九年级(下)第一次月考数学试卷 、选择题(本大题共8小题,共24分) 1、(3分)下列计算正确的是() A a2+a=a5 Ba6÷a3=a3 Ca2●a3=a6 D.(a3)2=a9 2、(3分)函数y=√x-2中,自变量x的取值范围是() C.x>2 3、(3分)如图,空心圆柱的主视图是() 4、(3分)有9名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前4名参加决赛,小 红同学知道自己的成绩后,要判断能否进入决赛,还需知道这9名同学成绩的() A众数 B中位数 C.平均数 D方差 5、(3分)一个扇形的弧长为4π,半径长为4,则该扇形的面积为() A.4TU B 6T C. 8TU D.121 6、(3分)如图,∠BCD=90°,ABDE,则α与β一定满足的等式是() Aa+β=180° Ba+阝=90° C B=3a DaB=90° 7、(3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是() Ak≥0 Bk<o Ck<0且k≠-1 Dk≤0且k≠-1
- 1 - 九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分） 1、(3 分) 下列计算正确的是（ ） A.a2+a3=a5 B.a6÷a3=a3 C.a2•a3=a6 D.（a 3）2=a9 2、(3 分) 函数 y=√𝑥 − 2中，自变量 x 的取值范围是（ ） A.x≠2 B.x≥2 C.x＞2 D.x≥-2 3、(3 分) 如图，空心圆柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 4、(3 分) 有 9 名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前 4 名参加决赛，小 红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这 9 名同学成绩的（ ） A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差 5、(3 分) 一个扇形的弧长为 4π，半径长为 4，则该扇形的面积为（ ） A.4π B.6π C.8π D.12π 6、(3 分) 如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则 α 与 β 一定满足的等式是（ ） A.α+β=180° B.α+β=90° C.β=3α D.α-β=90° 7、(3 分) 关于 x 的一元二次方程（k+1）x 2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） A.k≥0 B.k≤0 C.k＜0 且 k≠-1 D.k≤0 且 k≠-1
只31一炸函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确是() Aabc>0 B 2a+b<0 C3a+C<0 Dax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根 、填空题(本大题共8小题,共24分) 9、(3分)因式分解:2a22 10、(3分)当分式的值为0时,x的值是 11、(3分)两个相似三角形的面积比1:4,则它们的周长之比为 12、(3分)如图,AD为△ABC的外接圆⊙O的直径,若∠BAD=50°,则∠ACB=° 13、(3分)如图所示,点A是反比例函数y=图象上一点,作AB⊥x轴,垂足为点B,若△AOB 的面积为2,则k的值是 14、(3分)设a、b是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,则a2+3a+b= 15、(3分)如下图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,垂足为E,D在BC上,已知 ∠CAD=32°,则∠B=度 16、(3分)如图,等边△ABC中,AB=10,D为BC的中点,E为△ABC内一动点,DE=3,连接
- 2 - 8、(3 分) 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（ ） A.abc＞0 B.2a+b＜0 C.3a+c＜0 D.ax2+bx+c-3=0 有两个不相等的实数根 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分） 9、(3 分) 因式分解：2a2-2=______． 10、(3 分) 当分式𝑥−1 𝑥+2的值为 0 时，x 的值是______． 11、(3 分) 两个相似三角形的面积比 1：4，则它们的周长之比为______． 12、(3 分) 如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=______°． 13、(3 分) 如图所示，点 A 是反比例函数 y= 𝑘 𝑥 图象上一点，作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，若△AOB 的面积为 2，则 k 的值是______． 14、(3 分) 设 a、b 是一元二次方程 x 2+2x-7=0 的两个根，则 a 2+3a+b=______． 15、(3 分) 如下图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，D 在 BC 上，已知 ∠CAD=32°，则∠B=______度． 16、(3 分) 如图，等边△ABC 中，AB=10，D 为 BC 的中点，E 为△ABC 内一动点，DE=3，连接
AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF,连接DF,则线段DF的最小值为 三、计算题(本大题共3小题,共24分) 17、(6分)计算:(314-m)0+11-3+()1-2sin60° 18、(8分)先化简,再求值:(1a+)÷a2,其中 19、(10分)在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自 行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速 返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的 函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题: 1020 E 20x分 (1)请写出甲的骑行速度为米/分,点M的坐标为
- 3 - AE，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 60°得 AF，连接 DF，则线段 DF 的最小值为______． 三、计算题（本大题共 3 小题，共 24 分） 17、(6 分) 计算：（3.14-π）0+|1-√3|+（- 1 4 ）-1-2sin60°． 18、(8 分) 先化简，再求值：（1- 1 𝑎+1 ）÷ 2𝑎 𝑎 2−1 ，其中 a=-2． 19、(10 分) 在一条笔直的公路上依次有 A，C，B 三地，甲、乙两人同时出发，甲从 A 地骑自 行车去 B 地，途经 C 地休息 1 分钟，继续按原速骑行至 B 地，甲到达 B 地后，立即按原路原速 返回 A 地；乙步行从 B 地前往 A 地．甲、乙两人距 A 地的路程 y（米）与时间 x（分）之间的 函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度为______米/分，点 M 的坐标为______；
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围) (3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等. 四、解答题(本大题共8小题,共78分) 4x>2x-6 20、(6分)解不等式组:x-15,并写出它的所有整数解 21、(8分)为进一步推广“阳光体育”大课间活动,某中学对已开设的A实心球,B立定跳远,C 跑步,D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调査,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制 成图1,图2的统计图,请结合图中的信息解答下列问题 (1)请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整 (2)随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生,其中有3名女生,2名男生,现从这5名学生中任意 抽取2名学生,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率 104数 ----------- 45 20%/C
- 4 - （2）求甲返回时距 A 地的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回 A 地之前，经过多长时间两人距 C 地的路程相等． 四、解答题（本大题共 8 小题，共 78 分） 20、(6 分) 解不等式组：{ 4𝑥＞2𝑥 − 6 𝑥 − 1 ≤ 𝑥+1 3 ，并写出它的所有整数解． 21、(8 分) 为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的 A 实心球，B 立定跳远，C 跑步，D 跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制 成图 1，图 2 的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （2）随机抽取了 5 名喜欢“跑步”的学生，其中有 3 名女生，2 名男生，现从这 5 名学生中任意 抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
22、(8分)某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验,以便与遥控器显示的高度数据 进行对比.如图,在E处测得无人机C的仰角∠CAB=45°,在D处测得无人机C的仰角 ∠CBA=30°,已知测角仪的高AE=BD=1m,E,D两处相距50m,请根据数据计算无人机C的 高(结果精确到0.1m,参考数据:√2≈141,√3≈1.73) 23、(10分)如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E (1)求证:四边形BEDF是平行四边形 (2)当四边形BEDF是菱形时,写出EF与BD的关系 (3)若∠A=60°,AB=4,BC=6,四边形BEDF是矩形,求该矩形的面积 24、(10分)某商品的进价为每件50元,当售价为每件70元时,每星期可卖出300件,现需 降价处理,且经市场调査:每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下 列问题: (1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元,请写出y与x的函数关系式,并求出 自变量x的取值范围 (2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少?产品的成本单价应不超过多少元?
- 5 - 22、(8 分) 某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高度数据 进行对比．如图，在 E 处测得无人机 C 的仰角∠CAB=45°，在 D 处测得无人机 C 的仰角 ∠CBA=30°，已知测角仪的高 AE=BD=1m，E，D 两处相距 50m，请根据数据计算无人机 C 的 高（结果精确到 0.1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）． 23、(10 分) 如图，在平行四边形 ABCD 中，过对角线 BD 中点的直线交 AD、BC 边于 F、E． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，写出 EF 与 BD 的关系． （3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四边形 BEDF 是矩形，求该矩形的面积． 24、(10 分) 某商品的进价为每件 50 元．当售价为每件 70 元时，每星期可卖出 300 件，现需 降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下 列问题： （1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出 自变量 x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？产品的成本单价应不超过多少元？
25、(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N, 点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP (1)求证:直线CP是⊙O的切线 (2)若BC=2√5,sin∠BCP=,求点B到AC的距离 (3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长 26、(12分)定义:对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形 (1)概念理解:在平行四边形、菱形、矩形、正方形中,你认为属于奇异四边形的有 (2)性质探究 ①如图1,四边形ABCD是奇异四边形,AB=AD,求证:CA平分∠BCD; ②如图2,四边形ABCD是奇异四边形,AB=AD,∠BCD=2a,试说明:cosa= BC+CD 2AC (3)性质应用 如图3,四边形ABCD是奇异四边形,四条边中仅有BC=CD,且四边形ABCD的周长为 6+2√10,∠BAC=45°,AC=3√2,求奇异四边形ABCD的面积 D 图1
- 6 - 25、(10 分) 如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N， 点 P 在 AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线 CP 是⊙O 的切线． （2）若 BC=2√5，sin∠BCP=√5 5 ，求点 B 到 AC 的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长． 26、(12 分) 定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． （1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有______； （2）性质探究： ①如图 1，四边形 ABCD 是奇异四边形，AB=AD，求证：CA 平分∠BCD； ②如图 2，四边形 ABCD 是奇异四边形，AB=AD，∠BCD=2α，试说明：cosα= 𝐵𝐶+𝐶𝐷 2𝐴𝐶 ； （3）性质应用： 如图 3，四边形 ABCD 是奇异四边形，四条边中仅有 BC=CD，且四边形 ABCD 的周长为 6+2√10，∠BAC=45°，AC=3√2，求奇异四边形 ABCD 的面积．
27、(14分)已知抛物线y=x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧) (1)当m=2时,抛物线与y轴交于点C ①直接写出点A、B、C的坐标 ②如图1,连接AC,在x轴上方的抛物线上有一点D,若∠ABD=∠ACO,求点D的坐标 ③如图2,点P为抛物线位于第一象限图象上一动点,过P作 PQLCB,求PQ的最大值; (2)如图3,若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点,过点M作MN⊥x轴,垂足为N, 直线MN上有一点H,满足∠HBA与∠MAB互余,试判断HN的长是否变化,若变化,请说明理 由,若不变,请求出HN长 (图3) 九年级(下)第一次月考数学试卷 【第1题】 【答案】 B 【解析】 解:A、a2与a3不是同类项,不能合并,故本选项错误 B、原式=a63=a3,故本选项正确 C、原式=a2+3=a5,故本选项错误 D、原式=a3×2=a6,故本选项错误 故选:B. 根据合并同类项的法则,同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方法 则解答. 本题考査合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法,熟练掌握运算性质和法则 是解题的关键
- 7 - 27、(14 分) 已知抛物线 y=-x 2+mx+m+1 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）． （1）当 m=2 时，抛物线与 y 轴交于点 C． ①直接写出点 A、B、C 的坐标； ②如图 1，连接 AC，在 x 轴上方的抛物线上有一点 D，若∠ABD=∠ACO，求点 D 的坐标； ③如图 2，点 P 为抛物线位于第一象限图象上一动点，过 P 作 PQ⊥CB，求 PQ 的最大值； （2）如图 3，若点 M 为抛物线位于 x 轴上方图象上一动点，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂足为 N， 直线 MN 上有一点 H，满足∠HBA 与∠MAB 互余，试判断 HN 的长是否变化，若变化，请说明理 由，若不变，请求出 HN 长． 九年级（下）第一次月考数学试卷 【 第 1 题 】 【 答 案 】 B 【 解析 】 解：A、a 2 与 a 3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、原式=a6-3=a3，故本选项正确； C、原式=a2+3=a5，故本选项错误； D、原式=a3×2=a6，故本选项错误； 故选：B． 根据合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方法 则解答． 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则 是解题的关键．
【第2题】 【答案】 【解析】 解:由题意得,ⅹ-2≥0 解得ⅹ≥2 故选:B 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解 本题考査了函数自变量的取值范围,解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数 【第3题】 【答案】 【解析】 解:如图所示,空心圆柱体的主视图是圆环 故选:A 找到从正面,看所得到的图形即可,注意所有的棱都应表现在主视图中 本题考査实物体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓 线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉 【第4题】 【答案】 【解析】 解:由于总共有9个人,且他们的分数互不相同,第5的成绩是中位数,要判断是否进入前5 名,故应知道中位数的多少 故选:B. 9人成绩的中位数是第5名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前4名,只需要了解自 己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可 此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义
- 8 - 【 第 2 题 】 【 答 案 】 B 【 解析 】 解：由题意得，x-2≥0， 解得 x≥2． 故选：B． 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数． 【 第 3 题 】 【 答 案 】 A 【 解析 】 解：如图所示，空心圆柱体的主视图是圆环． 故选：A． 找到从正面，看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中． 本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓 线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 【 第 4 题 】 【 答 案 】 B 【 解析 】 解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少． 故选：B． 9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前 4 名，只需要了解自 己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
【第5题】 【答案】 C 【解析】 解:S形=R=×4mx4=8m 故选:C 根据扇形的面积公式S扇形=R即可得出答案 本题考査了扇形面积的计算,比较简单,解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式 【第6题】 【答案】 【解析】 B DE解:过C作CFAB, . ABIDE "-ABIDElICF, ∠1=∠β,∠C=180°-∠2, ∴∠a-∠β=180°-∠2-∠1=180°∠BCD=90°, 故选:D 过C作CFAB,根据平行线的性质得到∠1=∠β,∠2=180°∠a,于是得到结论 本题考査了平行线的性质,熟记平行线的性质是解题的关键 【第7题】 【答案】 【解析】 解:根据题意得k+1≠0且△=(-2)2-4(k+1)≥0, 解得k≤0且k≠-1 故选:D 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=(-2)24(k+1)≥0,然后求出两
- 9 - 【 第 5 题 】 【 答 案 】 C 【 解析 】 解：S 扇形= 1 2 lR=1 2 ×4π×4=8π． 故选：C． 根据扇形的面积公式 S 扇形= 1 2 lR 即可得出答案． 本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 【 第 6 题 】 【 答 案 】 D 【 解析 】 解：过 C 作 CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠β，∠α=180°-∠2， ∴∠α-∠β=180°-∠2-∠1=180°-∠BCD=90°， 故选：D． 过 C 作 CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠β，∠2=180°-∠α，于是得到结论． 本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 【 第 7 题 】 【 答 案 】 D 【 解析 】 解：根据题意得 k+1≠0 且△=（-2）2-4（k+1）≥0， 解得 k≤0 且 k≠-1． 故选：D． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+1≠0 且△=（-2）2-4（k+1）≥0，然后求出两
个不等式的公共部分即可 本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b24ac有如下关系:当△ >0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△0,由抛物线与y轴的交 点位置得到c>0 A、abc0, 3a+c=2a+a+c=-b+3-b=3-2b0,由抛物线与y轴的交 点位置得到c>0,进而解答即可 本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛 物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线开口向上;当a0),对称轴在y轴 左侧;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与 x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与ⅹ轴 没有交点 【第9题】 【答案】 2(a+1)(a-1) 【解析】 解:原式=2(a2-1) 2(a+1)(a-1) 10
- 10 - 个不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程 无实数根． 【 第 8 题 】 【 答 案 】 C 【 解析 】 解：∵抛物线开口方向得 a＜0，由抛物线对称轴为直线 x=- 𝑏 2𝑎，得到 b＞0，由抛物线与 y 轴的交 点位置得到 c＞0， A、abc＜0，错误； B、2a+b=0，错误； C、把 x=1 时代入 y=ax2+bx+c=a+b+c，结合图象可以得出 y=3，即 a+b+c=3，a+c=3-b， ∵2a+b=0，b＞0， ∴3a+c=2a+a+c=-b+3-b=3-2b＜0，3a+c=2a+a+c=a-b+c，应当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，所以 c 正确； D、由图可知，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=3 有一个交点，而 ax2+bx+c-3=0 有一个的实数 根，错误； 故选：C． 根据抛物线开口方向得 a＜0，由抛物线对称轴为直线 x=- 𝑏 2𝑎 ，得到 b＞0，由抛物线与 y 轴的交 点位置得到 c＞0，进而解答即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线开口向上；当 a＜0 时，抛物线开口向下；一次项 系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴 左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右侧；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交 点．抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴 没有交点． 【 第 9 题 】 【 答 案 】 2（a+1）（a-1） 【 解析 】 解：原式=2（a 2-1） =2（a+1）（a-1）．