热点专题一一元二次方程的概念及解法 1.下列方程中关于x的一元二次方程的是(A) A.3(x+1)2=2(x+1)B.+1-2=0 C ax+bx tc=0 D.x2+2x=x2-1 2.用配方法解方程3x2-6+1=0,则方程可变形为 B.3(x-1)2 C.(3x-1)2=1 D 3.解方程(2x+3)(x+1)=(x+3)(x+1)的比较简单 的方法宜选用(D) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 4.已知方程x2+bx+a=0有一根为x=-a(a≠0),则 下列代数式的值恒为常数的是(D) A. ab B C a+b b
A D D D
5.用适当的方法解下列方程 (1)x(x+4)=8x+12; x1=6 2 (2)(3x-2) 1.x 2 (3)2x(x+2) .1-a (4)x2-.x+1=0. x1=3+1,x,=3
热点专题三根的判别式及根与系数的关系 6.(2013·山东潍坊)已知关于x的方程kx2+(1-k)x 1=0,下列说法正确的是(C A.当k=0时,方程无解 B.当k=1时,方程有一个实数解 C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解 D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解 7.(2013·广东广州)若5k+20<0,则关于x的一元二 次方程x2+4x-k=0的根的情况是(A) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 8.关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根,则整 数a的最大值是(C) B.7 C.8 D.9 9.(2013·湖北黄冈)已知一元二次方程x2-6x+c=0 有一个根为2,则另一根为(C B.3 D.8
C A C C
10.关于x的一元二次方程x2-mx+5(m-5)=0的两 个正实数根分别为x1,x2,且2x1+x2=7,则m的值 为6 11.若方程x2-3x+1=0的两个实数根为x1、x2,则一 +一的值为7 12.(2012·四川南充)关于x的一元二次方程x2+3x +m-1=0的两个实数根分别为x1,x2 (1)求m的取值范围(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0.求m的值 解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0 的两个实数根分别为x1,x2, △≥0,即32-4(m-1)≥0, 解得皿≤13/4 (2)由已知可得x1+x2-3,x1x2=m1, 又2(x1+x2)+x1x2+10=0 2X(-3)+m-1+10=0,m=3
解：(1)∵关于x的一元二次方程x 2+3x+m-1=0 的两个实数根分别为x1,x2， ∴∆≥0，即3 2-4(m-1)≥0, 解得m≤13/4. (2)由已知可得x1+x2=-3，x1x2=m-1， 又2(x1+x2)+x1x2+10=0 ∴2X(-3)+m-1+10=0,∴m=-3 6 7
13.(2012·湖北鄂州)关于x的一元二次方程x2-(m 3)x n 0 (1)证明:方程总有两个不相等的实数根; (2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x lx2|-2,求m的值及方程的根 (1)证明:△=[-(m3)]2-4×1×(-m2) =(m-3)2+4m2=(m-3)2+(2m) m-3与2m不同时为0, (m-2)2+(2m)2>0,即△>0, 方程总有两个不相等的实数根 (2)解:由题意有x1+x2m-3, x1|-|x2|=2, x12+ 2-2x1x2|=4 2 x1x2=m2≤0, x12+x2+2x1x2=4,即(x1+x2)2=4, (m-3)2=4, m=1或5.当m=1时,x1=-1+√2,x2=1-√2; 当m=5时,x3=1+√26,x41-√26
(1)证明： Δ=［-(m-3)］2-4×1×（-m 2） =(m-3)2+4m2=(m-3)2+(2m)2. ∵m-3与2m不同时为0， ∴(m-2)2+(2m)2>0，即Δ>0， ∴方程总有两个不相等的实数根. (2)解：由题意有x1+x2=m-3， ∵|x1|-|x2|=-2， ∴x1 2+x2 2-2|x1x2|=4， ∵x1x2=-m 2≤0， ∴x1 2+x2 2+2x1x2=4，即（x1+x2）2=4， ∴(m-3)2=4， ∴m=1或5.当m=1时，x1=-1+√2，x2=-1-√2； 当m=5时，x3=1+√26，x4=1-√26
热点专题 元二次方程的实际应用 14.(2013·黑龙江哈尔滨)某商品经过连续两次降价 销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次 降价的百分率为20% 15.(2012·江苏南京)某汽车销售公司6月份销售某 厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销 售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部 汽车的进价为27万元;每多售出1部,所有售出的 汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家根据销 售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内 (含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以 上,每部返利1万元 1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进 价为26.8万元
20% 26.8
(2)如果汽车的售价为28方元/部,该公司计划当 月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车? (盈利=销售利润+返利) 解:设需要售出x部汽车 由题意可知,每部汽车的销售利润为 28-[27-0.1(x-1)]=0.1x+0.9(万元) 当0≤x≤10时 根据题意,得x°(0.1x+0.9)+0.5x=12 整理,得x2+14x-120=0.解这个方程, 得x120(不合题意,舍去),x2=6 当x>10时,根据题意,得x·(0.1x+0.9)+x=12. 整理,得x2+19x-120=0.解这个方程, 得x324(不合题意,舍去), x4=5,因为5<10,所以x=5(舍去) 答:需要售出6部汽车
解：设需要售出x部汽车. 由题意可知，每部汽车的销售利润为 28-［27-0.1(x-1)］=0.1x+0.9(万元）. 当0≤x≤10时， 根据题意，得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12. 整理，得x 2+14x-120=0.解这个方程， 得x1=-20（不合题意，舍去），x2=6. 当x＞10时，根据题意，得x•(0.1x+0.9)+x=12. 整理，得x 2+19x-120=0.解这个方程， 得x3=-24（不合题意，舍去）， x4=5，因为5＜10，所以x=5（舍去）. 答:需要售出6部汽车
16.(2013·福建泉州)某校为培养青少年科技创新能 力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运 动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的 两端A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运+A B乙 动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l 3t+t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半 圆的长度为21cm (1)甲运动4s后的路程是多少? (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了 多少时间? (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了 多少时间? 解:(1)当t=4时,k12×42+3/2×4=14(cm) (2)设甲运动了ms后第一次相遇, 根据题意,得:12m2+32m+4m=21, 解得m1=3m2=-14(不合题意,舍去), 答:甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了3s (3)设它们运动了ns后第二次相遇, 根据题意,得:1/2n2+3/2n+4n=21×3 解得n=7,n2=-18(不合题意,舍去 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s
解：（1）当t=4时，l=12×4 2+3/2×4=14(cm). （2）设甲运动了ms后第一次相遇， 根据题意，得：12m2+32m+4m=21， 解得m1=3,m2=-14(不合题意，舍去)， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3s. （3）设它们运动了n s后第二次相遇， 根据题意，得：1/2n2+3/2n+4n=21×3 解得n1=7,n2=-18(不合题意，舍去) 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s