第3课时拱桥问题和运动中的抛物线 知识点 利用二次函数解决抛物线的问题,如隧道、大桥和拱门等,要恰当地建立平面直角坐标 系,从而确定抛物线的解析式,然后利用抛物线的性质解决实际问题。 选择 1.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在1时,拱顶(拱桥洞的最高点)离 水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是() 木一 第1题 第2题 第3题 第4题 2、有长24m的篱笆,一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃,设 花圃的垂直于墙的一边长为xm,面积是sm2,则s与x的关系式是() 3x2+24xB、s=-2x2+24xC、s=-3x2-24xD、s=-2x2+24x 3、如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4 秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为() h=-t2B、h=-t2+tC、h=-t2+t+1D、h=--t2+2t+1 16 4、在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形 挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm 那么y关于x的函数是() A、y=(60+2x)(40+2x) B、y=(60+x)(40+x) C、y=(60+2x)(40+x) D、y=(60+x)(40+2x) 5、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当 水位在AB位置时,水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的 函数关系式为() J=_25 6、国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品 原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的函数关系式为() A、y=36(1-x)B、y=36(1+x)C、y=18(1+x)2D、y=18(1-x) 7、如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方 形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y,则y是 x的函数,函数关系式是()
第 3 课时 拱桥问题和运动中的抛物线 知识点： 利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标 系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。 一、选择 1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离 水面 2m，水面宽 4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y=-2x2 B．y=2x2 C、 1 2 2 y x = − D 、 1 2 2 y x = 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 2、有长 24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设 花圃的垂直于墙的一边长为 xm，面积是 sm 2，则 s 与 x 的关系式是（ ）[ 来 源 : 学 + 科 + 网 ] A、 2 s x x = − + 3 24 B、 2 s x x = − + 2 24 C、 2 s x x = − − 3 24 D、 2 s x x = − + 2 24 3、如图，铅球的出手点 C 距地面 1 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后 4 秒钟达到最大高度 3 米， 则铅球运行路线的解析式为（ ） A、 3 2 16 h t = − B、 3 2 16 h t t = − + C、 1 2 1 8 h t t = − + + D、 1 2 2 1 3 h t t = − + + 4、在一幅长 60cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ycm 2，设金色纸边的宽度为 xcm 2， 那么 y 关于 x 的函数是（ ） A、y=（60+2x）（40+2x） B、y=（60+x）（40+x） C、y=（60+2x）（40+x） D、y=（60+x）（40+2x） 5、如图所示是一个 抛物线形桥拱 的示意图，在所 给出的平面直 角坐标系中，当 水位在 AB 位置时，水面宽度为 10m，此时水面到桥拱的距离是 4m，则抛物线的 函数关系式为（ ） A、 25 2 4 y x = B、 25 2 4 y x = − C、 4 2 25 y x = − D、 4 2 25 y x = 6、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x，该药品 原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） A、y=36（1-x） B、y=36（1+x） C、 2 y x = + 18(1 ) D、 2 y x = − 18(1 ) 7、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是边 BC 和 CD 上的动点（不与正方 形的顶点重合），不管 E、F 怎样动，始终保持 AE⊥EF． 设 BE=x，DF=y，则 y 是 x 的函数，函数关系式是（ ）
C、y=x2-x+ C 第5题 第7题 第8题 8、某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为ⅹ轴,出水点为原 点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米) 的一部分,则水喷出的最大高度是() A、4米 B、3米 米 D、1米 二、填空题 1、一个边长为3厘米的正方形,若它的边长增加x厘米,面积随之增加y平方 厘米,则y关于x的函数解析式是 2、有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16米,跨度为40米,现把它 的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中,则此抛物线的解析式为 B 0 B 40 O 第10题 第13题 第14题 第15题 3、二次函数y=ax2+bx+c中,b2=ac,且x=0时y=,则y的最 (大或小) 值 4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形,则这 两个正方形的面积之和的最小值是 5、如图,一小孩将一只皮球从A处抛出去,它经过的路线是某个二次函数图像的一部分 如果他的出手处A距地面OA为1m,球路的最高点为B(8,9),则这个二次函数的表达式 小孩将球抛出约 6、如图,某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱,其解析式为y=-x2+4x+2,则 水柱的最大高度是 米 7、如图是某公园一圆形喷水池,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,建立如下图所 示的坐标系,如果喷头所在处A(⑩,1.25),水流路线最高处M(1,2.25),则该抛物的解析 式为 如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少要m, 才能使喷出的水流不至落到池外 8、某文具店出售某种文具盒,若每个获利ⅹ元,一天可售(6-x)个,则当 X- 时,一天出售这种文具盒的总利润y最大 9、某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(米)与滑行时间ⅹ(秒)之间的函数关系式是 y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行 米才能停下来
A、 y x = +1 B、 y x = −1 C、 2 y x x = − +1 D、 2 y x x = − −1 第 5 题 第 7 题 第 8 题 8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原 点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x 2 +4x（单位：米） 的一部分，则水喷出的最大高度是（ ） A、4 米 B、3 米 C、2 米 D、1 米 二、填空题[来源: 学&科&网] 1、一个边长为 3 厘米的正方形，若它的边长增加 x 厘米，面 积随之增加 y 平 方 厘米，则 y 关于 x 的函数解析式是 2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 16 米，跨度为 40 米，现把它 的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 第 10 题 第 13 题 第 14 题 第 15 题 3、二次函数 2 y ax bx c = + + 中， 2 b ac = ，且 x=0 时 y=4,则 y 的最 （大或小） 值= 4、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这 两个正方形的面积之和的最小值是 5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分， 如果他的出手处 A 距地面 OA 为 1m，球路的最高点为 B（8,9），则这个二次函数的表达式 为 ，小孩将球抛出约 米。 6、如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 2 y x x = − + + 4 2 ，则 水柱的最大高度是 米。 7、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所 示的坐标系，如果喷头所在处 A(0,1.25)，水流路线最高处 M（1，2.25），则该抛物的解析 式为 。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 m， 才能使喷出的水流不至落到池外。 8、某文具店出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售（6 -x）个，则当 x= 时，一天出售这种文具盒的总利润 y 最大。 9、某一型号的飞机着陆后滑行的距离 y（米）与滑行时间 x（秒）之间的函数关系式是 2 yxx = − 60 1.5 ，该型号飞机着陆后需滑行 米才能停下来
10、如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC,BC为斜边在的同侧作两个等 要直角三角形△ACD和△BCE,那么D长的最小值是 D 第18题 三、解答题 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型,再这个三角形中,长度为xcm的边与这条边上的高 之和为40cm,这个三角形的面积Scm2随x的变化而变化 (1)请直写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少? 2、如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米,现以0 为原点米,OM所在的直线为x轴建立直角坐标系。 (1)直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标 (2)求这条抛物线的解析式; (3)若有搭建一个矩形的“支撑架”ADDC-CB,使C,D点在抛物线上,A,B点在地面OM上 则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 3、大学生王强积极响应“自主创业”的号召,准备投资销售一种进价为40元的小家电,通 过试营销发现,当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时,每月的销售量y(件)
10、如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC,BC 为斜边在的同侧作两个等 要 直 角 三 角 形 △ ACD 和 △ BCE ， 那 么 DE 长 的 最 小 值 是 。 第 18 题 三、解答题 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为 xcm 的边与这条边上的高 之和为 40cm，这个三角形的面积 Scm2 随 x 的变化而变化。 （1）请直写出 S与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大？最大面积是多少？ [来源: Z + xx+ k.C om] 2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米，现以 O 为原点米，OM 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系。 （1）直接写出点 M 的坐标及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使 C,D点在抛物线上，A,B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 3、大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为 40 元的小家电，通 过试营销发现，当销售单价在 40 元至 90 元之间（含 40 元和 90 元）时，每月的销售量 y（件）
与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数,其图像如图所示 (1)求y与x的函数关系式 (2)设王强每月获利为P元,求P与x之间函数关系式:要想销售利润最大,那么销售单 价应定为多少? 4、杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看作 个点)的路线是抛物线y=-x2+3x+1的一部分,如图所 (1)求演员弹跳离地面的最大高度 (2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表 演是否成功?请说明理由。 y(米) 5、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离 是11米,以ED所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 (1)求抛物线的解析式
与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，其图像如图所示。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）设王强每月获利为 P 元，求 P 与 x 之间函数关系式；要想销售利润最大，那么销售单 价应定为多少？ 4、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看作 一个点）的路线是抛物线 3 2 3 1 5 y x x = − + + 的一部分，如图所示。 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表 演是否成功？请说明理由。 5、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE,ED,DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离 是 11 米，以 ED 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40个小时内,水面与河底ED的距离h(米)随时间(时)的变 化满足函数关系:h 128(-193+80≤≤40),且当顶点C到水面的距离不大于5 米时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通过? y米
（2）已知从某时刻开始的 40 个小时内，水面与河底 ED 的距离 h（米）随时间（时）的变 化满足函数关系： 1 2 ( 19) 8(0 40) 128 h t t = − − + ，且当顶点 C 到水面的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？
参考答案 选择题1、C2、A3、C4、A5、C6、D7、C8、A (x-20)+16 填空题1、y=x+6x 小,34、12.55 2x+1 7、y=-(x-1)2+18 8、39、60010、1 三.解答题 解:(1)s=-x2+20x; s有最大值, 4×(-÷)×0-20 S有最大值为 4ac- =200cm ∴当x为20cn时,三角形最大面积是200
参考答案 一．选择题 1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、A 二．填空题 1、 2 y x x = + 6 2、 ( ) 2 1 2 20 16 25 y x x = − − + 3、小， 3 4、12.5 5、 1 2 2 1 8 y x x = − + + ，16.5 6、6 7、 2 y x = − − + ( 1) 1.8 8、3 9、600 10、1 三．解答题 1、[来源: Z * xx* k.C om] 2
解:(1)M(12,0),P(6,6).(2分) (2)设抛物线解析式为 y=a(x-6)2+ 分) ∵抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0) ∴0=a(0-6)2+6,即a=(4分) 抛物线解析式为:y-(x=6)2+6,即y=-x2+2x。(5分) (3)设A(m,0),则B(12-m,0),C(12-m,12+2n) D(m,-n2+2m).(6分 “支撑架”总长AD+Dc+CB=(-2n2+2m)+(12-2m)+(-21n2+2m) =-=m2+2m+12 分 此二次函数的图象开口向下 ∵当m=3米时,AD+DC+CB有最大值为15米,(9分) 解(1)设y与x的函数关系式为:y=kx+b(k≠0), 50k+b=160 由题意得 65k+b=100 k=-4 解得 b=360 故y=-4x+360(40≤x≤90) (2)由题意得,p与x的函数关系式为 p=(x-40)(-4x+360)=-4x2+520x-14400, 当P=2400时 4x2+520x-14400=2400, 解得:x1=60,x2=70 故销售单价应定为60元或70元
3 、 4
解:(1)将二次款y3212+化减y3(x=)2,(3分) 当x=时,y有最大值,y最大值4(5分) 因此,演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.(6分) (2)能成功表演,理由是 当x=4时,y= 3×42+3×4+1=3.4 3 即点B(4,34)在抛物线y=-x2+3x+1上 因此,能表演成功.(12分) 解:(1)∵点C到ED的距离是11米, 设抛物线的解析式为y=ax2+11,由题意得B(8,8), 64a+11=8 解得 32+11 (2)水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至少为11-5=6米, 6=128 (t-19)2+8 ∴(t-19)2=256, t-19=±16 解得t1=35,t2=3 ∴35-3=32(小时) 笞;需32小时禁止船只通行
5、 [来源:学科网]