22-元二次扌的齬 5.一元二次方程根与系数的关系
5. 一元二次方程根与系数的关系
复习导入 1.一元二次方程的一般形式是什么? ax2+bx+C=0(a≠0) 2一元二次方程的求根公式是什么? b±b2-4ac, X (b2-4ac≥0 2a 3.一元二次方程的根的情况怎样确定? △>0分两个不相等的实数根 △=b2-4ac△=0分>两个相等的实数根 △<0◇没有实数根
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 0( 0) 2 ax +bx + c = a b 4ac 2 = − 没有实数根 两个相等的实数根 两个不相等的实数根 = 0 0 0 ( 4 0) 2 4 2 2 − − − = b ac a b b ac x 复习导入
进入新课 解下列方程,将得到的解填入下面的 表格中,你发现表格中的两个解的和与积 和原来的方程的系数有什么联系? 方程x1x2x1+x2x1x2 x2x00220 x+3×-4=0-41-3-4 x2-5x+6=02356
解下列方程，将得到的解填入下面的 表格中，你发现表格中的两个解的和与积 和原来的方程的系数有什么联系？ 方 程 x1 x2 x1+x2 x1 ·x2 x 2-2x=0 x 2+3x-4=0 x 2-5x+6=0 -4 0 2 2 0 1 -3 -4 2 3 5 6 进入新课
探索1 般地,对于关于x的方程x2+x+g=0 (p、q为已知常数,p2-4≥0),试用求根 公式求出它的两个解x1、x2,算一算x+x2、 x1x2的值,你能发现什么结论?与前面 的观察的结果是否一致?
探索1 一般地，对于关于x的方程x 2+p x+q=0 （p、q为已知常数，p 2 -4q≥0），试用求根 公式求出它的两个解x1、x2， 算一算x1+x2、 x1、 x2 的值，你能发现什么结论？与前面 的观察的结果是否一致？
结论 关玉x的方程x2+x+q=0(p、q为已知 常数,p2-4q≥0),用求根公式求得 4 X1= ptp=q 2 P 2 2 则x+x2=p,x1x2=q,这说明一元二次 方程的系数与方程的两个根之间总存在十定 的数量关系。用这种关系可以在已知 次方程一个根的情况下求出另一个根及未知 系数,或求作一个一元二次方程
2 4 2 − P − p − q 关于x的方程x 2+p x+q=0 （p、q为已知 常数，p 2 -4q≥0），用求根公式求得 x1 = 、x2 = 则x1+x2 =-p，x1 x2=q，这说明一元二次 方程的系数与方程的两个根之间总存在一定 的数量关系。用这种关系可以在已知一元二 次方程一个根的情况下求出另一个根及未知 系数，或求作一个一元二次方程。 2 4 2 − p + p − q 结论：
填写下表: 两根两根a与ba与c 方程 两个根之和之积之间之间 关系关系 CI Xx1+x2x1●x x2+3x-4=0 3|-4 4 x2-5x+6=0235 6 5 6 3 3 2x2+3x+1=0 猜想:如果一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0两个根 分别是x1、x2,那么,你可以发现什么结论?
填写下表： 方程 两个根 两根 之和 两根 之积 a与b 之间 关系 a与c 之间 关系 1 x 2 x 1 2 x + x 1 2 x • x a b − a c 猜想：如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？ 0( 0) 2 ax +bx + c = a 1 x 2 x 3 4 0 2 x + x − = 5 6 0 2 x − x + = 2 3 1 0 2 x + x + = 2 3 − 2 1 − 2 1 2 3 − 2 1 − 4 3 5 6 5 6 −1 2 1 −3 − 4 −3 − 4
锞索2依据探索1过程,自己探索关 于x的方程ax2+bx+C=0(a≠0)的两根 x1x2与系数a、b、c之间有何关系? 友情提示根与系数的关系存在的前提条 件是:(1)a≠0(2)b2-4ac>0 转化 形如ax2+bx+c=0a≠0)一→x2+px+Q=0形式, X1+x2=-一,×1X2 X1fX2-p X1X2-9 a
探索2 依据探索1过程，自己探索关 于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根 x1 x2与系数a、b、c之间有何关系？ 友情提示 根与系数的关系存在的前提条 件是：（1)a≠0(2)b2-4ac≥0 形如ax 2+bx+c=0(a≠0）－－→x 2+px+q=0形式， 转化 x1+x2=-p x1·x2=q a c x x a b x1 + x2 = − , 1 2 =
已知:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根分别是x1、x2。 求证:x1+x2= b xX1●x 2
已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。 a b x1 + x2 = − a c x1 • x2 = 0( 0) 2 ax +bx + c = a x1 2 x 求证：
推导 b+√b2-4ac-b-Vb2-4ac 2 2a 2a b+√b2-4ac-b-√b2-4ac 2a 26 2a b
推导: a b b ac a b b ac x x 2 4 2 4 2 2 1 2 − − − + − + − + = a b b ac b b ac 2 4 4 2 2 − + − − − − = a b 2 − 2 = a − b =
b+√b2-4ac-b-√b2-4ac × 2a 2 b2-(b2-4ac 4a ac 4 C
a b b ac a b b ac x x 2 4 2 4 2 2 1 2 − − − − + − = ( ) 2 2 2 4 4 a b − b − ac = 2 4 4 a ac = a c =