22.3实际问题与一元二次方程(第三课时) ◆随堂检测 1、一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为() C.25或36D 或-36 2、一个多边形有9条对角线,则这个多边形有多少条边( C、8 3、为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元 求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根据题意所列方程为( A.20x2=25 B.20(+x)=25 C.201+x)2=25 20(1+x)+20(+x)2=25 4、某辆汽车在公路上行驶,它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶 200m需要多长时间? (分析:这是一个加速运动,根据已知的路程求时间.因此,只要把s=200代入求关于t的一元二次方程 即可.) ◆典例分析 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车 (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s)? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下 (1)刚刹车时时速还是20m/s,以后逐渐减少,停车时时速为0.因为刹车以后,其速度的减少都是受 摩擦力而造成的,所以可以理解是匀速的,因此,其平均速度为 0+0 10m/s,那么根据:路程=速度 时间,便可求出所求的时间.(2)刚要刹车时车速为20m/s,停车车速为0,车速减少值为20-0=20,因为 车速减少值20,是在从刹车到停车所用的时间内完成的,所以20除以从刹车到停车的时间即可.(3)设 刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs.由于平均每秒减少车速已从上题求出,所以便可求出滑行到15米 的车速,从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度,再根据:路程=速度×时间,便可求出x的值 解:(1)从刹车到停车所用的路程是25m
22．3 实际问题与一元二次方程（第三课时） ◆随堂检测 1、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3， 则这个两位数为（ ） A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2、一个多边形有 9 条对角线，则这个多边形有多少条边（ ） A、6 B、7 C、8 D、9 3、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007 年用于绿化投资 20 万元，2009 年用于绿化投资 25 万元， 求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方程为（ ） A． 2 20 25 x = B． 20(1 ) 25 + = x C． 2 20(1 ) 25 + = x D． 2 20(1 ) 20(1 ) 25 + + + = x x 4、某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t （s） 之间的关系为：•s= 2 10 3 t t + ，那么行驶 200m 需要多长时间? (分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间.因此，只要把 s=200•代入求关于 t 的一元二次方程 即可．) ◆典例分析 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况， 紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0． 因为刹车以后，其速度的减少都是受 摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 20 0 2 + =10m/s，那么根据：路程=速度× 时间，便可求出所求的时间．（2）刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为 车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可．（3）设 刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs． 由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到 15 米 的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出 x 的值． 解:（1）从刹车到停车所用的路程是 25m；
从刹车到停车的平均车速是 20+0 25 那么从刹车到停车所用的时间是二=2.5(s) (2)从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 (3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs,这时车速为(20-8x)m/s. 则这段路程内的平均车速为 20+(20-8x) =(20-4x)m/s. ∴x(20-4x)=15,整理得:4x2-20x+15=0 解方程:得x=5+√0 2,∴x1≈4.08(不合题意,舍去),x2≈0.9(s) ∴刹车后汽车滑行到15m时约用了0.9s ◆课下作业 ●拓展提高 1、为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m 提高到12.m2,若每年的年增长率相同,则年增长率为() A.9% B.10% C.11% D.12% 2、如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开 始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm, 都从B点同时出发,几秒后△PBQ 的面积等于8cm2? C Q 3、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快 减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售
从刹车到停车的平均车速是 20 0 2 + =10（m/s）. 那么从刹车到停车所用的时间是 25 10 =2.5（s）. （2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20. 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20 2.5 =8（m/s）. （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 x s，这时车速为（20-8 x ）m/s. 则这段路程内的平均车速为 20 (20 8 ) 2 + − x =（20-4 x ）m/s. ∴ x （20-4 x ）=15,整理得： 2 4 20 15 0 x x − + = , 解方程：得 x = 5 10 2 ,∴ 1 x ≈4.08（不合题意，舍去）， 2 x ≈0.9（s）. ∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s. ◆课下作业 ●拓展提高 1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 2 10m 提高到 2 12.1m ， 若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A．9% B．10% C．11% D．12% 2、如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s•的速度移动，点 Q 从点 B 开 始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，•P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8cm 2？ 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售 P A A B A Q C
出2件 (1)若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元 (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 4、有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售.甲公司用如下方法促销:买一台 单价为780元,买两台每台都为760元.依此类推,即每多买一台则所买各台单价均再减20元,但最低 不能低于每台440元;乙公司一律按原售价的75%促销.某单位需购买一批图形计算器 (1)若此单位需购买6台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少? (2)若此单位恰好花费7500元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问是在哪家公司购买的 数量是多少? ●体验中考 1、(2009年,甘肃定西)在实数范围内定义运算“⊕”,其法则为:a④b=a2-b2,求方程(4⊕3)⊕x=24 的解 (点拨:本题是新定义运算,将一元二次方程的求解问题应用到了新定义运算的领域,具有一定的综合性.) 2、(2009年,湖州)随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2006 年底拥有家庭轿车64辆,2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆 (1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同,求该小区到2009年底家庭 轿车将达到多少辆? (2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算,建造费用分别为室内车 位5000元/个,露天车位1000元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但 不超过室内车位的2.5倍,求该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案 (提示:本题综合了二元一次方程及不等式的有关知识解决问题.)
出 2 件． （1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 4、有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台 单价为 780 元，买两台每台都为 760 元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元，但最低 不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？ （2）若此单位恰好花费 7500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的， 数量是多少？ ●体验中考 1、(2009 年，甘肃定西)在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： 2 2 a b a b = − ，求方程（4 3） x = 24 的解． （点拨：本题是新定义运算，将一元二次方程的求解问题应用到了新定义运算的领域，具有一定的综合性.） 2、(2009 年，湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1）若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2009 年底家庭 轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车 位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但 不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. (提示:本题综合了二元一次方程及不等式的有关知识解决问题.)
参考答案 ◆随堂检测 1、C.设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为x+3 依题意得:10x+x+3=(x+3 解得:x1=2,x2=3.∴这个两位数为25或36.故选C. 设这个多边形有n条边 依题意,得:n(n-3) 解得:n1=6,n2=-3(不合题意,舍去)∴这个多边形有6条边故选A 4、解:当s=200时,10t+3t2=200, 整理,得3+10-20.=2304=-10(不合题意舍去) (s) 答:行驶200m需=s ◆课下作业 ●拓展提高 1、B.设年增长率x,可列方程10(1+x)2=121,解得x=01=10%,x2=-21(不合题意,舍去), 所以年增长率10%,故选B 2、解:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 这时PB=x,BQ=2x 依题意,得: 解得x=± x 移动时间不能是负值,…∴x2=-2√不合题意,舍去∴x=22 答:2√互秒后△PBQ的面积等于8cm 3、解:(1)设每件衬衫应降价x元 则依题意,得:(40-x)(20+2x)=1200
参考答案： ◆随堂检测 1、C． 设这个两位数的十位数字为 x ，则个位数字为 x +3. 依题意得： 2 10 3 ( 3) x x x + + = + 解得: 1 2 x x = = 2, 3.∴这个两位数为 25 或 36.故选 C. 2、A． 设这个多边形有 n 条边. 依题意,得： ( 3) 9 2 n n − = , 解得: 1 2 n n = = − 6, 3 (不合题意,舍去).∴这个多边形有 6 条边.故选 A. 3、C. 4、解：当 s=200 时， 2 10 3 200 t t + = ， 整理，得 2 3 10 200 0 t t + − = ，解得: 1 2 20 , 10 3 t t = = − (不合题意,舍去). ∴ t = 20 3 （s） 答：行驶 200m 需 20 3 s． ◆课下作业 ●拓展提高 1、B. 设年增长率 x ，可列方程 ( ) 2 10 1 12.1 + = x ，解得 1 x = = 0.1 10% ， 2 x = −2.1 （不合题意，舍去）， 所以年增长率 10%，故选 B. 2、解：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 这时 PB= x ，BQ=2 x 依题意，得： 1 2 8 2 x x = ， 解得 x = 2 2 ，即 1 2 x x = = − 2 2, 2 2 ， ∵移动时间不能是负值，∴ 2 x = −2 2 不合题意，舍去．∴ x = 2 2 . 答：2 2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm 2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 x 元. 则依题意，得：（40- x ）（20+2 x ）=1200
整理,得x2-30x+200=0,解得:x=10,x2=20 若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价10元或20元. (2)设每件衬衫降价x元时,商场平均每天蠃利最多为y, 则y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2(x-15)2+1250 ∷-2(x-15)≤0,∴x=15时,赢利最多,此时y=1250元 ∴每件衬衫降价15元时,商场平均每天赢利最多 4、解:(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800-20×6)=4080(元);在乙公司购买需要用 75%×800×6=3600(元)440,符合题意 当x=25时,每台单价为800-20×25=300<440,不符合题意,舍去 ②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器,则有600x=7500,解之得x=12.5,不符合 题意,舍去 故该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了15台 ●体验中考 1、解:∵a⊕b ∴(4⊕3)x=(42-32)x=7x=72-x2 24.∴x2=25.∴ 2、解:(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x 则依题意得:64(1+x)=100, 解得:x=4=25%,x=4(不合题意,舍去) 1001+25%)=125 答:该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆 (2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个
整理，得 2 x x − + = 30 200 0 ，解得: 1 2 x x = = 10, 20 . ∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 x 元时，商场平均每天赢利最多为 y， 则 y=（40- x ）（20+2 x ）= 2 2 − + + = − − + 2 60 800 2( 30 ) 800 x x x x 2 = − − + 2( 15) 1250 x ∵ 2 − − 2( 15) 0 x ，∴ x =15 时，赢利最多，此时 y=1250 元． ∴每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多. 4、解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 6 (800 20 6) 4 080 − = （元）；在乙公司购买需要用 75% 800 6 3 600 = （元） 4 080 （元）．应去乙公司购买.（2）设该单位买 x 台，若在甲公司购买则 需要花费 x x (800 20 ) − 元；若在乙公司购买则需要花费 75% 800 600 =x x 元. ①若该单位是在甲公司花费 7500 元购买的图形计算器， 则有 x x (800 20 ) − = 7 500 ，解之得 x x = = 15 25 ， ． 当 x =15 时，每台单价为 800 20 15 500 440 − = ，符合题意. 当 x = 25 时，每台单价为 800 20 25 300 440 − = ，不符合题意，舍去． ②若该单位是在乙公司花费 7500 元购买的图形计算器，则有 600 7 500 x = ，解之得 x =12.5 ，不符合 题意，舍去． 故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台． ●体验中考 1、解：∵ 2 2 a b a b = − ， ∴ 2 2 2 2 (4 3) (4 3 ) 7 7 = − = = − x x x x ． ∴ 2 2 7 24 − = x ．∴ 2 x = 25 ．∴ x =5． 2、解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x . 则依题意得： ( ) 2 64 1 100 + = x ， 解得： 1 1 25 4 x = = %， 2 9 4 x = − （不合题意，舍去）. ∴ 100 1 25% 125 ( + =) . 答：该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆． (2)设该小区可建室内车位 a 个，露天车位 b 个
0.5a+0.1b=15① 则: 2a≤b≤25a② 由①得:b=150-5a代入②得:20≤a550 a是正整数,∴a=20或21 当a=20时b=50,当a=21时b=45 方案一:建室内车位20个,露天车位50个:方案二:室内车位21个,露天车位45个
则： 0.5 0.1 15 2 2.5 a b a b a + = ① ≤ ≤ ② 由①得： b =150-5 a 代入②得： 20 a 150 7 ， a 是正整数，∴ a =20 或 21. 当 a = 20 时 b = 50 ，当 a = 21 时 b = 45. ∴方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个