222.5一元二次方程的 根与糸数的关糸 韦达
22.2.5一元二次方程的 根与系数的关系 韦达
元二次方程ax2+bx+c0(a0)的求根公式: b±yb2-4ac 2a (b2-4ac≥>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x= a b b ac 2 4 2 − − (b2 -4ac≥0)
算一算:解下列方程并完成填空: (1)x27x+12=0(2)x2+3x-4-0 (3)3x24x+1=0(4)2x2+3x-2=0 方程 两根 两根和两根积 X1 2 X1+X XX 12 x2-7x+12=0 3 7 12 x2+3x-4=0 3 3x24X+1=0 3 2x2+3x-2=0 2
（1）x 2 -7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (4) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 X1+x2 两根积 x1 x2 x1x2 x 2 -7x+12=0 x 2+3x-4=0 3x2 -4x+1=0 2x2+3x-2=0 3 4 7 12 1 - 4 -3 - 4 -2 - -1 2 1 2 3 （3）3x2 -4x+1=0 3 1 3 4 3 1 1
方程 两根 两根和两根积 X3 2 XTX 2 12 2-7x+12=0 734 12 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 3 2x2+3x-2=0 2 若一元二次方程ax2+bx+c=0a0) 的两根为x1、x2则 b x1+x2 C
方程 两根 两根和 X1+x2 两根积 x1 x2 x1x2 x 2 -7x+12=0 x 2+3x-4=0 3x2 -4x+1=0 2x2+3x-2=0 - 3 4 7 12 1 - 4 -3 - 4 -2 -1 2 1 2 3 3 1 3 4 3 1 1 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根为x1、x2 , 则 x1 x2 = . x1 + x2 = a . b − a c
证明:设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则 6+vb 2_4aC 6-v6--4ac X2= 2a 2a 6+vb 6-v6 2-4aC X+X 12-4C十 2a 2a 26 b a 6+v6=-4ac 6-vb 2-4aC X1X2 2a C (-b)2-(Vb2-4ac) 4ac C 4a
a b b ac x 2 4 2 1 − + − = a b b ac x 2 4 2 2 − − − = X1+x2= a b b ac 2 4 2 − + − a b b ac 2 4 2 − − − + = a b 2 − 2 = a b - X1x2= a b b ac 2 4 2 − + − a b b ac 2 4 2 − − − ● = 2 4 2 4 ) 2 ( 2 ( ) a −b − b − ac = 2 4 4 a ac = a c 证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2 ,则
一元二次方程的根与系数的关系: 如果方程ax2+bx+c=0(a(0)的两个根是x1,x2 那么x1+x2 b 12 在使用根与系数的关系时,应注意 (x)不是一般式的要先化成一般式 b (2)在使用X1+X2=--时,注意“-“不要漏写。 注:能用公式的前提条件为△=b24ac>0
一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2 = a b - a c 注：能用公式的前提条件为△=b2 -4ac≥0 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。 a b
如果方程x2+px+q=0的两根是 Ⅹ1,X2,那么 x1+X×2=-P,x1x2=q 元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的所以我们 又 称之为韦达定理
如果方程x 2+px+q=0的两根是 X1 ， X2，那么 X1+X2= , X －P 1X2= . q 一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们 又 称之为韦达定理
说一说: 说出下列各方程的两根之和与两根之积: (1)x2-2x-1=0 x1+x,=2 X1X (2)2x2-3x+2=0x1+ 2X1x2= (3)2x2-6X=0x+x,=3 x2=0 X12 (4)3x2=4 x1+x,=0 XIX
说出下列各方程的两根之和与两根之积： (1) x2 - 2x - 1=0 (3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4 (2) 2x2 - 3x + =0 2 1 x1+x2=2 x1x2 =-1 x1+x2 = x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2 = x1x2=0 x1x2= - 2 3 4 1 3 4
元二次方程根与系数关系的应用 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2, 求它的另一个根及k的值 解法一:设方程的另一个根为x2 2+x2=k+1 由根与系数的关系,得 2x2=3k 3 解这方程组,得 k=-2 答:方程的另一个根是一3,k的值是-2
例1、已知方程x 2 -(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值. 解法一：设方程的另一个根为x2 . 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 一元二次方程根与系数关系的应用．
例1、已知方程x2(k+1)x+3k=0的一个根是2, 求它的另一个根及k的值。 解法二:设方程的另一个根为x 把x=2代入方程,得42(k+1)+3k=0 解这方程,得k=-2 由根与系数的关系,得2x2=3k 即2x2=-6 3 答:方程的另一个根是-3,k的值是-2
例1、已知方程x 2 -(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解法二：设方程的另一个根为x2 . 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得k= - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2