63三角形的中位线
6.3 三角形的中位线
回顾与思考 平行四边形的性质与判定 性质 判定 平行四边形的①两①两组对边分别平行的四边形 边组对边分别平行②②两组对边分别相等的四边形 两组对边分别相等③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的①对 角角相等②邻角互补两组对角分别相等的四边形 对角线平行四边形的对角对角线互相平分四边形 线互相平分 夹在两条平行线间的平行线段相等 推论
平行四边形的性质与判定 性质 判定 边 角 对角线 推论 平行四边形的①两 组对边分别平行② 两组对边分别相等 平行四边形的①对 角相等②邻角互补 平行四边形的对角 线互相平分 夹在两条平行线间的平行线段相等 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分四边形 回顾与思考
想一想 你能将任意一个三角形分成四个全等的 三角形吗? A ◆连接每两边的中点,看看得到 了什么样的图形? ◆四个全等的三角形 ◆请你设法验证上面的结论,B C 你敢应战吗? ◆连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 猜一猜,三角形中位线有什么性质?
你能将任意一个三角形分成四个全等的 三角形吗? 连接每两边的中点,看看得到 了什么样的图形? 四个全等的三角形. 请你设法验证上面的结论, 你敢应战吗? 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 猜一猜,三角形中位线有什么性质? B C A D· ·E · F 想一想
三角形中位线的性质 ◆定理:三角形的中位线平行于第三边,且等 于第三边的一半 A 已知:如图,DE是△ABC的中位线 D E 求证:DE∥BC,DE=BC 2 B ◆分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后 证明与BC相等从而转化为证明平行四边形的对 边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来 证明相应的边相等
三角形中位线的性质 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等 于第三边的一半. 已知:如图,DE是△ABC的中位线. 分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后 证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对 边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来 证明相应的边相等. D E B C A . 2 1 求证:DE∥BC, DE = BC
◆证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.A AE=CE,∠AED=∠CEF, △ABC≌△CDA(SAS) E AD=CF,∠ADE=∠F BD∥CF AD=BD B BD=CF 四边形ABCD是平行四边形 组对边平等且相等的四边形是平行四边形) DF∥BC,DF=BC DE∥BC,DE=-DF=-BC 2
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ABC≌△CDA(SAS). ∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD∥CF. ∵AD=BD, ∴BD=CF. D E B C A F ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. . 2 1 2 1 ∴DE∥BC, DE = DF = BC (一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)
三角形中位线性质的运用 ◆利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边 的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点 求证:△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED E B F
三角形中位线性质的运用 利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边 的一半” ,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. B C A D E F
◆分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等 证明: D,E,F分别是△ABC各边的中点 DE=BF=FC. EF=AD=DB. FD=CE=EA (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半) △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS)
证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS). 分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等. DE = BF = FC. EF = AD = DB. FD =CE = EA
测量两点之间不能到达的距离的方法-中位线法 已知:如图,A,B两地被池塘隔开, 在没有任何测量工具的情况下,有 通过学习方法估测出了A,B两地之 A 间的距离:先在AB外选一点C,然后 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗?C B 其中的道理是: 连结A、B,∵M是△ABC的的中位线 AB=2MN
已知:如图,A,B两地被池塘隔开, 在没有任何测量工具的情况下,有 通过学习方法估测出了A,B两地之 间的距离:先在AB外选一点C,然后 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗? C M B A N 测量两点之间不能到达的距离的方法---中位线法 其中的道理是: 连结A、B,∵MN是△ABC的的中位线 ,∴AB=2MN
运用中位线的“模型” 如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论 对所有的四边形ABCD都成立 A 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点 B H 求证:四边形EFGH是平行四边形 F C
运用中位线的 “模型” 如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论 对所有的四边形ABCD都成立. 求证:四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点
◆分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角 形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对 边平行且相等来证明. E B H 证明:连接AC F E,F,G,H分别为各边的中点, D C EF∥AC,EF=-AC.HG∥AC,HG=-AC EF∥HG,EF=HG 四边形EFGH是平行四边形
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角 形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对 边平行且相等来证明. 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. . 2 1 ∴EF∥AC, EF = AC HG∥AC, . 2 1 HG = AC ∴四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G