoSine),记作cosA,即 COS A ∠A的邻边b ;把∠A的对边与邻边的比叫 斜边 B 做∠A的正切( tangent),记作 ∠A的对边a tanA,即tanA ∠A的邻边bA C
1.如图是4×4的正方形网格，点C 在∠BAD的一边AD上，且A、B、C 为格点，sin∠BAD的值是 . 2 2 知识点2 余弦、正切的定义 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边 与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与 斜边的比叫做∠A的余弦( cosine)，记作cos A,即 cos A= ；把∠A的对边与邻边的比叫 做∠A的正切( tangent)，记作 tan A，即tan A= . A = b c 的邻边 斜边 A = A a b 的对边 的邻边
注意:(1)余弦、正切都是一个比值,是没有单位 的数值 (2)余弦、正切只与角的大小有关,而与三 角形的大小无关 (3)cosA,tanA是整体符号,不能写成 cOS·A,tan·A.cos2A和tan2A分别 表示(cosA)2和(tanA)2,即 cOSA·cosA和tanA·tanA, 而不能写成coSA2和tanA2 (4)当用三个字母表示角时,角的符号“∠ 不能省略,如cos∠ABC,tan∠ABC. (5)因为00, b>0,所以tanA>0
注意：(1)余弦、正切都是一个比值，是没有单位 的数值． (2)余弦、正切只与角的大小有关，而与三 角形的大小无关． (3) cos A，tan A是整体符号，不能写成 cos·A，tan·A .cos2 A和tan2 A分别 表示(cos A)2和(tan A)2，即 cos A·cos A和tan A·tan A， 而不能写成cos A2和tan A2． (4)当用三个字母表示角时，角的符号“ ” 不能省略，如cos ∠ABC，tan ∠ABC. (5)因为O0， b>0，所以tan A>O.
【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求 ∠A,∠B的余弦值和正切值, B 解析:先用勾股定理求出AC的长 再用余弦和正切的定义求值 解:∠C=90°, A C AC=√AB2-BC2=√52-32=4 AC 4 BC 3 COS A == tan A AB 5 AC 4 Bc 3 AC 4 COS B tan b= AB 5 bc 3
【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求 ∠A, ∠B的余弦值和正切值． 解析：先用勾股定理求出AC的长， 再用余弦和正切的定义求值． 解：∠C= 90° ， AC= =4． cos A= ，tan A= ， cos B= ，tan B= . 2 2 2 2 AB BC − = − 5 3 4 5 AC AB = 3 4 BC AC = 3 5 BC AB = 4 3 AC BC =
变式拓展 2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,则 4 Cos B=5 3.如图,△ABC的顶点都是 正方形网格中的格点, 则tan∠BAC等于3 知识点3锐角三角函数的定义 对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确 定的值与它对应,所以sinA是A的函数,同样的, COsA,tanA也是A的函数.即锐角A的正弦、余弦 正切都是么A的锐角三角函数
变式拓展 2.Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=10，BC=8，则 cos B= ． 3.如图，△ABC的顶点都是 正方形网格中的格点， 则tan∠BAC等于 ． 4 5 1 3 知识点3 锐角三角函数的定义 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确 定的值与它对应，所以sin A是A的函数，同样的， cos A，tan A也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、 正切都是么A的锐角三角函数
注意:(1)锐角三角函数的实质是一个比值,这些 比值只与角的大小有关,sinx、cosx、 tanx都是以锐角x为自变量的函数,当x确定 后,它们的值都是唯一确定的.也就是说, 锐角三角函数值随角度的变化而变化 (2)锐角三角函数都不可取负值 【例3】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5, 求∠A的锐角三角函数数值 解析:利用勾股定理列式 求出AC,然后根据 锐角的三角函数列 式即可
注意：(1)锐角三角函数的实质是一个比值，这些 比值只与角的大小有关，sin x、cos x、 tan x都是以锐角x为自变量的函数，当x确定 后，它们的值都是唯一确定的．也就是说， 锐角三角函数值随角度的变化而变化． (2)锐角三角函数都不可取负值. 【例3】在Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=13，BC=5， 求∠A的锐角三角函数数值． 解析：利用勾股定理列式 求出AC，然后根据 锐角的三角函数列 式即可．