21.24一元二次方程的根与系 数的关系 (少部分)
21.2.4 一元二次方程的根与系 数的关系 （少部分）
知识点一元二次方程的根与系数的关系 Q新知导学 填写下面表格 元二次方程 1 1+32 xI Iz x2+3x-4=0 x2-6x-9=0 2x2+3x+1=0 思考:观察表中x1+x2与x1x2的值,它们与前 面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系?从 中你能发现什么规律? (利用求根公式可以证明一元二次方程根与系数的关 系,详细可参看课本)
2若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、 则 :1+x -b/a c/a 3.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2,则x1 +2 p ,x12= 对应训练 4.若一元二次方程x2-7x=-3的两根为x1,x2,则x1 +2 7 ,x12 3,(x1-2)(x2-2) 7 5.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根 且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别为-3/2,1 6.若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒 数,则a
-b/a c/a -p q 7 3 -7 -3/2,1 -1
1.(2012·湖北武汉)若x1、x2是一元二次方程x2-3x +2=0的两根,则x1+x2的值是(C) B.2 C.3 D.1 2.已知x=1是方程x2+mx-2=0的一个根,则方程的 另一个根是(B B.-2 C.1 D.2 3.(2012·四川攀枝花)已知一元二次方程:x2-3x-1 =0的两个根分别是x1、x2,则x2x2+x1x2的值为(A A.-3 B.3 C.-6 D.6 4若方程x2-x+k=0的两根之比是2,则k的值为(C B C 5.(2013·湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田)已知α,β 是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则a2 +aB+B2的值为(D) C.23 D.27
C B A C D
6.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个 不相等的实根x1、x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a 的值是(B C.1或-1 D.2 7.菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、 BO的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3 =0的根,则m的值为(A) B.5 C.5或-3 5或3 8.在解某个方程时,甲看错了一次项的系数,得出的两 个根为-9,-1;乙看错了常数项,得出的两根为8, 2,则这个方程正确的解为1,9
B A 1,9
9.已知方程x2+4x-2m=0的一个根a比另一个根β 4,则a=-4,B=0,m=0 10.已知x1,x2是方程x2+3x+1=0的两实数根,则x +8x,+20=-1 11.(2013·四川自贡)已知关于x的方程x2-(a+b)x +ab-1=0,x1、x,是此方程的两个实数根,现给出 三个结论:①x 122:2012 < ab; 3x1+x2<a+ b2则正确结论的序号是①②.(填上你认为正 确结论的所有序号)
-4 0 0 -1 ①②
2设x1,x2是关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m≠ 0)的两个根,且满足+ 求m的值. 解:∵△=[(m-1)]2-4×1X(-m)=(m+1)2≥0, 对于m≠0的任意实数,方程恒有两个实数根x 192 又∵x1+x2=m-1,x1x2=m,m≠0, 1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2-(m-1)/m=-2/3, m=3. 13.若关于x的一元二次方程2x2-2x-3m-1=0有两 个实数根x1,x2,且x1x2>x1+x2-4,试求m的取值 范围. 解:易知x1+x2=1,x12x2=-(3m+1)/2 故有-(3m+1)/2>1-4,即m<5/3 又∵△=48(3m+1)20知m2-1/2 m的取值范围是-1/2≤m<5/3
解：∵∆=[-(m-1)]2-4X1X(-m)=(m+1)2≥0, ∴对于m≠0的任意实数，方程恒有两个实数根x1,x2， 又∵x1+x2=m-1，x1x2=-m，m≠0， ∴1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=-(m-1)/m=-2/3, ∴m=3. 解: 易知x1+x2=1，x1x2=-(3m+1)/2 故有-(3m+1)/2 >1-4,即m<5/3. 又∵∆=4+8(3m+1)≥0 知m≥-1/2. ∴m的取值范围是-1/2≤m<5/3
14.已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个 实数根的平方和等于4,求实数k的值 解:设方程的两根为x1、x2,由根与系数的关系得, x1+x2=k-1,x1x2=k+1. 又∵x12+x2=4,即(x1+x2)-2x1x2=4, (k-1)2-2(k+1)=4,即k2-4k-5=0, k=5或k=-1 当k=5时,△=[-(k-1)]2-4(k+1)=80, k的值为-1
解：设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得， x1+x2=k-1，x1x2=k+1. 又∵x1 2+x2 2=4,即(x1+x2)-2x1x2=4, ∴(k-1)2-2(k+1)=4,即k 2-4k-5=0， ∴k=5或k=-1. 当k=5时，∆=[-(k-1)]2-4(k+1)=-80, ∴k的值为-1
15.(2012·四川内江)如果方程x2+px+q=0的两个 根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q,请根据以 上结论,解决下列问题: (1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求出 个一元二次方程,使它的两个根分别是已知 方程两根的倒数; (2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0, 求+的值. 解:(1)设方程x2+mx+n=0(m≠0)的两个根分别是x1,x2 则1/x1+1/x2=(x1+x2)/x2x2m/n /x11/x2=1/x1x2=1/n 若一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数, 则这个一元二次方程是x2+m/nx+1/n=0 (2)①当a=b时,原式=2; ②当ab时,可知a,b是x2-15x-5=0的解 a+b=15,ab=5, a/b+b/a=[(a+b)2-2ab]/ab=-47
解：(1)设方程x 2+mx+n=0(n≠0)的两个根分别是x1，x2， 则1/x1 +1/x2=(x1+x2)/x1x2=-m/n, 1/x1•1/x2=1/x1x2=1/n, 若一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是x 2+m/n•x+1/n =0； (2)①当a=b时，原式=2； ②当a≠b时，可知a，b是x 2 -15x-5=0的解 ∴a+b=15，ab=-5， ∴a/b + b/a=[(a+b)2-2ab]/ab=-47