21.22公式法
21.2.2公式法
知识点一一元二次方程根的判别式 1.利用前面所学解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0).移项,得ax2+bx=-c,二次项系数化为1 得x2+b/a°x=c/a,配方,得x2+b/a·x+(b/2a)2= -c/a+(b/2a)2(2a)4a b2-4a.因为a≠0 所以4a2>0,当b2-4ac≥0时 2-4C≥0,所以x 4 b±√b2-4ac 2a
ax2+bx=-c x 2+b/a•x=-c/a x 2+b/a•x+(b/2a)2= -c/a+(b/2a)2
2.根据上面的结论,你能得到什么启示? 1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数 根 (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根 这里b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的 判别式,通常用希腊字母“4”来表示 3.不解方程,判断下列方程的根的情况 (1)x2-2x+1=0;有两个相等的实数根 (2)3x2+4x+5=0 无实数根 (3)-x2+7x+6=0.有两个不相等的实数根
判别式 有两个相等的实数根 无实数根 有两个不相等的实数根
识点三用公式法解一元二次方程 1.一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当 △≥0时,方程的实数根为:=一b0-4a,这个 2a 式子叫作一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)的 求根公式利用求根公式直接求得方程的解,这种解 元二次方程的方法叫做公式法 2.(2012·上海)如果关于x的一元二次方程x2-6x+c 0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是 c>9 3.若用公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 互为相反数,则必须满足b=0且ac<0
求根公式 公式法 c>9 b=0且ac<0
选择题. 1.利用求根公式求5x2+=6的根时,a,b,c的值分 别为(C) A.5.-,6 B.5,6, 2.方程x2-4x=0中,b2-4ac的值为(B) A.-16 B.16 C.4 D.-4 3.(2013·四川宜宾)若关于x的一元二次方程x2+2x +k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (A) A.h1 C.h=1 D.h=0
A B C
4一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a与c异 号,那么这个方程(B) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能确定根的情况 5.下列方程没有实数根的是(C) A.x2+2x-1=0 B.x2+22x+2=0 C.3x2-x+1=0 D.-x2-x+2=0 6.方程x2+x-1=0的一个根是(D) B D
C D B
7.(2012·四川广安)已知关于x的一元二次方程(a 1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值 范围是(C) A.a>2 B.a<2 C.a<2且a≠1 D.a<-2 8.(2012·湖北襄阳)如果关于x的一元二次方程kx V2k+1x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取 值范围是(D A k< B.h<且h≠0 C ≤h< D.-≤h<且h≠0
D C
填空题. 9已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不 相等实数根,那么k的最大整数值为0 10.已知a、b、c为三角形的三边长,且关于x的一元二 次方程(b-c)x2+2(a-b)x+b-a=0有两个相等 的实数根,那么这个三角形一定是等腰三角形 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0 有实数根,则m可取的非负整数值有5个
0 等腰 5
12.用公式法解下列方程 (1)x2+4x+3=0 (2)x2+ 3x (3)2x2-42=4x; (4)5x2=4x-1 解:(1)∵a=1,b=4,c=3,(3)∵a=√2,b=√4,c=4√2, △=b2-4ac=4 △=16+4XV2X4V2=48, x=(-4士√4)/2 ∴x=(4√18)/2√2, x1=-1,x2=3; 即x1=√2+√6,x2=√2-√6 (2)∵a=1,b=3,c=3/2,(4)方程化为5x2-4x+1=0, △=9-4X1X3/2=3, a=5,b=-4,c=1, x1=(-3±√3)/24=1620=4<0, x1=(-3+√3)/2,故原方程没有实根 x2=(-3-√3)/2
解:(1)∵a=1，b=4，c=3， ∴∆=b2-4ac=4 ∴x=(-4±√4)/2 ∴x1=-1,x2=-3； (2)∵a=1,b=3,c=3/2, ∴∆=9-4X1X3/2=3, ∴x1 =(-3±√3)/2 ∴x1 =(-3+√3)/2 , x2 =(-3-√3)/2 (3)∵a=√2,b=√4,c=-4√2, ∴∆=16+4X√2 X4√2=48, ∴x=(4±√18)/2√2 , 即x1=√2+√6，x2=√2-√6; (4)方程化为5x2-4x+1=0, ∵a=5,b=-4,c=1, ∴∆=16-20=-4<0, 故原方程没有实根
13.(2013·北京)已知关于x的一元二次方程x+2x+ 2k-4=0有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围; (2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值 解:(1)△=4-4(2k-4)=20-8k, 方程有两个不相等的实根, △>0,即20-8k>0, k<5/2 (2)∵k是正整数, 0<k<5/2,即k=1或2, x=-1士√(5-2k),且方程的根为实数, 5-2k为完全平方数 当k=1时,5-2k=3,当k=2时,5-2k=1, k=2
解： （1）∆=4-4（2k-4）=20-8k， ∵方程有两个不相等的实根， ∴∆>0，即20-8k>0， ∴k<5/2. （2）∵k是正整数， ∴0<k<5/2，即k=1或2， ∵x=-1±√(5-2k),且方程的根为实数， ∴5-2k为完全平方数. 当k=1时，5-2k=3，当k=2时，5-2k=1， ∴k=2