压轴题专题 1.如图,抛物线y=ax2-bx+3交x轴于B(1,0),C(3,0两点,交y轴于点A, 连接AB,点P为抛物线上一动点 1)求抛物线的解析式; (2)当点P到直线AB的距离为时,求点P的横坐标; (3)当△ACP和△ABC的面积相等时,请直接写出点P的坐标 VA 备用图
1 压轴题专题 1. 如图，抛物线 y=ax2-bx+3 交 x 轴于 B(1，0)，C(3，0)两点，交 y 轴于点 A， 连接 AB，点 P 为抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 到直线 AB 的距离为 7 10 9 时，求点 P 的横坐标； （3）当△ACP 和△ABC 的面积相等时，请直接写出点 P 的坐标． 备用图 y O B C x A y O B C x A
2.如图1,在平面直角坐标系中,直线=x+4与抛物线y=ˉ2+bx+c(b,c 是常数)交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上.设抛物线与x轴 的另一个交点为点C. (1)求该抛物线的解析式 (2)点P是抛物线上一动点(不与点A,B重合) ①如图2,若点P在直线AB上方,连接OP交AB于点D,求的最大值 OD ②如图3,若点P在x轴上方,连接PC,以PC为一边作正方形CPEF.随 着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点E或F恰好落在y 轴上时,直接写出对应的点P的坐标 B 图3
2 2. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4 与抛物线 1 2 2 y x bx c = − + + （b，c 是常数）交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上．设抛物线与 x 轴 的另一个交点为点 C． （1）求该抛物线的解析式． （2）点 P 是抛物线上一动点（不与点 A，B 重合）． ①如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连接 OP 交 AB 于点 D，求 PD OD 的最大值； ②如图 3，若点 P 在 x 轴上方，连接 PC，以 PC 为一边作正方形 CPEF．随 着点 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点 E 或 F 恰好落在 y 轴上时，直接写出对应的点 P 的坐标． A B O C x y 图1 D P 图2 y O C x B A A B O C x y 图3 P
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3.如图,抛物线=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于点A(4,0),B(-2,0),交y轴于 点C. (1)求抛物线的解析式 (2)点O是x轴上位于点A,B之间的一个动点,点E为线段BC上一个动 点,若始终保持∠EQB=∠CAB,连接CQ,设△CQE的面积为S,点Q的横 坐标为m,求出S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时点Q的坐 标 (3)点P为抛物线上位于AC上方的一个动点,过点P作PF⊥y轴,交直 线AC于点F,点D的坐标为(2,0),若O,D,F三点中,当其中一点恰好 位于另外两点的垂直平分线上时,我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”, 请判断这三点是否有“和谐点”的存在,若存在,请直接写出此时点P的坐 标:若不存在,请说明理由
4 3. 如图，抛物线 y=ax2+bx+4（a≠0）交 x 轴于点 A(4，0)，B(-2，0)，交 y 轴于 点 C． （1）求抛物线的解析式． （2）点 Q 是 x 轴上位于点 A，B 之间的一个动点，点 E 为线段 BC 上一个动 点，若始终保持∠EQB=∠CAB，连接 CQ，设△CQE 的面积为 S，点 Q 的横 坐标为 m，求出 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 取最大值时点 Q 的坐 标． （3）点 P 为抛物线上位于 AC 上方的一个动点，过点 P 作 PF⊥y 轴，交直 线 AC 于点 F，点 D 的坐标为(2，0)，若 O，D，F 三点中，当其中一点恰好 位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”， 请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由． x y B A C O Q D E
4.如图,抛物线y=-3x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直 线y=3 x+3经过点A,C (1)求抛物线的解析式 (2)P是抛物线上一动点,过P作PM∥y轴交直线AC于点M,设点P的 横坐标为L ①若以点C,O,M,P为顶点的四边形是平行四边形,求t的值 ②当射线MP,MC,MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时,直接写出 的值 B
5 4. 如图，抛物线 3 2 4 y x bx c = − + + 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直 线 3 3 4 y x = + 经过点 A，C． （1）求抛物线的解析式． （2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM∥y 轴交直线 AC 于点 M，设点 P 的 横坐标为 t． ①若以点 C，O，M，P 为顶点的四边形是平行四边形，求 t 的值． ②当射线 MP，MC，MO 中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出 t 的值． A B C O y x P N M x y O C A B
5.如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4, 矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E (1)求抛物线的解析式 (2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平 行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为a,点P的 横坐标为m,求a关于m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出 a的最大值 (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以 M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条 件的点M的坐标:若不存在,请说明理由 图1 图2 6
6 5. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4， 矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式． （2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平 行线交直线 EO 于点 G，作 PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 a，点 P 的 横坐标为 m，求 a 关于 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围），并求出 a 的最大值． （3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条 件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． A B E y x C D O 图1 D 图2 H A B O C P E x y G
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC, OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D (1)求b,c的值 (2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A,B除外),过点E作 x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标 (3)在(2)的条件下:①求以点E,B,F,D为顶点的四边形的面积;② 在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若 存在,直接写出所有点P的坐标;若不存在,说明理由
7 6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC， OA=1，OC=4，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D． （1）求 b，c 的值． （2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A，B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标． （3）在（2）的条件下：①求以点 E，B，F，D 为顶点的四边形的面积；② 在抛物线上是否存在一点 P，使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若 存在，直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由． A B C D O x y
7.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1,抛物线交x轴于A, C两点,与直线y=x1交于A,B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E (1)求抛物线的解析式; (2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时 点P的坐标 (3)在平面直角坐标系中,以点B,E,C,D为顶点的四边形是平行四边 形,请直接写出符合条件点D的坐标
8 7. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线 x=-1，抛物线交 x 轴于 A， C 两点，与直线 y=x-1 交于 A，B 两点，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在直线 AB 上方的抛物线上运动，若△ABP 的面积最大，求此时 点 P 的坐标； （3）在平面直角坐标系中，以点 B，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边 形，请直接写出符合条件点 D 的坐标． A B C O E y x
8.如图,已知抛物线y=ax2+3x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点 (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标 (2)若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动点(不与B,C重合),则 是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出△PBC的最大面积; 若不存在,试说明理由 (3)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点 N,当MN=3时,求点N的坐标 P M B o 3 、x 图2
9 8. 如图，已知抛物线 2 3 4 2 y ax x = + + 的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A， B 两点（B 点在 A 点右侧），与 y 轴交于 C 点． （1）求抛物线的解析式和 A，B 两点的坐标． （2）若点 P 是抛物线上 B，C 两点之间的一个动点（不与 B，C 重合），则 是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？若存在，请求出△PBC 的最大面积； 若不存在，试说明理由． （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求点 N 的坐标． 图1 3 A B C O x y P M N y O x C A B 3 图2
9.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(23,0)和点B(0,-2) (1)求该抛物线的解析式; (2)若△OAB以每秒2个单位长度的速度沿射线BA方向运动,设运动时 间为t,点O,A,B的对应点分别为D,E,C,直线DE交抛物线于点M. ①当点M为DE的中点时,求t的值 ②连接AD,当△ACD为等腰三角形时,请直接写出点M的坐标 D M 备用图
10 9. 如图，抛物线 1 2 3 y x bx c = + + 经过点 A( 2 3 ，0)和点 B(0，-2)． （1）求该抛物线的解析式； （2）若△OAB 以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 BA 方向运动，设运动时 间为 t，点 O，A，B 的对应点分别为 D，E，C，直线 DE 交抛物线于点 M． ①当点 M 为 DE 的中点时，求 t 的值； ②连接 AD，当△ACD 为等腰三角形时，请直接写出点 M 的坐标． 备用图 A B C D E O M x y y O x B A