22.2二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 ●基础训练 1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题 (1) (2)函数图象的对称轴是,顶点坐标P 3)该函数有最 时,y最值 (4)当x时,y随x的增大而减小 时,y随x的增大而增大 (5)抛物线与x轴交点坐标A 与y轴交点C的坐标为 (6)当y>0时,x的取值范围是 当y0?
22.2 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 ●基础训练 1.已知二次函数 y=ax 2 -5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1) a=_______,c=______. (2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标 P__________. (3)该函数有最______值,当 x=______时,y 最值=________. (4)当 x_____时,y 随 x 的增大而减小. 当 x_____时,y 随 x 的增大而增大. (5)抛物线与 x 轴交点坐标 A_______,B________; 与 y 轴交点 C 的坐标为_______; ABC S =_________, ABP S =________. (6)当 y>0 时,x 的取值范围是_________;当 y0? 1 4 A B x O y
3请画出适当的函数图象,求方程x2=1x+3的解 4.若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0) (1)求这个二次函数的关系式 (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上,汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下 表所示的对应关系 速度V(km/h)|48 6480 112… 刹车距离s(m)|2.53652.57294.5… (1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数,在图所示的坐标系中描点 连线,画出函数的图象; (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它 的函数关系式 (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确
3.请画出适当的函数图象,求方程 x 2 = 1 2 x+3 的解. 4.若二次函数 y=- 1 2 x 2 +bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下 表所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点 连线,画出函数的图象; (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它 的函数关系式; (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确. 速度 V(km/h) 48 64 80 96 112 … 刹车距离 s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 …
50100150v(km/h) ●能力提升 6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x轴上,点C在 直线y=x-2上 (1)求矩形各顶点坐标 (2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式 (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由 7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 (1)求这条抛物线的关系式 (2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有 AC+BC≤AD+BD
50 100 150 150 100 50 s(m) O v(km/h) ●能力提升 6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在 直线 y=x-2 上. (1 )求矩形各顶点坐标; (2)若直线 y=x-2 与 y 轴交于点 E,抛物线过 E、A、B 三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形 ABCD 内部,并说明理由. C O A B x D y E 7.已知一条抛物线经过 A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是 x= 5 3 . (1)求这条抛物线的关系式. (2)证明:这条抛物线与 x 轴的两个交点中,必存在点 C,使得对 x 轴上任意点 D 都有 AC+BC≤AD+BD
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当 球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离 地面距离为3.05m (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式; (2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳 离地面多高? 9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元,已知 P=1x+5x+100=-x+45 (1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式 (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元?这时每吨的价格 又是多少元? 10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值 范围 11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所 在直线为y轴,建立直角坐标系,若0A2+0B2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为 4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当 球运行的水平距离为 2.5m 时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离 地面距离为 3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式; (2)若该运动员身高 1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方 0.25m 处出手.问:球出手时,他跳 离地面多高? 9.某工厂生产 A 产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨这种产品的售价为每吨 Q 元, 已知 P= 1 10 x 2 +5x+1000,Q=- 30 x +45. (1)该厂生产并售出 x 吨,写出这种产品所获利润 W(元)关于 x(吨)的函数关系式; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格 又是多少元? 10.已知抛物线 y=2x2 -kx-1 与 x 轴两交点的横坐标,一个大于 2,另一个小于 2,试求 k 的取值 范围. 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边 AB 所在直线为 x 轴,以斜边 AB 上的高所 在直线为 y 轴,建立直角坐标系,若 OA2 +OB2 = 17, 且线段 OA、OB 的长度是关于 x 的一元二 3.05m 4m 2.5m x O y
次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根 (1)求C点的坐标 (2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的关系式 并画出此抛物线的草图 3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐 标;若不存在,说明理由 ●综合探究 12已知抛物线L=x2bx(其中a、b、。都不等于0,点/隔坐标是 b 4ac-b 与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛 物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线 (1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式 伴随抛物线的关系式 伴随直线的关系式 2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3,则这条抛物线的 关系是 (3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的关系 式 (4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x>0,它的伴随抛物线与x轴交于C,D 两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件
次方程 x 2 -mx+2(m-3)=0 的两个根. (1)求 C 点的坐标; (2)以斜边 AB 为直径作圆与 y 轴交于另一点 E,求过 A、B、E 三点的抛物线的关系式, 并画出此抛物线的草图. (3)在抛物线上是否存在点 P,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的 P 点的坐 标;若不存在,说明 理由. ●综合探究 12.已知抛物线 L;y=ax2 +bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是 2 4 , 2 4 b ac b a a − − ,与 y 轴的交点是 M(0,c)我们称以 M 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛 物线为抛物线 L 的伴随抛物线,直线 PM 为 L 的伴随直线. (1)请直接写出抛物线 y=2x2 -4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x 2 -3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的 关系是___________: (3)求抛物线 L:y=ax2 +bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系 式; (4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D 两点,且 AB=CD,请求出 a、b、c 应满足的条件. C A B E O x y E
答案: 1.(1)a=1;c=4(2)直线 24 (5)(1,0);(4,0);(0,4);6;27 8’(6)x4:1;〉 2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax+bx+c=3. 4a+2b+c=3 ∴a=1,b=2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-80 3.:在同一坐标系中如答图所示 画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标-和2 就是方程x2=-x+3的解 4.:(1)∵y=-x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 (-5)+b×(-5)+c=0 x(-1)2+b×(-1)+c=0/65, 顶点坐标为(-3,2) ∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位
答案： 1.(1)a=1;c=4 (2)直线 x= 5 2 , 5 9 , 2 4 − (3)小; 5 2 ; 9 4 − (4) 5 5 ; 2 2 (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 27 8 ; (6)x4;1;> 2.(1)由表知,当 x=0 时,ax 2 +bx+c=3;当 x=1 时,ax 2 =1;当 x=2 时,ax 2 +bx+c=3. ∴ 3 1 4 2 3 c a a b c = = + + = ,∴ 1 2 3 a b c = = − = , ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入 0,4,2. (2)①在 x 2 -2x+3=0 中,∵△=(-2)2 -4×1×3=-80. 3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数 y=x 2 的图象,画出函数 y= 1 2 x+3 的图象, 这两个图象的交点为 A,B,交点 A,B 的横坐标 3 2 − 和 2 就是方程 x 2 = 1 2 x+3 的解. 4.:(1)∵y= 1 2 − x 2 +bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 ∴ ( ) 2 2 1 ( 5) 5 0 2 1 ( 1) ( 1) 0 2 b c b c − − + − + = − − + − + = , 3 5 2 a b = − = − , ∴y= 1 5 2 3 2 2 − − − x x . (2)∵y= 1 5 2 3 2 2 − − − x x = 1 2 ( 3) 2 2 − + + x ∴顶点坐标为(-3,2), ∴欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位. 1 3 1 2 2 x=1 x y O 6 3 2 B A x y O
5.:(1)函数的图象如答图所示 (2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数 (3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c 把v=48,s=2.5;v=64,s=36;V=96,s=72分别代入s=ay2+bv+c 482a+48b+c=22.5 512 得{642a+64b+c=36,解得{b 6a+96b+c=72 51216 (4)当y=80时,3 51216=x1×802+32x80=525 ∵s=5 3 当v=112时, 3 s12"+16"=512×12+16×12=9%5 ∵s=94.5,∴s=-y2 51216 经检验,所得结论是正确的 6.:(1)如答图所示 ∴y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2) 把C(m,2)代入y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴0A=4-3=1 ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2) 令x=0,得 设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0)三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c, b+c=0,解得{b 16a+4b+c=0 C=-2 (3)抛物线顶点在矩形ABCD内部
5.:(1)函数的图象如答图所示. (2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2 +bv+c, 把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入 s=av 2 +bv+c, 得 2 2 2 48 48 22.5 64 64 36 96 96 72 a b c a b c a b c + + = + + = + + = , 解得 3 512 3 16 0 a b c = = = . ∴ 3 3 2 512 16 s v v = + (4)当 v=80 时, 3 3 3 3 2 2 80 80 52.5 512 16 512 16 v v + = + = ∵s=52.5, ∴ 3 3 2 512 16 s v v = + 当 v=112 时, 3 3 3 3 2 2 112 112 94.5 512 16 512 16 v v + = + = ∵s=94.5,∴ 3 3 2 512 16 s v v = + 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示. ∵y=x-2,AD=BC=2,设 C 点坐标为(m,2), 把 C(m,2)代入 y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)∵y=x-2,∴令 x=0,得 y=-2,∴E(0,-2). 设经过 E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为 y=ax 2 +bx+c, ∴ 2 0 16 4 0 c abc a b c = − ++= + + = , 解得 1 2 5 2 2 a b c = − = = − ∴y= 1 5 2 2 2 2 − + − x x . (3)抛物线顶点在矩形 ABCD 内部
x-2,∴顶点为 28 1<3<4,∴顶点/59 在矩形ABCD内部 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+C, A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x 16a+4b+c=6,解得{b=~15 3 29-8 (2)证明:令y=0,得x2-x+3=0,∴X"=2 ∴A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3) 设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3, 9 由-x-3=0,得 故C为,0,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合, 在x轴上任取一点D,在△BED中,BE<BD+DE 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,AC+BC<AD+BD 若D与C重合,则AC+BC=AD+BD.∴AC+BC≤AD+BD 8:(1)图中各点字母表示如答图所示 ∵0A=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5 ∴点D坐标为(1.5,3.05) D 抛物线顶点坐标(0,3.5) 3.05m ∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5, 把D(1.5,3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5, a=0.2,∴y=-0.2x2+3.5
∵y= 1 5 2 2 2 2 − + − x x , ∴顶点为 5 9 , 2 8 . ∵ 5 1 4 2 , ∴顶点 5 9 , 2 8 在矩形 ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为 y=ax 2 +bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线 x= 5 3 . ∴ 3 16 4 6 5 2 3 c a b c b a = + + = − = , 解得 9 8 15 4 3 a b c = = − = ∴y= 9 15 2 3 8 4 x x − + . (2)证明:令 y=0,得 9 15 2 3 8 4 x x − + =0, ∴ 1 2 4 , 2 3 x x = = ∵A(0,3),取 A 点关于 x 轴的对称点 E,∴E(0,-3). 设直线 BE 的关系式为 y=kx-3,把 B(4,6)代入上式,得 6=4k-3, ∴k= 9 4 ,∴y= 9 4 x-3 . 由 9 4 x-3=0,得 x= 4 3 . 故 C 为 4 ,0 3 ,C 点与抛物线在 x 轴上的一个交点重合, 在 x 轴上任取一点 D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD ,∴AC+BC<A D+BD. 若 D 与 C 重合,则 AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示. ∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5. ∴点 D 坐标为(1.5,3.05). ∵抛物线顶点坐标(0,3.5), ∴设所求抛物线的关系式为 y=a x 2 +3.5, 把 D(1.5, 3.05)代入上式,得 3.05=a×1.52 +3.5, ∴a=-0. 2,∴y=-0.2x2 +3.5 3.05m 4m 2.5m x O y B D A
(2)∵0A=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m), 把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5, 得m=-0.2×2.52+3.5=2.25 该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m) 9:(1)∵P=1x+5x+100Q=-x+45 W=Qx-P=(x+45)-(1x+5x+00-2x2+40x-100 (2)∵W2 x2+40x-100=(x-150)2+2000 ∵-二2, (x1-2)(x2-2) k的取值范围为k>7 法二∷∵抛物线y=2x2-kx-1与ⅹ轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2, ∴此函数的图象大致位置如答图所示 由图象知:当x=2时,y2.∴k的取值范围为k> 11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根, jo4+OB=m…() OAOB=2(m-3)…(2) 又∵0A2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·0A·0B=17.③
(2)∵OA=2.5,∴设 C 点坐标为(2.5,m), ∴把 C(2.5,m)代入 y=-0.2x2 +3.5, 得 m=- 0.2×2.52 +3.5=2.25. ∴该运动员跳离地面高度 h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m). 9:(1)∵P= 1 10 x 2 +5x+1000,Q=- 30 x +45. ∴W=Qx-P=(- 30 x +45)-( 1 10 x 2 +5x+1000)= 2 2 40 100 15 − + − x x . (2)∵W= 2 2 40 100 15 − + − x x =- 2 15 (x-150)2 +2000. ∵- 2 15 0, ∴无论 k 为何实数, 抛物线 y=2x2 -kx-1 与 x 轴恒有两个交点. 设 y=2x2 -kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1,x2,且规定 x1 2, ∴x1-20. ∴(x1-2)(x2-2) 7 2 . ∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 法二:∵抛物线 y=2x2 -kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于 2,另一个小于 2, ∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当 x=2 时,y 7 2 .∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 11:(1)线段 OA,OB 的长度是关于 x 的一元二次方程 x 2 -mx+2(m-3)=0 的两个根, ∴ (1) 2( 3) (2) OA OB m OA OB m + = = − 又∵OA2 +OB2 =17,∴(OA+OB)2 -2·OA·OB=17.③ x1 x2 2 x y O
把①,②代入③,得m2-4(m-3)=17,m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,m=-1应舍去 当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x= BC>AC,. 0B>0A,. 0A=1. 0B=4 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,C0⊥AB, 0C=0A·OB=1×4=4.∴0C=2,∴C(0,2) (2)∵0A=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2) 设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为 =ax+bx+c,则{16a+4b+c=0,解之,得{b 所求抛物线关系式为y=1x2-3x-2 (3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点 Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(,0)在抛物线的对称轴上 ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称 ∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意 可求得E′(3,-2) ∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x2+1,y=2x+1 (2)y=x2-2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c) 设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0) 设抛物线过/、b4ac-b2 4ac-6
把①,②代入③,得 m 2 -4(m-3) =17,∴m 2 -4m-5=0.解之,得 m=-1 或 m=5. 又知 OA+OB=m>0,∴m=-1 应舍去. ∴当 m= 5 时,得方程:x 2 -5x+4=0,解之,得 x=1 或 x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CO⊥AB, ∴OC2 =OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于 x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2). 设经过 A,B,E 三点的抛物线的关系式为 y=ax 2 +bx+c,则 0 16 4 0 2 a b c a b c c − + = + + = = − ,解之,得 1 2 3 2 2 a b c = = − = − ∴所求抛物线关系式为 y= 1 3 2 2 2 2 x x − − . (3)存在.∵点 E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标( 3 2 ,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点 E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得 E′(3,-2). ∴抛物线上存在点 P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x2 +1,y=-2x+1. (2)y=x2 -2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为 y=m(x-0)2 +c(m≠0). ∴设抛物线过 P 2 4 , 2 4 b ac b a a − − , ∴ 2 2 4 4 2 ac b b m c a a − = − +