22.1一元二次方程 ◆随堂检测 1、判断下列方程,是一元二次方程的有 3 (1) +5=0:(2) 4 (4)2(x+1)2=3(x+1):(5)x2-2x=x2+1:(6)ax2+bx+c=0 (提示:判断一个方程是不是一元二次方程,首先要对其整理成一般形式,然后根据定义判断.) 2、下列方程中不含一次项的是() B.16x=9 C.x(x-7)=0D.(x+5)(x-5)=0 3、方程3(x-1)2=5(x+2)的二次项系数 一次项系数:常数项 4、1、下列各数是方程(x2+2)=2解的是() 5、根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式 (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x. (3)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x ◆典例分析 已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0 (1)x为何值时,此方程是一元一次方程? (2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项 分析:本题是含有字母系数的方程问题.根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分别进行讨论求 解:(1)由题意得 时,即m=1时, m+1≠0 方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程-2x+1=0 (2)由题意得,(m2-1)≠0时,即m≠±1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程此方
22.1 一元二次方程 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1） 3 2 x x − + = 2 5 0 ； （2） 2 x =1 ； （3） 2 2 1 3 5 2 2 4 5 x x x x − − = − + ； （4） 2 2( 1) 3( 1) x x + = + ；（5） 2 2 x x x − = + 2 1 ；（6） 2 ax bx c + + = 0 . （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A．3x 5 2x 2 − = B． 2 16x = 9x C． x(x − 7) = 0 D． (x + 5)(x − 5) = 0 3、方程 2 3( 1) 5( 2) x x − = + 的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程 1 2 ( 2) 2 3 x + = 解的是（ ） A、6 B、2 C、4 D、0 5、根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x . （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x . （3）一个直角三角形的斜边长为 10，两条直角边相差 2，求较长的直角边长 x . ◆典例分析 已知关于 x 的方程 2 2 ( 1) ( 1) 0 m x m x m − − + + = ． （1） x 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2） x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求 解. 解：（1）由题意得， 2 1 0 1 0 m m − = + 时，即 m =1 时， 方程 2 2 ( 1) ( 1) 0 m x m x m − − + + = 是一元一次方程 − + = 2 1 0 x . （2）由题意得， 2 ( 1) 0 m − 时，即 m 1 时，方程 2 2 ( 1) ( 1) 0 m x m x m − − + + = 是一元二次方程.此方
程的二次项系数是m2-1、一次项系数是-(m+1)、常数项是m ◆课下作业 ●拓展提高 、下列方程一定是一元二次方程的是() 3x2 =0 C、ax2-x+2=0 D、(a2+1)x2+bx+c=0 2 2、=x2-+10x+m=0是关于x的一元二次方程,则x的值应为( A、m=2B、m D、无法确定 3、根据下列表格对应值: 3.24 3.25 3.26 ax+bx+c 判断关于x的方程ax2+bx+c=0,(a≠0)的一个解x的范围是() B、3.24<X<3.25 C、3.25<X<3.26 D、3.25<X<3.28 4、若一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= 若有一个根是-1, 则b与a、c之间的关系为 若有一个根为0,则 5、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根? 6、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,求m的值是多少? ●体验中考 1、(2009年,武汉)已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是() A.-3B.3C.0D.0或3 (点拨:本题考查一元二次方程的解的意义.) 2、(2009年,日照)若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为 (提示:本题有两个待定字母m和n,根据已知条件不能分别求出它们的值,故考虑运用整体思想,直接
程的二次项系数是 2 m −1 、一次项系数是 − + ( 1) m 、常数项是 m . ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A、 2 2 3 1 0 x x + − = B、 2 5 6 3 0 x y − − = C、 2 ax x − + = 2 0 D、 2 2 ( 1) 0 a x bx c + + + = 2、 2 2 1 10 0 3 m x x m − + + = 是关于 x 的一元二次方程，则 x 的值应为（ ） A、 m＝2 B、 2 3 m = C、 3 2 m = D、无法确定 3、根据下列表格对应值： x 3.24 3.25 3.26 2 ax bx c + + -0.02 0.01 0.03 判断关于 x 的方程 2 ax bx c a + + = 0, ( 0) 的一个解 x 的范围是（ ） A、 x ＜3.24 B、3.24＜ x ＜3.25 C、3.25＜ x ＜3.26 D、3.25＜ x ＜3.28 4、若一元二次方程 2 ax bx c a + + = 0, ( 0) 有一个根为 1，则 a +b + c =_________；若有一个根是-1， 则 b 与 a、c 之间的关系为________；若有一个根为 0，则 c=_________. 5、下面哪些数是方程 2 x x − − = 2 0 的根？ -3、-2、-1、0、1、2、3、 6、若关于 x 的一元二次方程 ( 1) 2 1 0 2 2 m − x + x + m − = 的常数项为 0，求 m 的值是多少？ ●体验中考 1、（2009 年，武汉）已知 x = 2 是一元二次方程 2 x mx + + = 2 0 的一个解，则 m 的值是（ ） A．-3 B．3 C．0 D．0 或 3 （点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.） 2、（2009 年，日照）若 n n( 0) 是关于 x 的方程 2 x mx n + + = 2 0 的根，则 m n + 的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 （提示：本题有两个待定字母 m 和 n ，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接
求出它们的和.) 参考答案 ◆随堂检测 1、(2)、(3)、(4)(1)中最高次数是三不是二;(5)中整理后是一次方程:(6)中只有在满足a≠0 的条件下才是一元二次方程 2、D首先要对方程整理成一般形式,D选项为x2-25=0.故选D 3、3:-1:2-7利用去括号、移项、合并同类项等步骤,把一元二次方程化成一般形式3x2-11x-7=0 同时注意系数符号问题 4、B将各数值分别代入方程,只有选项B能使等式成立.故选B. 5、解:(1)依题意得,4x2=25, 化为一元二次方程的一般形式得,4x2-25=0 (2)依题意得,x(x-2)=100, 化为一元二次方程的一般形式得,x2-2x-100=0 (3)依题意得,x2+(x-2)2=102, 化为一元二次方程的一般形式得,x2-2x-48=0
求出它们的和.） 参考答案： ◆随堂检测 1、（2）、（3）、（4） （1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在满足 a 0 的条件下才是一元二次方程． 2、D 首先要对方程整理成一般形式，D 选项为 2 x − = 25 0 .故选 D. 3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式 2 3 11 7 0 x x − − = ， 同时注意系数符号问题. 4、B 将各数值分别代入方程，只有选项 B 能使等式成立．故选 B. 5、解：（1）依题意得， 2 4 25 x = ， 化为一元二次方程的一般形式得， 2 4 25 0 x − = . （2）依题意得， x x( 2) 100 − = ， 化为一元二次方程的一般形式得， 2 x x − − = 2 100 0 . （3）依题意得， 2 2 2 x x + − = ( 2) 10 ， 化为一元二次方程的一般形式得， 2 x x − − = 2 48 0
◆课下作业 ●拓展提高 1、DA中最高次数是三不是二:B中整理后是一次方程;C中只有在满足a≠0的条件下才是一元二次 方程:D选项二次项系数(a2+1)≠0恒成立故根据定义判断D 2、c由题意得,2m-1=2,解得m=3.故选D 当3.24<x<3.25时,ax2+bx+c的值由负连续变化到正,说明在3.24<x<3.25范围内 定有一个x的值,使ax2+bx+c=0,即是方程ax2+bx+c=0的一个解.故选B. 4、0:b=a+C:0将各根分别代入简即可 5、解:将x=-3代入方程,左式=(-3)2-(-3)-2≠0,即左式≠右式故x=-3不是方程x2-x-2=0 的根 同理可得x=-2,0,1,3时,都不是方程x2-x-2=0的根 当x=-1,2时,左式=右式故x=-1,2都是方程x2-x-2=0的根 m2-1=0 6、解:由题意得 时,即m=-1时,(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0 m-1≠0 ●体验中考 1、A将x=2带入方程得4+2m+2=0,∴m=-3.故选A 2、D将x=n带入方程得n2+mn+2n=0,∵n≠0,∴n+m+2=0, ∴m+n=-2.故选D
◆课下作业 ●拓展提高 1、D A 中最高次数是三不是二；B 中整理后是一次方程；C 中只有在满足 a 0 的条件下才是一元二次 方程；D 选项二次项系数 2 ( 1) 0 a + 恒成立.故根据定义判断 D. 2、C 由题意得， 2 1 2 m− = ，解得 3 2 m = .故选 D. 3、B 当 3.24＜ x ＜3.25 时, 2 ax bx c + + 的值由负连续变化到正,说明在 3.24＜ x ＜3.25 范围内一 定有一个 x 的值,使 2 ax bx c + + = 0 ,即是方程 2 ax bx c + + = 0 的一个解.故选 B. 4、0； b a c = + ；0 将各根分别代入简即可. 5、解：将 x =−3 代入方程，左式= 2 ( 3) ( 3) 2 0 − − − − ，即左式 右式.故 x =−3 不是方程 2 x x − − = 2 0 的根. 同理可得 x = −2, 0,1,3 时,都不是方程 2 x x − − = 2 0 的根. 当 x = −1, 2 时,左式=右式.故 x = −1, 2 都是方程 2 x x − − = 2 0 的根. 6、解:由题意得， 2 1 0 1 0 m m − = − 时，即 m =−1 时， ( 1) 2 1 0 2 2 m − x + x + m − = 的常数项为 0. ●体验中考 1、A 将 x = 2 带入方程得 4 2 2 0 + + = m ，∴ m =−3.故选 A. 2、D 将 x n = 带入方程得 2 n mn n + + = 2 0 ，∵ n 0 ，∴ n m+ + =2 0 ， ∴ m n + = −2.故选 D