22.2降次一解一元二次方程(第三课时) 22.2.2公式法 ◆随堂检测 1、一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2、若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围是() B C.m>1 3、若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有实数根,则实数m的取值范围是 4、用公式法解下列方程. (1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)4x2-3x+1=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后正确代入求根公式 -b+√b2-4ac √b2-4ac 即可 ◆典例分析 解方程:2x2+43x=22 有一位同学解答如下 这里,a=√,b=43,c=2√2 b2-4ac=(4)2-4×√×22=32, x=b-4=-4、B2=-±2 x 请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果 分析:本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的 般形式才行 解:这位同学的解答有错误,错误在c=-22,而不是c=2√,并且导致以后的计算都发生相应的错误 正确的解答是
22．2 降次--解一元二次方程（第三课时） 22.2.2 公式法 ◆随堂检测 1、一元二次方程 2 x x − − = 2 1 0 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2、若关于 x 的一元二次方程 2 x x m − + = 2 0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A． m 1 B． m −1 C． m 1 D． m −1 3、若关于 x 的一元二次方程 2 x x m − + = 3 0 有实数根，则实数 m 的取值范围是_____________. 4、用公式法解下列方程. （1） 2 2 4 1 0 x x − − = ；（2） 2 5 2 3 x x + = ；（3） 2 4 3 1 0 x x − + = . 分 析 ： 用 公式 法 解一 元 二次 方 程， 首 先应 把 它化 为 一 般形 式 ，然 后 正确 代 入求 根 公 式 2 1 4 2 b b ac x a − + − = ， 2 x = 2 4 2 b b ac a − − − 即可. ◆典例分析 解方程： 2 2 4 3 2 2 x x + = ． 有一位同学解答如下： 这里， a = 2 ，b = 4 3 ， c = 2 2 , ∴ 2 2 b ac − = − = 4 (4 3) 4 2 2 2 32 , ∴ x = 2 4 4 3 32 6 2 2 2 2 b b ac a − − − = = − , ∴ 1 x = − + 6 2 ， 2 x = − − 6 2． 请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果． 分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一 般形式才行. 解：这位同学的解答有错误,错误在 c = −2 2 ,而不是 c = 2 2 ,并且导致以后的计算都发生相应的错误． 正确的解答是:
首先将方程化为一般形式√2x2+4x-2√2=0, ∴a=√,b=4√3,c=-2√2, ∴b2-4ac=(43)2-4×V2x(-2√2)=6 ±√b2-4ac-4±√64 22 √6±2√2 √2,x2=V6-22 ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是() A.x2+4=0B.4x2-4x+1=0C.x2+x+3=0D.x2+2x-1=0 2、如果关于x的方程x2-2x-k=0没有实数根,则k的取值范围为 3、用公式法解下列方程 (1)2x(x+4)=1:(2)(x-2(3x-5)=1:(3)0.3y2+y=0.8 4、求证:关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根 5、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子 表示) 提示:不等式ax+3>0中含有字母系数a,要想求ax+3>0的解集,首先就要判定a的值是正、负 或0.利用条件一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根可以求出a的取值范围 ●体验中考 1、(2008年,河南)如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的 取值范围是() A. k 4B.k>-且k≠0C.k<l D. k 且k≠0 注意:一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0的二次项系数含有字母k 2、(2009年,湖南株洲)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们
首先将方程化为一般形式 2 2 4 3 2 2 0 x x + − = ， ∴ a = 2 ，b = 4 3 ， c = −2 2 , ∴ 2 2 b ac − = − − = 4 (4 3) 4 2 ( 2 2) 64 , ∴ x = 2 4 4 3 64 6 2 2 2 2 2 b b ac a − − − = = − , ∴ 1 x = − + 6 2 2 ， 2 x = − − 6 2 2 ． ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A． 2 x + = 4 0 B． 2 4 4 1 0 x x − + = C． 2 x x + + =3 0 D． 2 x x + − = 2 1 0 2、如果关于 x 的方程 2 0 2 x − x − k = 没有实数根，则 k 的取值范围为_____________. 3、用公式法解下列方程. （1） 2x(x + 4) = 1 ；（2） ( 2)(3 5) 1 x x − − = ；（3） 2 0.3 0.8 y y + = . 4、求证：关于 x 的方程 (2 1) 1 0 2 x + k + x + k − = 有两个不相等的实数根． 5、若关于 x 的一元二次方程 2 ( 2) 2 1 0 a x ax a − − + + = 没有实数解，求 ax+ 3 0 的解集（用含 a 的式子 表示）． 提示：不等式 ax+ 3 0 中含有字母系数 a ，要想求 ax+ 3 0 的解集，首先就要判定 a 的值是正、负 或 0．利用条件一元二次方程 2 ( 2) 2 1 0 a x ax a − − + + = 没有实数根可以求出 a 的取值范围． ●体验中考 1、（2008 年，河南）如果关于 x 的一元二次方程 2 2 k x k x − + + = (2 1) 1 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的 取值范围是（ ） A． 1 4 k − B． 1 4 k − 且 k 0 C． 1 4 k − D． 1 4 k − 且 k 0 注意:一元二次方程 2 2 k x k x − + + = (2 1) 1 0 的二次项系数含有字母 k . 2、（2009 年，湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2 ax bx c a + + = 0( 0) 满足 abc + + = 0 ，那么我们
称这个方程为“凤凰”方程已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下 列结论正确的是() 参考答案: ◆随堂检测 1、B∵△=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选B 2、C∵△=b2-4ac=(-2)2-4×1×m=4-4m1.故选C ∵△=b2-4ac=(-3)-4×1×m=9-4m≥0,∴:m、9 4、解:(1)a=2,b=-4,c=-1
称这个方程为“凤凰”方程.已知 2 ax bx c a + + = 0( 0) 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（ ） A． a c = B． a b = C．b c = D． abc = = 参考答案： ◆随堂检测 1、B ∵△＝ 2 2 b ac − = − − − = 4 ( 2) 4 1 ( 1) 8 0 ，∴方程有两个不相等的实数根，故选 B． 2、C ∵△＝ 2 2 b ac m m − = − − = − 4 ( 2) 4 1 4 4 0 ，∴ m 1 ．故选 C． 3、 9 4 m ∵△＝ 2 2 b ac m m − = − − = − 4 ( 3) 4 1 9 4 0 ，∴ 9 4 m ． 4、解：（1） a = 2，b =−4， c =−1
∷b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0, -(-4)±√244±262±√6 2 2 (2)将方程化为一般形式3x2-5x-2=0, ∴a=3,b=-5,c=-2, b2-4ac=(-5)-4×3×(-2)=49>0, (-5)±√495±7 2×3 6…=2, (3)a=4,b=-3 ∷b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-70,方程有两个不相等的实数根.故选D =b2 0,∴k 3、(1)将方程化为一般形式2x2+8x-1=0, a=2,b=8,c=-1, b2-4ac=8--4×2×(-1)=72>0 -4±3 √2 4+32 4-3√2 (2)将方程化为一般形式3x2-11x+9=0 a=3,b=-11,c=9 b2-4ac=(-112-4×3×9=13>0 -(-1)±311±13 11+13 11 (3)将方程化为一般形式0.3y2+y-08=0, 0.3,b=1,c=-0.8
∴ 2 2 b ac − = − − − = 4 ( 4) 4 2 ( 1) 24 0 , ∴ x = ( 4) 24 4 2 6 2 6 2 2 4 2 − − = = , ∴ 1 2 6 2 x + = ， 2 2 6 2 x − = ． （2）将方程化为一般形式 2 3 5 2 0 x x − − = ， ∴ a = 3，b =−5， c =−2 , ∴ 2 2 b ac − = − − − = 4 ( 5) 4 3 ( 2) 49 0 , ∴ x = ( 5) 49 5 7 2 3 6 − − = ，∴ 1 x = 2 ， 2 1 3 x = − ． （3） a = 4，b =−3， c =1, ∴ 2 2 b ac − = − − = − 4 ( 3) 4 4 1 7 0 ， ∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根． ◆课下作业 ●拓展提高 1、D 只有选项 D 中△＝ 2 2 b ac − = − − = 4 2 4 1 ( 1) 8 0 ，方程有两个不相等的实数根．故选 D． 2、 k −1 ∵△＝ 2 2 b ac k k − = − − − = + 4 ( 2) 4 1 ( ) 4 4 0 ，∴ k −1． 3、（1）将方程化为一般形式 2 2 8 1 0 x x + − = ， ∴ a = 2，b = 8， c =−1, ∴ 2 2 b ac − = − − = 4 8 4 2 ( 1) 72 0 , ∴ 8 72 4 3 2 2 2 2 x − − = = ，∴ 1 4 3 2 2 x − + = ， 2 4 3 2 2 x − − = ． （2）将方程化为一般形式 2 3 11 9 0 x x − + = ， ∴ a = 3，b =−11， c = 9 , ∴ 2 2 b ac − = − − = 4 ( 11) 4 3 9 13 0, ∴ x = ( 11) 13 11 13 2 3 6 − − = ，∴ 1 11 13 6 x + = ， 2 11 13 6 x − = ． （3）将方程化为一般形式 2 0.3 0.8 0 y y + − = ， ∴ a = 0.3，b =1， c =−0.8
∴b2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=196>0, 1±√196-10±14 y1 2×0.3 4、证明:∵△=b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0恒成立,∴方程有两个不相等的实数根 5、解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根 ∴(-2a)2-4(a-2a+1)=4a+80即ax>-3,∴x--且k≠0.故选B (2k+12-4k2x1>0 a+6+c=0 2、A依题意得, b2-4a=0 代入得(a+c)2=4ac, ∴(a-c)2=0,∴a=C.故选A
∴ 2 2 b ac − = − − = 4 1 4 0.3 ( 0.8) 1.96 0 , ∴ y = 1 1.96 10 14 2 0.3 6 − − = ，∴ 1 y = −4， 2 2 3 y = ． 4、证明：∵△＝ 2 2 2 b ac k k k − = + − − = + 4 (2 1) 4 1 ( 1) 4 5 0 恒成立，∴方程有两个不相等的实数根． 5、解：∵关于 x 的一元二次方程 2 ( 2) 2 1 0 a x ax a − − + + = 没有实数根， ∴ 2 ( 2 ) 4( 2)( 1) 4 8 0 − − − + = + a a a a ，∴ a − 2 0． ∵ ax+ 3 0 即 ax −3 ，∴ 3 x a − ． ∴所求不等式的解集为． 3 x a − . ●体验中考 1、B 依题意得, 2 2 2 0 (2 1) 4 1 0 k k k + − ,解得 1 4 k − 且 k 0 .故选 B． 2、A 依题意得, 2 0 4 0 abc b ac + + = − = ,代入得 2 ( ) 4 a c ac + = , ∴ 2 ( ) 0 a c − = ,∴ a c = .故选 A．