因式分解
因式分解
、复习回顾 1、什么叫因式分解?我们已经学过哪种因式分解方法? 2、什么叫公因式?提公因式时,确定公因式的两个条件 是什么? 3、因式分解与整式乘法之间有何关系? 4、填空: (1)(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)(a+b)2=a2+2ab+b2 (3)(a-b)2=a2-2ab+b2
一、复习回顾 1、什么叫因式分解？我们已经学过哪种因式分解方法？ 2、什么叫公因式？提公因式时，确定公因式的两个条件 是什么？ 3、因式分解与整式乘法之间有何关系？ 4、填空： (1) （a＋b)(a－b)= _________ (2) （a＋b)²= __________ (3) (a－b)²= ___________ a²-b² a²+2ab+b² a²-2ab+b²
二、运用公式法: 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式 反过来就是把多项式分解因式.于是有: a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b) 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解 因式这种分解因式的方法叫做运用公式法
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式 反过来就是把多项式分解因式.于是有： a²-b²=(a+b)(a-b) a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解 因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 二、运用公式法：
三、利用平方差公式因式分解: 1.平方差公式 (1)公式:a2b2=(a+b)(a-b) (2)请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式? (3)形式和特点: 运用条件:两个数的平方的差的形式(即公式的左边); 运用结果:这两个数的和与这两个数的差的积(即公式的右 边,是两个二项式的乘积)
三、利用平方差公式因式分解： 1．平方差公式 （1）公式：a²-b²=(a+b)(a-b) （2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？ （3）形式和特点： 运用条件：两个数的平方的差的形式（即公式的左边）； 运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即公式的右 边，是两个二项式的乘积）
(4)例子 分解因式 ①、x2-16 ②、9m2-4n2 ③、(x+p)2(x+q) 解:①x216=x2-42=(x+4)(x-4) a2-b2=(a+b)(a-b) ②29m24n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)3m-2n) (a+b)(a-b)
（4）例子： 分解因式： ①、x²-16 ②、9m²-4n² 、（x+p)²-(x+q)² a²- b² ↓ ↓ = (a+b) (a-b) ↓ ↓ ↓ ↓ 解： ① x²-16=x²-4²=(x+4)(x-4) ② 9m²- 4n²= (3m)²- (2n)²=(3m+2n)(3m-2n) a² - b² ↓ ↓ = ( a + b ) ( a – b ) ↓ ↓ ↓ ↓
③(X+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)[(x+p)-(x+q =(2x+p+q)(p-q) 归纳:公式中的a、b不仅可以代表单项式,也可以代表多项 式,只要符合平方差公式的形式,就可以应用公式法进行 因式分解
(x+p)²-(x+q)² 归纳:公式中的a、b不仅可以代表单项式，也可以代表多项 式，只要符合平方差公式的形式，就可以应用公式法进行 因式分解。 a² - b² ↓ ↓ = ( a + b ) ( a – b ) ↓ ↓ ↓ ↓ = (2x+p+q) (p-q) = [(x + p )+(x + q)] [(x + p) - ( x + q)]
2.变式巩固练习 变式一:把下列各式分解因式 (1)1-25b2 (2)x2y2-z2 (3)-0.01n2+m2 解:(1)1-25b2=12-(5b)2=(1+5b)(1-5b) 2) =(xy)2-z2=(x+z)(xy-z) (3)-0.01n2+m2=-001n2+m2=(m)2-(0.1n)2 =(m+0.n)(m-0.n)
2．变式巩固练习 变式一：把下列各式分解因式. （1）1-25b2 （2）x 2y 2 -z 2 （3） -0.01n2+m2 解：（1） 1-25b2 =12 -(5b)2=(1+5b)(1-5b) （2） x 2y 2 -z 2 =(xy)2 - z 2 =(xy+z)(xy-z) （3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2 -(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)
变式二:把下列各式分解因式 1)(a+b+c)2(a-b+c)2(2)16(a-b)2-9(a+b)2 (3)169Xx2-121(x-2y)2 解:(1)(a+b+c)2-(a-b+c)2 [(a+b+c)+(a-b+c)][(a+b+c)-(a-b+c) (2a+2c)2b 4b(a+c)
变式二：把下列各式分解因式. （1）(a+b+c)2 -(a-b+c)2 （2）16(a-b)2 -9(a+b)2 （3）169x2 -121(x-2y)2 解：（1） (a+b+c)2 -(a-b+c)2 = [(a+b+c)+(a-b+c)] [(a+b+c)-(a-b+c)] = (2a+2c)2b = 4b(a+c)
(2)16(a-b)29(a+b)2 [4(a-b)2-[3(a+b) [(4a-4b)+(3a+3b)][(4a-4b)-(3a+3b (4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) (7a-b)(a-7b) (3)169Xx2-121(x2y)2 (13x)2+11(X2y) [13x+11(X2y)][13x-11(x2y) 13x+11x22y)(13x-11x+22y) (24x-22y)(2x+22y) 2(12x-11y)2(X+1ly) =4(12x-11y)(x+1ly)
（2）16(a-b)2 -9(a+b)2 = [4(a-b)]2 - [3(a+b)] 2 = [(4a-4b)+(3a+3b)] [(4a-4b)-(3a+3b)] = (4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) = (7a-b)(a-7b) （3）169x2 -121(x-2y)2 = [13x+11(x-2y)] [13x-11(x-2y)] = (13x+11x-22y)(13x-11x+22y) = (24x-22y)(2x+22y) = 2(12x-11y)2(x+11y) = 4(12x-11y)(x+11y) = (13x)2+[11(x-2y)] 2
变式三:把下列各式分解因式 (1) (2)x4y4(3)a2(a2-1)-a2+1 解: (2) (3)a2(a2-1)-a2+ XIX =(x2)2(y2)2 (a2-1)-(a2-1) x2(x+1)(X-1)=(x2+y2)(x2y2) =(a2-1)(a2-1 =(x2+y2)(x+y)(Xy) (a+1)(a-1)(a+1)(a-1) =(a+1)2(a-1)2 注意:(1)如果多项式各项有公因式,那么先提公因式,再 进一步分解 (2)因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解 为止
变式三：把下列各式分解因式. （1）x 5 -x³ (2) x4 -y 4 (3) a2 (a2 -1)-a 2+1 解： (1) x5 -x³ (2) x4 -y 4 (3) a2 (a2 -1)-a 2+1 = x³(x2 -1) =(x2 ) 2 -(y 2 ) 2 =a2 (a2 -1)-(a2 -1) = x³(x+1)(x-1) =(x2+y 2 )(x2 -y 2） =(a2 -1)(a2 -1) =(x2+y 2 )(x+y)(x-y） =(a+1)(a-1) (a+1)(a-1) =(a+1)2 (a-1)2 注意：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提公因式，再 进一步分解。 （2）因式分解，必须进行到每个多项式因式不能分解 为止