九年级数学上册知识点汇总 第二十一章一元二次方程 22.1一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数 的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程 注意一下几点 ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式 方程 知识点二一元二次方程的一般形式 般形式:ax2+bx+c=(a≠0)其中,ax2是二次项,a是二次项 系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的解,也叫做一元二次方程的根方程的解的定义是解方程 过程中验根的依据
九年级数学上册知识点汇总 第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数 的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式 方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： 0( 0) 2 ax bx c a 其中， 2 ax 是二次项， a 是二次项 系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程 过程中验根的依据
222降次—解一元二次方程 222.1配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另 一边是非负数,可以直接开平方一般地,对于形如x2=a20的 方程,根据平方根的定义可解得x=+√ax=-√a (2)直接开平方法适用于解形如x=p或mx+a)=p(m≠0形式的方 程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方 根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平 方根是零;负数没有平方根 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使 二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边 直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一 方程,求出原方程的根 知识点二配方法解一元二次方程
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另 一边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如 ( 0) 2 x a a 的 方程，根据平方根的定义可解得 x1 a x2 a . （2）直接开平方法适用于解形如 x p 2 或 ( 0) 2 （mx a） p m 形式的方 程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方 根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平 方根是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使 二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边 直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次 方程，求出原方程的根. 知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方 法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完 全平方式; (4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解 222.2公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0),如果b2-4ac0 那么方程的两个根为x=+6-4,这个公式叫做一元二次方 程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数 ab,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完 全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解. 22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 0( 0) 2 ax bx c a ，如果 4 0 2 b ac ， 那么方程的两个根为 a b b ac x 2 4 2 ，这个公式叫做一元二次方 程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解 般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤 ①方程化为一般形式:ax2+x+c=00≠0,一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值,注意符号 ③求出b2-4ac的值 ④若b-4c≥0则把ab,c和b-4ac的值代入公式即可求解, b2-4ac0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 元二次 方程根的 △=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 判别式 △0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 0( 0) 2 ax bx c a 的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式： 0( 0) 2 ax bx c a ，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出 b 4ac 2 的值； ④若 4 0 2 b ac 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解， 4 0 2 b ac ，则方程无实数根. 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b 4ac 2 叫做方程 0( 0) 2 ax bx c a 根的判别式，通常用希腊字 母△表示它，即 b 4ac 2
222.3因式分解法 知识点一因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个 次因式的积,进而转化为求两个一元一次方程的解,这种解方 程的方法叫做因式分解法. (2)因式分解法的详细步骤 ①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0 ②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式 3令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ④解一元一次方程即可得到原方程的解 知识点二用合适的方法解一元一次方程
22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x2=p或(m+m)2=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法当ab=0,则a=0或b=0—边为0,另一边易于分解成两个 次因式的积的一元二次方程 222.4一元二次方程的根与系数的关系(了解) 若一元二次方程x2+mx+q=0的两个根为x,x则有 x1+x2=-P,x1X2=q 若一元二次方程ax+bx+c=a≠0有两个实数根x,x则有 b x1+x2 C 223实际问题与一元二次方程 知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪 些是未知量以及它们之间的等量关系 (2)设:是指设元,也就是设出未知数 (3)列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应 用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关
方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如 x p 2 或 ( 0) 2 （mx n） p p 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一 次因式的积的一元二次方程. 22.2. 4 一元二次方程的根与系数的关系（了解） 若一元二次方程 0 2 x px q 的两个根为 1 x , 2 x 则 有 x1 x2 p , x1 x2 q 若一元二次方程 0( 0) 2 ax bx c a 有两个实数根 1 x ， 2 x 则有 a c x x a b x1 x2 , 1 2 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪 些是未知量以及它们之间的等量关系. （2）设：是指设元，也就是设出未知数. （3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应 用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程 (4)解:就是解方程,求出未知数的值. (5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合 题意 (6)答:写出答案 知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题 个连续整数若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1, x+1 个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分 别为x-2,x+2. 三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c 则这个三位数是100a+10b+c (2)增长率问题 设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x, 则经过两次的增长或降低后的等量关系为a±x3=b
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c， 则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x， 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a x b 2 (1 )
(3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本; ②总利润=单位利润x总销售量;③利润=成本×利润率 (4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关 元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来 建立一元二次方程 第二十二章二次函数 知识点一:二次函数的定义 二次函数的定义: 一般地,形如y=ax+x+c(a,b,是常数,ax)的函数,叫做二次 函数 其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项 知识点二:二次函数的图象与性质→抛物线的三要素:开口 对称轴、顶点 2二次函数y=a(x-)+k的图象与性质
（3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关 元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程. 第二十二章 二次函数 知识点一：二次函数的定义 1.二次函数的定义： 一般地，形如 2 y ax bx c （ abc ， ， 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次 函数． 其中 a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质 抛物线的三要素：开口、 对称轴、顶点 2.二次函数 2 y a x h k 的图象与性质
(1)二次函数基本形式y=a2的图象与性质:a的绝对值越大, 抛物线的开口越小 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 x0 向上(0,0) 轴 x>0时,y随x的增大而增大 x=0时,y有最小值0 x0时,y随x的增大而减小; x=0时,y有最大值0 (2)y=ax2c的图象与性质:上加下减
（1）二次函数基本形式 2 y ax 的图象与性质：a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小 （2） 2 y ax c 的图象与性质：上加下减
a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 x0 向上(0,c)y轴 x>0时,y随x的增大而增大; x=0时,y有最小值c x0时,y随x的增大而减小; x=0时,y有最大值c (3)y=a(x-)的图象与性质:左加右减 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 x0 向上(h,0) x>h时,y随x的增大而增大; x=h时,y有最小值0 xh时,y随x的增大而减小; x=h时,y有最大值0
（3） 2 y a x h 的图象与性质：左加右减