4.5相似三角形的性质及其应用 第1课时相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质 4.5相似三角形的性质及其应用
1·(4分)如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的 影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离 是3m,则点P到AB的距离是(C) 10 B Do m 2·(4分)如果三角形的重心在它的一条高线上,则这个三角形 定是(A) A·等腰三角形B.直角三角形 C·等边三角形D.等腰直角三角形 3·(4分)△ACB∽△A′B′C′,对应中线的比为2:3,且BC 边上的高是53,则B′C′边上的高为75 4·(4分)如图所示,△ABC∽△AB1C1,ADAD1分别是△ABC △A1B1C1的角平分线,BC=6cm,B1C1=4cm,AD=48cm,则 AD1的长为32 cm
1．(4 分)如图所示，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的 影子为 CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点 P 到 CD 的距离 是 3 m，则点 P 到 AB 的距离是 ( ) A. 5 6 m B. 6 7 m C. 6 5 m D. 10 3 m 2．(4 分)如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一 定是 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．(4 分)△ACB∽△A′B′C′，对应中线的比为 2∶ 3，且 BC 边上的高是 5 3，则 B′C′边上的高为________． 4．(4 分)如图所示，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC， △A1B1C1的角平分线，BC＝6 cm，B1C1＝4 cm，AD＝4.8 cm，则 A1D1的长为___3.2____cm. C A 7.5
5.(8分)如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,AD,A′ AD D′分别是边BC,B′C′上的中线,求证: k A′D AB BC AC 证明:∵△ABC∽△A′B′C′,∴ A′B′B′C′A′C′ BC BD k又∵AD,A′D′分别是边BC,B′C′上的中线 B′D′ B′C C…∴:AB BC BD A′B′B′D ∠B=∠B′,∴△ABD∽△A′B′D B AD AB k A′D′A′B
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ AB A′B′ ＝ BC B′C′ ＝ AC A′C′ ＝ k.又∵AD，A′D′分别是边 BC，B′C′上的中线，∴ BD B′D′ ＝ 1 2 BC 1 2 B′C′ ＝ BC B′C′ .∴ AB A′B′ ＝ BD B′D′ ，∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D ′，∴ AD A′D′ ＝ AB A′B′ ＝k 5．(8 分)如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，AD，A′ D′分别是边 BC，B′C′上的中线，求证： AD A′D′ ＝k
6·(8分)如图,在△ABC中,AM是BC边上的中线,直线DN ∥AM,交AB于点D,交CA的延长线于点E,交BC于点N AD AE 求证: AB AC AD MN AE 证明:∵直线DN∥AM· AB BM AC MC∵在△ABC中,AM是BC边上的中 AD AE 线,∴MB=MC, AB AC
6．(8 分)如图，在△ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，直线 DN ∥AM，交 AB 于点 D，交 C A 的延长线于点 E，交 BC 于点 N. 求证：AD AB＝ AE AC. ,) ,) 证明： ∵直线 DN ∥AM，∴ AD AB ＝ MN BM， AE AC ＝ MN MC，∵ 在 △ABC 中，AM 是 BC 边上的中 线，∴MB ＝MC，∴ AD AB ＝ AE AC
7·(9分)如图所示,△ABC中,AD是∠BAC的平分线.求证 ab:AC=bd. DC 证明:过B作BE∥AC,交AD的延长线于点E ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.又∵BE∥AC,∴∠2 ∠3.∴∠1=∠3,∴AB=BE又∵BE∥AC,∴△ BDE∽△CDA,∴BE:AC=BD:DC, 所以AB:AC=BD:DC
7．(9 分)如图所示，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证： AB∶AC＝BD∶DC. 证明：过 B 作 BE∥AC，交 AD 的延长线于点 E， ∵AD 平分∠BAC，∴∠1＝∠2.又∵BE∥AC，∴∠2 ＝∠3.∴∠1＝∠3，∴AB＝BE.又∵BE∥AC，∴△ BDE∽△CDA，∴BE∶AC＝BD∶DC， 所以 AB∶AC＝BD∶DC
8·(9分)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,CE∥ AB,求证:AB·DE=AD·AC 证明:∵:CE∥AB,∴△ABD∽△ECD,∴DE AD EC AB ∴AD是∠BAC的外角平分线 ∴∠EAF=∠CAE,"CE∥AB, ∴∠EAF=∠AEC,∴.∠AEC=∠CAE, DE AC AC=EC,∴ AD AB AB·DE=AD·AC
8．(9 分)如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，CE∥ AB，求证：AB·DE＝AD·AC. 证明：∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴ DE AD＝ EC AB，∵AD 是∠BAC 的外角平分线， ∴∠EAF＝∠CAE，∵CE∥AB， ∴∠EAF＝∠AEC，∴∠AEC＝∠CAE， ∴AC＝EC，∴ DE AD＝ AC AB， ∴AB·DE＝AD·AC
9·(10分)已知,如图,△ABC中,点D在AC上,且AD:DC =1:2,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,求证:BF: FC=1:3 证明:∵AD:DC=1:2,∴AD:AC=1:3.作DG平行于 CD GC AF交BC于G,则CA=CF,根据比例的性质知,AC=FC=3 BE 又E是BD的中点…EF是△BGD的中位线,BF=FCFC 3即BF:FC=1:3
9．(10 分)已知，如图，△ABC 中，点 D 在 AC 上，且 AD∶DC ＝1∶2，E 为 BD 的中点，AE 的延长线交 BC 于点 F，求证：BF∶ FC＝1∶3. 证明：∵AD∶DC＝1∶2，∴AD∶AC＝1∶3.作 DG 平行于 AF 交 BC 于 G，则 CD CA＝ GC C F，根据比例的性质知， AD AC＝ FG FC＝ 1 3 ， 又 E 是 BD 的中点，∴EF 是△BGD 的中位线，∴BF＝FG.∴ BF FC＝ 1 3 ，即 BF∶FC＝1∶3
10·(12分)如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC ∠ACB=90°,E为AB的中点 (1)求证:AC2=AB·AD; (2)求证:CE∥AD AC (3)若AD=4,AB=6,求AB的值 解:(1)证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,又 AD ∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB, AC AC AB…AC2=AB·AD
10．(12 分)如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC ＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点． (1)求证：AC2＝AB·AD； (2)求证：CE∥AD； (3)若 AD＝4，AB＝6，求 AC AF的值． 解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，又 ∵ ∠ADC＝∠ACB＝90°，∴ △ADC∽ △ACB，∴ AD AC＝ AC AB，∴AC2＝AB·AD
(2)证明:∵E为AB的中点,CE=2AB=AE,∠EAC=∠ECA AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB.:∠DAC=∠ECA.∴CE ∥AD (3)∵CE∥AD∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF,∴△AFD AD AF △CFE.CECF·CE=AB.∴CE=×6=3.又:AD=4,由 AD AF 4 AF AF 4 AC 7 CE CF3 CF AC 7 AF 4
(2)证明：∵E 为 AB 的中点，∴CE＝ 1 2 AB＝AE，∠EAC＝∠ECA， ∵AC 平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB.∴∠DAC＝∠ECA.∴CE ∥AD. (3)∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，∴△AFD∽ △CFE.∴ AD CE＝ AF C F.∵CE＝ 1 2 AB.∴CE＝ 1 2 ×6＝3.又∵AD＝4，由 AD CE＝ AF C F得 4 3 ＝ AF C F，∴ AF AC＝ 4 7 .∴ AC AF＝ 7 4
(12分)已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P 是AD上一点,过点C作CF∥AB,延长BP交AC于点E,交 CF于点F 求证:BP2=PE·PF 证明:连结PC,∵AB=AC,AD是中线,∴AD所在直线是△ ABC的对称轴.∴PC=PB,∠PCE=∠ABP∵CF∥AB,∴∠ PFC=∠ABP(两直线平行,内错角相等),∴∠PCE=∠PFC.又∵ ∠CPE=∠EPC,△EPC∽△CPE∴PCPF PEPc(相似三角形的对应 边成比例).∴PC2=PE·PFPC=BP,∴BP2=PE·PF
11．(12 分)已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过点 C 作 C F∥AB，延长 BP 交 AC 于点 E，交 C F 于点 F. 求证：BP2＝P E·P F. 证明：连结 P C，∵AB＝AC，AD 是中线，∴AD 所在直线是△ ABC 的对称轴．∴P C＝P B，∠PCE＝∠ABP.∵C F∥AB，∴∠ PFC＝∠ABP(两直线平行，内错角相等)，∴∠PCE＝∠PFC.又∵ ∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF.∴ P C P E＝ P F P C(相似三角形的对应 边成比例)．∴P C2＝P E·PF.∵P C＝BP，∴BP2＝P E·P F