22.2降次一解一元二次方程(第五课时) 2224一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根为x、x2,则x1+x2= 2、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2,则b C 3、一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等,则a的值为() A.a=0 B.a=2或a=-2 C 2 D.a=2或a=0 4、已知方程x2+3x+1=0的两个根为x1、x2,求(1+x1)1+x2)的值 ◆典例分析 已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2 (1)求实数m的取值范围 (2)当x2-x2=0时,求m的值 (提示:如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么有x+x2=-,xx2=-) 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第(2)问中,所求m的值一定须 在一元二次方程有根的大前提下才有意义这一点是同学们常常容易忽略出错的地方 解:(1)∵一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根, △=(2m-1)2-4×1×m2=-4m+1≥0,∴m≤ (2)当x12-x2=0时,即(x1+x2)x1-x2)=0,∴x+x2=0或x-x2=0 当x+x2=0时,依据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-(2m-1), (2m-1)=0,∴m= 又:由(1)一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根时m的取值范围是m≤1 不成立,故m无解; 当x-x2=0时,x1=x2,方程有两个相等的实数根
22．2 降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程 2 3 1 0 2 x − x − = 的两根为 1 x 、 2 x ，则 x1 + x2 = ______． 2、关于 x 的一元二次方程 2 x bx c + + = 0 的两个实数根分别为 1 和 2，则 b = ______，c = ______． 3、一元二次方程 2 x ax − + =1 0 的两实数根相等，则 a 的值为（ ） A． a = 0 B． a = 2 或 a =−2 C． a = 2 D．a = 2 或 a = 0 4、已知方程 2 x x + + = 3 1 0 的两个根为 1 x 、 2 x ，求 1 2 (1 )(1 ) + + x x 的值. ◆典例分析 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 x m x m + − + = (2 1) 0 有两个实数根 1 x 和 2 x ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 2 2 1 2 x x − = 0 时，求 m 的值． （提示：如果 1 x 、 2 x 是一元二次方程 2 ax bx c a + + = 0( 0) 的两根，那么有 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = ） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求 m 的值一定须 在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方. 解:（1）∵一元二次方程 2 2 x m x m + − + = (2 1) 0 有两个实数根, ∴△＝ 2 2 (2 1) 4 1 4 1 0 m m m − − = − + ,∴ 1 4 m . （2）当 2 2 1 2 x x − = 0 时，即 1 2 1 2 ( )( ) 0 x x x x + − = ,∴ 1 2 x x + = 0 或 1 2 x x − = 0 . 当 1 2 x x + = 0 时，依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 x x m + = − − (2 1) , ∴ − − = (2 1) 0 m ,∴ 1 2 m = . 又∵由（1）一元二次方程 2 2 x m x m + − + = (2 1) 0 有两个实数根时 m 的取值范围是 1 4 m ,∴ 1 2 m = 不成立,故 m 无解； 当 1 2 x x − = 0 时， 1 2 x x = ,方程有两个相等的实数根
∴△=(2m-1)2-4×1×m2=-4m+1=0,∴m 综上所述,当x ◆课下作业 ●拓展提高 1、关于x的方程x2+px+q=0的两根同为负数,则() A.P>0且q>0 B.P>0且q0 p<0且q<0 2、若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x,x2,且满足x+x2=x“x2,则k的值 为 A、-1或 D、不存在 (注意:k的值不仅须满足x+x2=x“x2,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即k的值必须使得 △≥0才可以.) 3、已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根,求_+—的值 4、已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,求m的值 5、已知x1,x2是关于x的方程(x-2x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根 (1)求x,x2的值 (2)若x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,问当实数m,p满足什么条件时,此直角三角形的面积 最大?并求出其最大值 ●体验中考 1、(2009年,河北)已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根,则这 个直角三角形的斜边长是() (提示:如果直接解方程2x2-8x+7=0,可以得到直角三角形的两条直角边的长,再运用勾股定理求出 直角三角形的斜边长但由于方程的两根是无理数,计算十分麻烦因此应充分利用一元二次方程根与系数 的关系进行简便求解.)
∴△＝ 2 2 (2 1) 4 1 4 1 0 m m m − − = − + = ,∴ 1 4 m = . 综上所述,当 2 2 1 2 x x − = 0 时， 1 4 m = . ◆课下作业 ●拓展提高 1、关于 x 的方程 2 x px q + + = 0 的两根同为负数，则（ ） A． p > 0 且 q > 0 B． p > 0 且 q 0 D． p < 0 且 q < 0 2、若关于 x 的一元二次方程 2 2 x kx k + + − = 4 3 0 的两个实数根分别是 1 2 x x, ,且满足 1 2 1 2 x x x x + = .则 k 的值 为（ ） A、－1 或 3 4 B、－1 C、 3 4 D、不存在 (注意: k 的值不仅须满足 1 2 1 2 x x x x + = ,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即 k 的值必须使得 △ 0 才可以.) 3、已知 1 x 、 2 x 是方程 2 x x + + = 6 3 0 的两实数根，求 2 1 1 2 x x x x + 的值. 4、已知关于 x 的方程 2 x x m − + = 3 0 的一个根是另一个根的 2 倍，求 m 的值. 5、已知 1 x ， 2 x 是关于 x 的方程 ( 2)( ) ( 2)( ) x x m p p m − − = − − 的两个实数根． （1）求 1 x ， 2 x 的值； （2）若 1 x ， 2 x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积 最大？并求出其最大值． ●体验中考 1、（2009 年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2 2 8 7 0 x x − + = 的两个根，则这 个直角三角形的斜边长是（ ） A． 3 B．3 C．6 D．9 (提示：如果直接解方程 2 2 8 7 0 x x − + = ，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出 直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数 的关系进行简便求解.)
2、(2008年,黄石)已知ab是关于x的一元二次方程x2+mx-1=0的两个实数根,则式子b+的值是 D.-n2-2 参考答案 ◆随堂检测 3 依据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2 2、一3,2依据一元二次方程根与系数的关系可得 Xx=C 3、B.△=(-a)2-4×1×1=a2-4=0,∴a=2或a=-2,故选B 4、解:由一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2=-3 x,X,=1 (1+x1)(1+x2)=1+(x+x2)+x1x2=1-3+1=-1 ◆课下作业 ●拓展提高 由一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2=-P ,当方程x2+px+q=0的两根x,x2同 x,x2=q x1+x,0且q>0,故选A 2、C.由一元二次方程根与系数的关系可得 xx2=4k2-3
2、（2008 年，黄石）已知 a b, 是关于 x 的一元二次方程 2 x nx + − =1 0 的两个实数根,则式子 b a a b + 的值是 （ ） A． 2 n + 2 B． 2 − + n 2 C． 2 n − 2 D． 2 − − n 2 参考答案： ◆随堂检测 1、 2 3 . 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 3 2 x x + = . 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 1 2 x x b x x c + = − = ， ∴ b c = − + = − = = (1 2) 3, 1 2 2. 3、B. △＝ 2 2 ( ) 4 1 1 4 0 − − = − = a a ，∴ a = 2 或 a =−2 ，故选 B. 4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 3 1 x x x x + = − = ， ∴ 1 2 1 2 1 2 (1 )(1 ) 1 ( ) 1 3 1 1 + + = + + + = − + = − x x x x x x . ◆课下作业 ●拓展提高 1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 x x p x x q + = − = ，当方程 2 x px q + + = 0 的两根 1 2 x x, 同 为负数时， 1 2 1 2 0 0 x x x x + ，∴ p > 0 且 q > 0 ，故选 A. 2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 2 1 2 4 3 x x k x x k + = − = −
x+x2=x“x2,∴-k=4k2-3,解得k1=-1,k2= 当k1=-1时,△=k2-4x1×(4k2-3)=-15k2+12=-15×(-1)2+12=-30,故k2=符合题意综上所 述,k2=,故选C 3、解:由一元二次方程根与系数的关系可得:{1+x2=-6 xx,=3 x2+互=x+x2=(x+x)-2x2=(+6)-2×3=10 X 2 xx2 Xr2 3 4、解:设方程x2-3x+m=0的两根为x1、x2,且不妨设x1=2x2 则由一元二次方程根与系数的关系可得: MIx=m 代入x1=2x2,得 2x,2=m x2=1,m=2 5、解:(1)原方程变为:x2-(m+2)x+2m=p2-(m+2)p+2m x2-p2-(m+2)x+(m+2)p=0, (x-p)x+p)-(m+2)(x-p)=0, 即(x-p)(x+p-m-2)=0 x1=P,x2=m+2-p (2)∵:直角三角形的面积为xx2=m+-以)=、1 p2+-(m+2)p [p2-(m+2)p+("-)2 (m+2) (m+2 m+2 ,当P-2 2时,以五,为两直角边长的直角三角形的面积最大,最大面积为+2)2 8
∵ 1 2 1 2 x x x x + = ，∴ 2 − = − k k4 3 ，解得 1 k =−1， 2 3 4 k = . 当 1 k =−1 时,△＝ 2 2 2 2 k k k − − = − + = − − + = − 4 1 (4 3) 15 12 15 ( 1) 12 3 0 , 此时方程无实数根, 故 1 k =−1 不合题意,舍去. 当 2 3 4 k = 时,△＝ 2 2 2 2 3 4 1 (4 3) 15 12 15 ( ) 12 0 4 k k k − − = − + = − + ,故 2 3 4 k = 符合题意.综上所 述, 2 3 4 k = .故选 C. 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 6 3 x x x x + = − = ， ∴ 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( 6) 2 3 10 3 x x x x x x x x x x x x x x + + − − − + = = = = . 4、解：设方程 2 x x m − + = 3 0 的两根为 1 x 、 2 x ，且不妨设 1 2 x x = 2 . 则由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 x x 3 x x m + = = ， 代入 1 2 x x = 2 ,得 2 2 2 3 3 2 x x m = = ,∴ 2 x =1, m = 2 . 5、解：（1）原方程变为： 2 2 x m x m p m p m − + + = − + + ( 2) 2 ( 2) 2 ∴ 2 2 x p m x m p − − + + + = ( 2) ( 2) 0， ∴ ( )( ) ( 2)( ) 0 x p x p m x p − + − + − = ， 即 ( )( 2) 0 x p x p m − + − − = ， ∴ 1 x p = ， 2 x m p = + −2 ． （2）∵直角三角形的面积为 ( 2 ) 2 1 2 1 x1 x2 = p m + − p = p (m 2) p 2 1 2 1 2 − + + = )] 4 ( 2) ) ( 2 2 [ ( 2) ( 2 1 2 2 2 + − + − − + + m m p m p = 8 ( 2) ) 2 2 ( 2 1 2 2 + + + − − m m p ， ∴当 2 + 2 = m p 且 m＞－2 时，以 x1，x2 为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 8 ( 2) 2 m + 或
l ●体验中考 x1+x2 1、B.设x和x2是方程2x2-8x+7=0的两个根,由一元二次方程根与系数的关系可得 xx2=2 ∴x2+x2=(x1+x2)-2x1x2=4-2×=9,∴这个直角三角形的斜边长是3,故选 2、D由一元二次方程根与系数的关系可得: b+a=42+b2=(a+b)2-2ab=(a+b)-2=(m)2 2=-n2-2.故选D
2 2 1 p ． ●体验中考 1、B. 设 1 x 和 2 x 是方程 2 2 8 7 0 x x − + = 的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 4 7 2 x x x x + = = ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 7 ( ) 2 4 2 9 2 x x x x x x + = + − = − = ，∴这个直角三角形的斜边长是 3，故选 B. 2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 a b n ab + = − = − ， ∴ 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 1 b a a b a b ab a b n n a b ab ab ab + + − + − + = = = − = − = − − − .故选 D