第2课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的不等关系 ●基础练习 1.已知二次函数y=ax2-5xtc的图象如图所示,请根据图象回答下列问题 (1)a= (2)函数图象的对称轴是 顶点坐标P (3)该函数有最值,当x=时,y最值= (4)当x时,y随x的增大而减小 当x时,y随x的增大而增大 (5)抛物线与x轴交点坐标A 与y轴交点C的坐标为 △ABP (6)当y>0时,x的取值范围是 当y0?
第 2 课时 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）中的不等关系 ●基础练习 1.已知二次函数 y=ax 2 -5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1) a=_______,c=______. (2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标 P__________. (3)该函数有最______值,当 x=______时,y 最值=________. (4)当 x_____时,y 随 x 的增大而减小. 当 x_____时,y 随 x 的增大而增大. (5)抛物线与 x 轴交点坐标 A_______,B________; 与 y 轴交点 C 的坐标为_______; ABC S =_________, ABP S =________. (6)当 y>0 时,x 的取值范围是_________;当 y0? 1 4 A B x O y
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=-x+3的解 4.若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0) (1)求这个二次函数的关系式 (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上,汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下 表所示的对应关系 速度V(km/h)48 112 刹车距离s(m)2253652.57294.5 (1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数,在图所示的坐标系中描点 连线,画出函数的图象; 2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它 的函数关系式; (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确
3.请画出适当的函数图象,求方程 x 2 = 1 2 x+3 的解. 4.若二次函数 y=- 1 2 x 2 +bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下 表所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点 连线,画出函数的图象; (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它 的函数关系式; (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确. 速度 V(km/h) 48 64 80 96 112 … 刹车距离 s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 …
50100150v(km/h) ●能力提升 6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x轴上,点C在 直线y=x-2上 (1)求矩形各顶点坐标 (2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式 (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由 7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 (1)求这条抛物线的关系式 (2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有 AC+BC≤AD+BD
50 100 150 150 100 50 s(m) O v(km/h) ●能力提升 6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在 直线 y=x-2 上. (1 )求矩形各顶点坐标; (2)若直线 y=x-2 与 y 轴交于点 E,抛物线过 E、A、B 三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形 ABCD 内部,并说明理由. C O A B x D y E 7.已知一条抛物线经过 A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是 x= 5 3 . (1)求这条抛物线的关系式. (2)证明:这条抛物线与 x 轴的两个交点中,必存在点 C,使得对 x 轴上任意点 D 都有 AC+BC≤AD+BD
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当 球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离 地面距离为3.05m (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式; (2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳 离地面多高? 9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元,已知 P=1x+5x+100=-x+45 (1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式 (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元?这时每吨的价格 又是多少元? 10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值 范围
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为 4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当 球运行的水平距离为 2.5m 时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离 地面距离为 3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式; (2)若该运动员身高 1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方 0.25m 处出手.问:球出手时,他跳 离地面多高? 9.某工厂生产 A 产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨这种产品的售价为每吨 Q 元, 已知 P= 1 10 x 2 +5x+1000,Q=- 30 x +45. (1)该厂生产并售出 x 吨,写出这种产品所获利润 W(元)关于 x(吨)的函数关系式; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格 又是多少元? 10.已知抛物线 y=2x2 -kx-1 与 x 轴两交点的横坐标,一个大于 2,另一个小于 2,试求 k 的取值 范围. 3.05m 4m 2.5m x O y
●综合探究 1.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的顶点P的坐标是 b 4ac-bi 与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛 物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线. (1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式 伴随抛物线的关系式 伴随直线的关系式 (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3,则这条抛物线的 关系是 (3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的关系 式 4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x>0,它的伴随抛物线与x轴交于C,D 两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件
●综合探究 11.已知抛物线 L;y=ax2 +bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是 2 4 , 2 4 b ac b a a − − ,与 y 轴的交点是 M(0,c)我们称以 M 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛 物线为抛物线 L 的伴随抛物线,直线 PM 为 L 的伴随直线. (1)请直接写出抛物线 y=2x2 -4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x 2 -3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的 关系是___________: (3)求抛物线 L:y=ax2 +bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系 式; (4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D 两点,且 AB=CD,请求出 a、b、c 应满足的条件
谷案: 1.(1)a=1;c=4 直线x=5(59 4 (3)小 63(,0:4,0:90.:6:8:(6084x)4:1(x4 (7)正号;x1=1;x2=4(8)>;〉 2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3 1 ∴a=1 4a+2b+C=3 ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2 (2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-80. 3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标-和2 就是方程x2=-x+3的解 4.:(1)∵y +bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 (-5)2+b×(-5)+c=0 5 (-1)2+bx(-1)+c=0 3 (2)∵y=-x2-3x-2=-(x+3)2+2 顶点坐标为(-3,2) 欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位 5.:(1)函数的图象如答图所示
答案： 1.(1)a=1;c=4 (2)直线 x= 5 2 , 5 9 , 2 4 − (3)小; 5 2 ; 9 4 − (4) 5 5 ; 2 2 (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 27 8 ; (6)x4;1;> 2.(1)由表知,当 x=0 时,ax 2 +bx+c=3;当 x=1 时,ax 2 =1;当 x=2 时,ax 2 +bx+c=3. ∴ 3 1 4 2 3 c a a b c = = + + = ,∴ 1 2 3 a b c = = − = , ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入 0,4,2. (2)①在 x 2 -2x+3=0 中,∵△=(-2)2 -4×1×3=-80. 3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数 y=x 2 的图象,画出函数 y= 1 2 x+3 的图象, 这两个图象的交点为 A,B,交点 A,B 的横坐标 3 2 − 和 2 就是方程 x 2 = 1 2 x+3 的解. 4.:(1)∵y= 1 2 − x 2 +bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 ∴ ( ) 2 2 1 ( 5) 5 0 2 1 ( 1) ( 1) 0 2 b c b c − − + − + = − − + − + = , 3 5 2 a b = − = − , ∴y= 1 5 2 3 2 2 − − − x x . (2)∵y= 1 5 2 3 2 2 − − − x x = 1 2 ( 3) 2 2 − + + x ∴顶点坐标为(-3,2), ∴欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示. 1 3 1 2 2 x=1 x y O 6 3 2 B A x y O
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c, 把v=48,s=2.5;v=64,s=36;V=96,s=72分别代入s=av2+bv+c 4832a+48b+c=22.5 512 642a+64b+c=36,解得{b= 3 962a+96b+c=72 51216 (4)当v=80时,3+165>x802+ 80=52.5 512 52.5, 51216 当v=112时,3 521652×112+×112=945 51216 经检验,所得结论是正确的 6.:(1)如答图所示 ∴y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2) 把C(m,2)代入y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴0A=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2) (2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2) 设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0)三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c, 解得{b= (3)抛物线顶点在矩形ABCD内部
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2 +bv+c, 把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入 s=av 2 +bv+c, 得 2 2 2 48 48 22.5 64 64 36 96 96 72 a b c a b c a b c + + = + + = + + = , 解得 3 512 3 16 0 a b c = = = . ∴ 3 3 2 512 16 s v v = + (4)当 v=80 时, 3 3 3 3 2 2 80 80 52.5 512 16 512 16 v v + = + = ∵s=52.5, ∴ 3 3 2 512 16 s v v = + 当 v=112 时, 3 3 3 3 2 2 112 112 94.5 512 16 512 16 v v + = + = ∵s=94.5,∴ 3 3 2 512 16 s v v = + 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示. ∵y=x-2,AD=BC=2,设 C 点坐标为(m,2), 把 C(m,2)代入 y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)∵y=x-2,∴令 x=0,得 y=-2,∴E(0,-2). 设经过 E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为 y=ax 2 +bx+c, ∴ 2 0 16 4 0 c abc a b c = − ++= + + = , 解得 1 2 5 2 2 a b c = − = = − ∴y= 1 5 2 2 2 2 − + − x x . (3)抛物线顶点在矩形 ABCD 内部
x-2,∴顶点为 28 1<3<4,∴顶点/59 在矩形ABCD内部 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+C, A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x 16a+4b+c=6,解得{b=~15 3 29-8 (2)证明:令y=0,得x2-x+3=0,∴X"=2 ∴A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3) 设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3, 9 由-x-3=0,得 故C为,0,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合, 在x轴上任取一点D,在△BED中,BE<BD+DE 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,AC+BC<AD+BD 若D与C重合,则AC+BC=AD+BD.∴AC+BC≤AD+BD 8:(1)图中各点字母表示如答图所示 ∵0A=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5 ∴点D坐标为(1.5,3.05) D 抛物线顶点坐标(0,3.5) 3.05m ∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5, 把D(1.5,3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5, a=0.2,∴y=-0.2x2+3.5
∵y= 1 5 2 2 2 2 − + − x x , ∴顶点为 5 9 , 2 8 . ∵ 5 1 4 2 , ∴顶点 5 9 , 2 8 在矩形 ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为 y=ax 2 +bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线 x= 5 3 . ∴ 3 16 4 6 5 2 3 c a b c b a = + + = − = , 解得 9 8 15 4 3 a b c = = − = ∴y= 9 15 2 3 8 4 x x − + . (2)证明:令 y=0,得 9 15 2 3 8 4 x x − + =0, ∴ 1 2 4 , 2 3 x x = = ∵A(0,3),取 A 点关于 x 轴的对称点 E,∴E(0,-3). 设直线 BE 的关系式为 y=kx-3,把 B(4,6)代入上式,得 6=4k-3, ∴k= 9 4 ,∴y= 9 4 x-3 . 由 9 4 x-3=0,得 x= 4 3 . 故 C 为 4 ,0 3 ,C 点与抛物线在 x 轴上的一个交点重合, 在 x 轴上任取一点 D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD ,∴AC+BC<A D+BD. 若 D 与 C 重合,则 AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示. ∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5. ∴点 D 坐标为(1.5,3.05). ∵抛物线顶点坐标(0,3.5), ∴设所求抛物线的关系式为 y=a x 2 +3.5, 把 D(1.5, 3.05)代入上式,得 3.05=a×1.52 +3.5, ∴a=-0. 2,∴y=-0.2x2 +3.5 3.05m 4m 2.5m x O y B D A
(2)∵0A=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m), 把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5, 得m=-0.2×2.52+3.5=2.25 该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m) 9:(1)∵P=1x+5x+100Q=-x+45 W=Qx-P=(x+45)-(1x+5x+00-2x2+40x-100 (2)∵W2 s+40x-100=-(x-150)2+2000 ∵-二2, x1-20 (x-2)(x2-2) k的取值范围为k>7 法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2, ∴此函数的图象大致位置如答图所示 由图象知:当x=2时,y2.∴k的取值范围为k> 11.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0)
(2)∵OA=2.5,∴设 C 点坐标为(2.5,m), ∴把 C(2.5,m)代入 y=-0.2x2 +3.5, 得 m=- 0.2×2.52 +3.5=2.25. ∴该运动员跳离地面高度 h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m). 9:(1)∵P= 1 10 x 2 +5x+1000,Q=- 30 x +45. ∴W=Qx-P=(- 30 x +45)-( 1 10 x 2 +5x+1000)= 2 2 40 100 15 − + − x x . (2)∵W= 2 2 40 100 15 − + − x x =- 2 15 (x-150)2 +2000. ∵- 2 15 0, ∴无论 k 为何实数, 抛物线 y=2x2 -kx-1 与 x 轴恒有两个交点. 设 y=2x2 -kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1,x2,且规定 x1 2, ∴x1-20. ∴(x1-2)(x2-2) 7 2 . ∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 法二:∵抛物线 y=2x2 -kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于 2,另一个小于 2, ∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当 x=2 时,y 7 2 .∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 11.(1)y=-2x2 +1,y=-2x+1. (2)y=x2 -2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为 y=m(x-0)2 +c(m≠0). x1 x2 2 x y O
设抛物线过P/b4ac-b2 解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=ax2+c 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0) b 4ac-b 4ac-b2 在此直线上 b 伴随直线关系式为y=bxc (4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,b20.由-ax2+c=0,得x=± 又AB=x-x=y(x-x2)2=√x+x)2-4x2= c√b2-4ac 由.得y=V2,整理得4综合B)H000b,得 a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0)
∴设抛物线过 P 2 4 , 2 4 b ac b a a − − , ∴ 2 2 4 4 2 ac b b m c a a − = − + 解得 m=-a,∴伴随抛物线关系式为 y=-ax 2 +c. 设伴随直线关系式为 y=kx+c(k≠0). ∵P 2 4 , 2 4 b ac b a a − − 在此直线上,∴ 2 4 4 2 ac b b k c a a − = − + , ∴k= 2 b . ∴伴随直线关系式为 y= 2 b x+c (4)∵抛物线 L 与 x 轴有两交点,∴△1=b2 -4ac>0,∴b 2 x1>0,∴x1+ x2= - b a >0,x1x2= c a >0,∴ab0. 对于伴随抛物线 y=-ax 2 +c,有△2=02 -(-4ac)=4ac>0.由-ax 2 +c=0,得 x= c a . ∴ ,0 , ,0 c c C D a a − ,∴CD=2 c a . 又 AB=x2-x1= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 ( ) ( ) 4 4 b c b ac x x x x x x a a a − − = + − = − − = . 由 AB=CD ,得 2 b ac 4 a − =2 c a , 整理得 b 2 =8ac,综合 b 2 >4ac,ab0,b2 =8 ac,得 a,b,c 满足的条件为 b 2 =8ac 且 ab<0,(或 b 2 =8ac 且 bc<0)