第22章一元二次方程 21根与系数的关系
第22章 一元二次方程
教学目标: 知识与技能:掌握一元二次方程根与系数的关系。 过程与方法:能运用根与系数的关系求方程的两根 之和与两根之积 情感态度与价值观:经历观察→发现→猜想→证明的 思维过程,培养分析和解决问题的能力 教学重难点: 重点:一元二次方程根与系数的关系 难点:运用根与系数关系解决问题
教学目标： 知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系。 过程与方法：能运用根与系数的关系求方程的两根 之和与两根之积。 情感态度与价值观:经历观察→发现→猜想→证明的 思维过程，培养分析和解决问题的能力。 教学重难点: 重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：运用根与系数关系解决问题
回忆1元二次方程的一般形式是什么 x2+bx+c=0(a≠0) 2.元二次方程的求根公式是什么? X= b士Vb2-4ac(2-4c≥0) 2a 3.一元二次方程的根的情况怎样确定? △>0两个不相等的实数根 △=b2-4ac△=0<→两个相等的实数根二 A<0分没有实数根
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 0( 0) 2 ax +bx + c = a b 4ac 2 = − 没有实数根 两个相等的实数根 两个不相等的实数根 = 0 0 0 ( 4 0) 2 4 2 2 − − − = b ac a b b ac x
探究1:填表,观察、猜想 方程X1,x2X1+x2x1x2 x2-2x+1=01 2 x2+3x-10=02,-5 3 10 x2+5x+4=0-1,4 5 4 问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律; ②2x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律
探究1： 填表，观察、猜想 方程 x1,, x2 x1,+ x2 x1 . x2 x 2-2x+1=0 1,1 2 1 x 2+3x-10=0 2,-5 -3 -10 x 2+5x +4=0 -1,-4 -5 4 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x 2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律
根与系数关系 如果关于x的方程x+px+q=0 的两根是1,x2,则: x+x2=p Xrx2=q 如果方程二次项系数不为1呢?
根与系数关系 2 如果关于x的方程 x + + = px q 0 的两根是 x1 , , x2 则: x1+ x2 =− p x1 x2 =q 如果方程二次项系数不为1呢?
探究2:填写下表: 两根两根a与ba与c 方程 两个根之和之积之间之间 关系关系 b x1x2x1+x2x·x2 x2+3x-4=0-41-3-4-3 4 5x+6=0 235656 2x2+3x+1=0 猜想:如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)的两个根 分别是x1、x2,那么,你可以发现什么结论?
探究2：填写下表： 方程 两个根 两根 之和 两根 之积 a与b 之间 关系 a与c 之间 关系 1 x 2 x 1 2 x + x 1 2 x • x a b − a c 猜想：如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？ 0( 0) 2 ax +bx + c = a 1 x 2 x 3 4 0 2 x + x − = 5 6 0 2 x − x + = 2 3 1 0 2 x + x + = 2 3 − 2 1 − 2 1 2 3 − 2 1 − 4 3 5 6 5 6 −1 2 1 −3 − 4 −3 − 4
已知:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根分别是x1、x2。 求证:x1+x b
已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。 a b x1 + x2 = − a c x1 • x2 = 0( 0) 2 ax +bx + c = a x1 2 x 求证：
推导 b+√b2-4ac-b-√b2-4ac x1+x2 2a 2a b+√b2-4ac-b-√b2-4ac 2a 26 2a
推导: a b b ac a b b ac x x 2 4 2 4 2 2 1 2 − − − + − + − + = a b b ac b b ac 2 4 4 2 2 − + − − − − = a b 2 − 2 = a − b =
b+√b2-4ac-b-yb2-4ac × 2a 2 b2-(b2-4ac 4a 4ac
a b b ac a b b ac x x 2 4 2 4 2 2 1 2 − − − − + − = ( ) 2 2 2 4 4 a b − b − ac = 2 4 4 a ac = a c =
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根分别是x、x2,那么: b C x1+x2= x1●X 这就是一元二次方程根与系数的关系,也叫韦达定理
如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： a b x1 + x2 = − a c x1 • x2 = 0( 0) 2 ax +bx + c = a x1 2 x 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理