人教版数学九年级下册整本预习资料全汇总 第二十六章反比例函数 知识框架 现实世界中的归纳 反比例关系 反比例函数 实际应用 反比例函数的 图象和性质 知识概念 1.反比例函数 (1)反比例函数的定义 般地,形如y=-(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数。反比例函数的解析式 也可以写成y=kx或xy=k(k为定值)的形式。白变量x的取值范围是x≠0的一切实 数,函数的取值范围也是一切非零实数 (2)反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=一中,只有一个待定系数 因此只霈要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式 (3)反比例函数的图像和性质 反比例函数y==(k≠0)的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一 三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0 所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分攴无限接近坐标轴,但水远达 不到坐标轴。其图像和性质如下:
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函数 y=-(k≠ k的符号 图像 ①x的取值范围是x≠0, ①x的取值范围是x≠0, y的取值范围是y≠0 y的取值范围是y≠0: 性质②当k>0时,函数图像的两个分支分别 ②当k(0时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 在第二、四象限。在每个象限内,y 随x的增大而减小 随x的增大而增大。 (4)反比例函数中反比例系数k的几何意义 ①如下图,过反比例函数y==(k≠0)图像上任一点P作x轴的垂线PA,连接PO, 则三角形P0A的面积S=2k 设pxy),由于x=k,则Sm=04PA=同+ ②如下图,过反比例函数y=-(k≠0)图像上任一点P作x轴,y轴的垂线PA、PB, 则矩形PAoB的面积SAB= 【注意】反比例函数与几何图形的运用,要想到k的几何意义。求解面积时过反比例图像 的点作坐标轴的垂线,构造我们会求解的三角形而积或四边形面积
第二十七章相似 .知识框架 对应角相等 对应边的比相等 相似图形 旧似多边形 周长比等于相似比 应 面积比等于相似比平方 用 相似三角形 相似三角形的判定 位似图形 二.知识概念 1.比例线段 (1)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四 条线段叫做成比例线段,简称比例线段,用数学语言表示日=或a:b=c:d(ad=be), 其中b,c叫做比例内项,a,d叫做比例外项 (2)比例的性质 ①基本性质(互逆的) b(或a:b=c:d)分ad=be b(或a:b=b:c)分b2=ac(其中b叫做a和c的比例中项) ②合比性质 a c a+b c+d b ③分比性质 a c a-b c-d b d b d ④合分比性质 c a+b c+d h d a-b c-d ⑤反比性质(交换比的前项、后项):
b ⑥等比性质: bd7=…=m(b+d++…+n≠0)b+d+f+…+mb +c+e+.+m a ⑦更比性质(交换比例的内项或外项) b (交换内项) dc(交换外项) d b (同时交换内项和外项) (3)黄金分割 把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做 把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中ACc5-1B=061808 2.相似 (1)相似图形:形状相同的图形叫形似图形。 (2)平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论: ①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边 ②平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例 A A C D (3)相似三角形 ①相似三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读
作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数) ②三角形相似的判定 【判定1】:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似。 【判定2】:三边成比例的两个三角形相似 【判定3】:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【判定4】:两角分别相等的两个三角形相似 【拓展1】直角三角形相似的判定方法 I.以上各种判定方法均适用 Ⅱ.定理:如果一个直角三角形的斜边和一条育角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 Ⅲ.垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 【拓展2】摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的 比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° CD2=AD·BD AC2=AD·AB CD⊥ BC2=BD·AB B ③相似三角形的性质 I.相似三角形的对应角相等,对应边成比例 Ⅱ.相似三角形对应高的比、对应屮线的比与对应角平分线的比都等于相似比 Ⅲ.相似三角形周长的比等于相似比 Ⅳ.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (4)位似图形 ①如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样 的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比。 ②性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似屮心的距离之比都等于 位似比。 ③由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形 放大或缩小 ④位似变换的坐标特征:在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比 为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k
第二十八章锐角三角函数 知识框架 直角三角 形中的边 角三角函 解直角三角形 实际示可题 角关系 二.知识概念 1.锐角三角函数 (1)锐角三角函数的概念 如图,在△ABC中,∠C=90°(锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三 角函数) ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA,即 斜边 Snd=<4的对边a ∠A的对边 斜边 a∠B的邻边 ②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA,即A ∠A的邻边b ∠A的邻边 cos A ∠B的对边 斜边 ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tan,即tanA、∠A的对边a ∠A的邻边b ④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记为cotA,即cotA ∠A的邻边b ∠A的对边a (2)各锐角三角函数之间的关系 ①可余关系 sinA=cos(90-A), cosA=sin(90-A) ②平方关系 ③倒数关系 tanA·tan(900—A)=1 ④弦切关系 huis yue) COS A
(3)一些特殊角的三角函数值 三角函数 0 14 15° 90 0 coso 262 52125 tang 不存在 3 cota 不存在 3 (4)三角函数的取值范围 当A为锐角时,00 (5)锐角三角函数的增减性,当角度在090“之间变化时, ①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小): ②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大): ③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 2.解直角三角形 (1)解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形 中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 (2)解直角三角形的理论依据 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A.∠B,∠C所对的边分别为a,b,c ①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90° ③边角之间的关系 sin A=-,cos A=-, and, b cosB=-,tan B=- b (3)在直角三角形中,知道两个元素(至少有一个是边),就可以求其余3个未知元素。 求解的条件有两类 ①已知一边和一锐角 ②已知两边
(4)几种特殊角 视 ①仰角、俯角:如图,在视线与水平线所成的角中,视线在 仰角 水平线上方的叫做仰角,视线在水平线下方的叫做俯角 水平线 角 ②方位角:从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成 的角叫做方位角,方位角的取值范围为0~360°,如西南 方向所在位置:225度 ③方向角:从南北方向线较近一端起到目标方向线所夹的锐角叫做方向角。通常表达成北 (南)偏东(西)××度,如西南方向所在位置:南偏西45度,一般试题中常用方向角表 ③坡度:坡面的垂直高度h和水平宽度/的比叫做坡度,又称坡比,用字母i表示,坡而与 水平面的夹角叫坡角,用字母a表示 如图,坡度表示即:t=tana 力 L (5)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: ①将实际问恩抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题): ②根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解出实际边长或度数 ③得出的数据沿根据实际情况取值
第二十九章投影与视图 知识框架 点光源「中心投影 光照 (立体图形) 投量 行技影 平行光源 想象 光线垂直投影面 由前向后看 主视图 三视图 俯視图 上向下看 正投影 左视图 由左向右看 知识概念 (1)投影:用光线照射物体,在某个平面(地面上或墙壁)上得到的影子,叫做物体的投 影,照射光线叫投影线,投影所在的平面叫投影面。 (2)投影的分类 ①平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影 ②中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影 2.三视图 (1)视图:当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体 的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 (2)三视图(如图) V○ 主视图左图 ①主视图:在正面内得到的山前向后观察物体的视图,叫做主视图。 ②俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图 ③左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图