学而思教育 www.eduu.com 因式分解的14种方法 因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞 赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对 称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x2+x=-x(3x-1)) 分解因式技巧 1分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握 ①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数 ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑 基本方法 (1)提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个 因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母 取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数 取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“”号,使括号内的第一项的系数成为正数 提出“-”号时,多项式的各项都要变号 提公因式法基本步骤 (1)找出公因式 (2)提公因式并确定另一个因式 ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母 ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公 因式,所得的商即是提公因式后剩下的 个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式 ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同 口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇 偶 例如:am+bm+cm=m(a-b-c); a(x-y)+boy-x) =a(x-y-b(x-y)=(x-y(a-b)o 注意:把2a2+1变成2(a2+)不叫提公因式 (2)公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法 平方差公式:a2-b2=(a+b(a-b;完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2
1 因式分解的 14 种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞 赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对 称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如： 3 3 1 2 x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个 因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数 取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公 因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇 偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把 2 2 a + 2 1 变成 2( 2 a + 4 1 )不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式： 2 a 2 b =(a+b)(a-b)； 完全平方公式： 2 a ±2ab＋ 2 b ＝ 2 a b
学而思教育 www.eduu.com 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个 数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 完全立方公式:a3土3a2b+3ab2±b3=±b) 公式:a3+b3+c3-3abc=a+b+c(a2+b2+c2-ab-bcu 例如:a2+4ab+4b2=(a+2b) (3)分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三 分法。 比如 axa 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了 困难。 同样,这道题也可以这样做。 axtay+bx+by =x(a+b)+y(a+b)=(a+b)x+y) 几道例题 1.5ax+5bx+3ay+3by 解法:=5X(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b) 说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay 和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出 解法:=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1) 利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决 y -y 解法:=(x2-y2)(x+y)=x+y)xy)(x+y)=(x+y)xy-1) 利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)a-b),然后相合解决。 (4)十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1:常数项是两个数的积;一次项系数是 常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个 数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍。 立方和公式： 3 3 a b =(a+b)( 2 a -ab+ 2 b )； 立方差公式： 3 3 a b =(a--b)( 2 a +ab+ 2 b )； 完全立方公式： 3 a ±3 2 a b＋3a 2 b ± 3 b =(a±b) 2 ． 公式： 3 a + 3 b + 3 c -3abc=(a+b+c)( 2 a + 2 b + 2 c -ab-bc-ca) 例如： 2 a +4ab+4 2 b =(a+2b) 2 。 ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一 分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把 ax 和 ay 分一组，bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了 困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x 3 - 2 x +x-1 解法：=( x 3 - 2 x )+(x-1) = 2 x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2 x +1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3. 2 x -x-y 2 -y 解法：=( 2 x -y 2 )-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)，然后相合解决。 ⑷十字相乘法 这种方法有两种情况。 ① 2 x +(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是 常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解：
学而思教育 www.eduu.com x+(p+qx+pq(x+p)(x+g) ②kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac,n=bd,且有ad+be=m时,那么kx2+mx+n=ax+b)cx+d) 图示如下: 例如:因为1-3 3×7=21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7x2-19×-6=(7x+2)x-3) 十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中 (5)裂项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注 意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形 例如:bc(b+c)ca(c-aab(a+b) =bc(c-atatb)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(bta)+b(a+b)(c-a) (c+b(c-aa+b) (6)配方法 对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方 差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也 要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形 例如:x2+3x-40=x2+3x+2254225=(x+1.5)2-(6.5)=x+8x5 (7应用因式定理 对于多项式fx)=0,如果fa)=0,那么fx)必含有因式xa 例如:f(x)=x2+5x+6,f-2)=0,则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上, x2+5X+6=(x+2x+3).) 注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(pq为互质整数时)该多项式值 为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数 2、对于多项式f(a=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数 (8换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因 式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。 注意换元后勿忘还元 例如在分解(x2+x+1(x2+x+2)-12时,可以令y=x2+x,则 原式=(+1)(+2-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=0+50-2
3 2 x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②k 2 x +mx+n 型的式子的因式分解 如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx 2 +mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a d 例如：因为 1 -3 × × c d 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且 2-21=-19， 所以 7 2 x -19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 ⑸裂项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注 意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． ⑹配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方 差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也 要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如： 2 x +3x-40 = 2 x +3x+2.25-42.25 = 2 2 x 1.5 6.5 =(x+8)(x-5)． ⑺应用因式定理 对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a． 例如：f(x)= 2 x +5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2 是 2 x +5x+6 的一个因式。(事实上， 2 x +5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若 X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值 为零，则 q 为常数项约数，p 最高次项系数约数； 2、对于多项式 f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有 a 为 c/b 约数 ⑻换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因 式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解( 2 x +x+1)( 2 x +x+2)-12 时，可以令 y= 2 x +x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-10 =(y+5)(y-2)
学而思教育 www.eduu.com (x2+x+5(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1 (9)求根法 令多项式fx=0,求出其根为x1,x,x3,……xn, 则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(xXn) 例如在分解2x4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x4+7x^3-2x2-13x+6=0 则通过综合除法可知,该方程的根为0.5,-3,-2,1 所以2x~47x^3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)x+2)x-1) 0图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1x2x3;…xn, 则多项式可因式分解为fx)=fx=(x-x1)x-x2)x-x3)……(x-xn) 与方法(⑨)相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。 例如在分解x^3+2x2-5x-6时,可以令y=x^3;+2x2-5x-6 作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 则x^3+2x2-5x-6=(x+)x+3)x-2) aD主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 殊值法 将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后 的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x2+23x+15时,令x=2,则 x^3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105, 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的 值, 则x^3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。 03待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多 项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能 分解为两个二次因式。 于是设x4x^3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) -x 4+(atc)x 3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
4 =( 2 x +x+5)( 2 x +x-2) =( 2 x +x+5)(x+2)(x-1)． ⑼求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x，x3，„„xn， 则该多项式可分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)„„(x-xn) ． 例如在分解 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6 时，令 2x^4 +7x^3-2x 2 -13x+6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为 0.5 ，-3，-2，1． 所以 2x^4+7x^3-2 2 x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． ⑽图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 ,„„xn ， 则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)„„(x-xn)． 与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解 x^3 +2 2 x -5x-6 时，可以令 y=x^3; +2 2 x -5x-6. 作出其图像，与 x 轴交点为-3，-1，2 则 x^3+2 2 x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． ⑾主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 ⑿特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后 的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例如在分解 x^3+9 2 x +23x+15 时，令 x=2，则 x^3 +9 2 x +23x+15=8+36+46+15=105， 将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=3×5×7 ． 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的 值， 则 x^3+9 2 x +23x+15 可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。 ⒀待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多 项式因式分解。 例如在分解 x^4-x^3-5 2 x -6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能 分解为两个二次因式。 于是设 x^4-x^3-5 2 x -6x-4=( 2 x +ax+b)( 2 x +cx+d) =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d) 2 x +(ad+bc)x+bd
学而思教育 www.eduu.com 由此可得a+c=-1, ac+b+d=-5, d+bc=-6 bd=4. 解得a=1,b=1,c=2,d=4 则x~4x^3-5x26x4=x 2+x+1)(x2-2x-4) q4双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法 双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下 ax+bxy+cy- +dx+ey+f x、y为未知数,其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例:分解因式:x2+5xy+6y2+8x+18y+12 分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解: 原式=(x+2y+2)(x+3y+6). 双十字相乘法其步骤为 ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y) ②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中 6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6) ③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省 否则容易出错。 多项式因式分解的一般步骤 ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式 ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解 ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解: ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组 分解要合适。” 几道例题 1.分解因式+y2-2x2(+y2)+x4(1y)2 解:原式=(1+y2+2(1+yx2(1-y+x4(1-y2-2(1+yx2(14y-2x2(+y2)(补项) =+y+x2(1y72-2(+yx2(1-y)-2x2(+y2)(完全平方 =(1+y)+x2(1-y72-(2x) (+y+x2(1-y+2x(+y)+x2(1-y-2x =x2x2y+2x+y+D(x2-x2y-2x+y+1)
5 由此可得 a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4． 则 x^4-x^3-5x 2 -6x-4=(x 2 +x+1)(x 2 -2x-4)． ⒁双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f x、y 为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x 2 +5xy+6y 2 +8x+18y+12． 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解： 原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解 2 次项，如十字相乘图①中 x 2 +5xy+6y 2 =(x+2y)(x+3y)； ② 先 依 一 个 字 母 （ 如 y ） 的 一 次 系 数 分 数 常 数 项 。 如 十 字 相 乘 图 ② 中 6y 2 +18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一个字母（如 x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省， 否则容易出错。 多项式因式分解的一般步骤 ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组 分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1+y) 2 -2x 2 (1+y 2 )+x 4 (1-y) 2 ． 解：原式=(1+y) 2 +2(1+y)x 2 (1-y)+x 4 (1-y) 2 -2(1+y)x 2 (1-y)-2x 2 (1+y 2 )（补项） =[(1+y)+x 2 (1-y)] 2 -2(1+y)x 2 (1-y)-2x 2 (1+y 2 )（完全平方） =[(1+y)+x 2 (1-y)] 2 -(2x) 2 =[(1+y)+x 2 (1-y)+2x][(1+y)+x 2 (1-y)-2x] =(x 2 -x 2 y+2x+y+1)(x 2 -x 2 y-2x+y+1)
学而思教育 www.eduu.com (x+1)2-yax2-)/(x-1)2y(x2-1 x+1(x+l-xy+yx-1(x-1-xy-y) 2.求证:对于任何实数xy,下式的值都不会为33 x3+3x4y-5x2y2-15x2y3+4xy2+12y3 解:原式=x^5+3x^4y)-(5x^3y2+15x^2y^3)+(4xy412y^5 =x~4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y^4(x+3y) (x+3y)(x4-5xy-+4y^4 =(x+3y)(x24y2)(x2y2) =(x+3y)x+y)xy)(x+2y)(x-2y) 当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互 不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。 3.△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c2+a2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是 等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明:∵-c2+a2+2ab-2bc=0 (atca-c)+2b(a-CF0 ∴(a-c)(a+2b+c)=0. ∵a、b、c是△ABC的三条边 ∴a+2b+c>0 即a=c,△ABC为等腰三角形。 4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y(n+1)-6x^nxyn-1)分解因式 解:-12x^2n×y^n+18x^n+2)y^(n+1)6x^nxy^(n-1) =6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y2+1)
6 =[(x+1) 2 -y(x 2 -1)][(x-1) 2 -y(x 2 -1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为 33： 5 4 3 2 2 3 4 5 x 3x y 5x y 15x y 4xy 12y 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y 2 +15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x 2 y 2 (x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x 2 y 2 +4y^4) =(x+3y)(x 2 -4y 2 )(x 2 -y 2 ) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 当 y=0 时，原式=x^5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互 不相同，而 33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.．△ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c 2 +a 2 +2ab-2bc=0，求证：这个三角形是 等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c 2 +a 2 +2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c 是△ABC 的三条边， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即 a＝c，△ABC 为等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．