第2课时商品利润最大问题 知识点1、二次函数常用来解决最优化的问题,这个问题实质是求函数的最大(小)值。 2、抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点是它的最高(低)点,当x=、b 时,二次函数 有最大(小)值y= 、选择题 1、进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次 降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为() 2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价。若每件商品的售 价为x元,则可卖处(350-10x)件商品。商品所获得的利润y元与售价x的函数关系为 A、y=-10x2-560x+7350 B、y=-10x+560x-7350 y=-10x+350x y=-10x+350x-7350 3、某产品的进货价格为90元,按100元一个售出时,能售500个,如果这种商品每涨价1 元,其销售量就减少10个,为了获得最大利润,其定价应定为 A、130元B、120元C、110元D、100元 4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳,函数h=3.51-492(t单位s,h单位m)可用 来描述她的重心的高度变化,则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是( A、0.71s B、0.70s C、0.63s D、0.36s 5、如图,正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方 向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(秒),y=PC2,则y关于x的函数图像大致 为( 第5题C 6、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,现有下列结论:①abc>0; ②b2-4ac0.则其中正确的结论的个数是() A、1 B、2 7、如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH
第 2 课时 商品利润最大问题 知识点 1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。 2、抛物线 2 y ax bx c a = + + ( 0) 的顶点是它的最高（低）点，当 x= 2 b a − 时，二次函数 有最大（小）值 y= 2 4 4 ac b a − 。 一、选择题 1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次 降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y 与x之间的函数关系式为（ ） A、 y a x = − 2 ( 1) B、 y a x = − 2 (1 ) C、 2 y a x = − (1 ) D、 2 y a x = − (1 ) 2、某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品的售 价为 x 元，则可卖处(350-10x)件商品。商品所获得的利润 y 元与售价 x 的函数关系为 （ ） A、 2 y x x = − − + 10 560 7350 B、 2 y x x = − + − 10 560 7350 C、 2 y x x = − + 10 350 D、 2 y x x = − + − 10 350 7350 3、某产品的进货价格为 90 元，按 100 元一个售出时，能售 500 个，如果这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）[来源:学_科_网] A、130 元 B、120 元 C、110 元 D、100 元 4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数 2 h t t = − 3.5 4.9 （t 单位 s，h 单位 m）可用 来描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（ ） A、0.71s B、0.70s C、0.63s D、0.36s 5、如图，正△ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A→B→C 的方 向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒）， 2 y PC = ，则 y 关于 x 的函数图像大致 为（ ）[来源:学* 科*网] A B 第 5 题 C D 6、已知二次函数 2 y ax bx c a = + + ( 0) 的图像如图所示，现有下列结论： ①abc＞0； ② 2 b ac − 4 ＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 7、如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH
设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是 1 x A C第7题 8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从这些 边角料上截取矩形(阴影部分)片备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应分 别为() A、x=10,y=14B、x=14,y=10C、x=12,y=15D、x=15,y=1 第6题 第8题 二、填空题 1、已知卖出盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式:y=-x2+1200x-357600, 则卖出盒饭数量为 盒时,获得最大利润为 2、人民币存款一年期的年利率为x,一年到期后,银行会将本金和利息自动按一年期定期 存款储蓄转存。如果存款额是a元,那么两年后的本息和y元的表达式为 (不考虑利息税)。 11、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了扩大销售,增 加利润,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。经调査发现:若这种衬衫每降价2 元,商场平均每天可多售出4件,则商场降价后每天的盈利y(元)与降价ⅹ(元)的函数 关系式 3、已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点,P为正方形ABCD边上的一个动点,动 点P从点A出发,沿A→B→C→E运动,到达E点.若点P经过的路程为自变量x,△APE 的面积为函数y,则当y==时,x的值 B
设小正方形 EFGH 的面积为 s，AE 为 x，则 s 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C 第 7 题 D 8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些 边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、y 应分 别为（ ） A、x=10,y=14 B、x=14,y=10 C、x=12,y=15 D、x=15,y=12 第 6 题 第 8 题 二、填空题 1、已知卖出盒饭的盒数 x（盒）与所获利润 y（元）满足关系式： 2 y x x = − + − 1200 357 600， 则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。 2、人民币存款一年期的年利率为 x，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期 存款储蓄转存。如果存款额是 a 元，那么两年后的本息和 y 元的表达式为 [来 源:学科网 Z XX K] (不考虑利息税)。 11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增 加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：若这种衬衫每降价 2 元，商场平均每天可多售出 4 件，则商场降价后每天的盈利 y（元）与降价 x（元）的函数 关系式 。 3、已知正方形 ABCD 的边长是 1，E 为 CD 边的中点，P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动 点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→E 运动，到达 E 点．若点 P 经过的路程为自变量 x，△APE 的面积为函数 y，则当 1 3 y = 时，x 的值=
4、如图,抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A、B两点,两条抛物线的 顶点分别为C、D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为 14、如图,点P在抛物线y=x2-4x+3上运动,若以P为圆心,为半径的⊙P与x 轴相切,则点P的坐标为 5、如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12m,BC=24mm,动点P从点A开始沿边 AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C 以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,那么 经过 秒,四边形APQC的面积最小 三、解答题 1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。据测算,若每个房间的定价为60元/天,房间将会住满 若每个房间的定价每增加5元/天,就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要 支出各种费用20元/天(没住宿的不支出)。当房价定为每天多少时,该旅馆的利润最大? 2、最近,某市出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加。某农户生产经销 种农副产品,已知这种产品的成本价为20元每千克。经市场调查发现,该产品每天的销 售量w(千克)与销售量x(元)有如下的关系:w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为 y(元)。 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)当销售价定为多少元每千克时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克,该农户想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为多少? 3、与某雪糕厂由于季节性因素,一年之中产品销售有淡季和旺季,当某月产品无利润时就 停产。经调查分析,该厂每月获得的利润y(万元)和月份x之间满足函数关系式 y=-x2+ax+b,已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。问
4、如图，抛物线 y=ax 2 -4 和 y=-ax 2 +4 都经过 x 轴上的 A、B 两点，两条抛物线的 顶点分别为 C、D．当四边形 ACBD 的面积为 40 时，a 的值为 14、如图，点 P 在抛物线 y=x 2 -4x+3 上运动，若以 P 为圆心，为半径的⊙P 与 x 轴相切，则点 P 的坐标为 。 5、如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s 的速度移动（不与点 B 重 合），动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动（不与点 C 重合）．如果 P、 Q 分别从 A、B 同时出发，那么 经过 秒，四边形 APQC 的面积最小． 三、解答题[来源: 学*科*网] 1、某旅馆有 30 个房间供旅客住宿。据测算，若每个房间的定价为 60 元/天，房间将会住满； 若每个房间的定价每增加 5 元/天，就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要 支出各种费用 20 元/天（没住宿的不支出）。当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？ 2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销 一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元每千克。经市场调查发现，该产品每天的销 售量 w（千克）与销售量 x（元）有如下的关系：w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为 y（元）。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元每千克，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就 停产。经调查分析，该厂每月获得的利润 y（万元）和月份 x 之间满足函数关系式 2 y x ax b = − + + ，已知 3 月份、4 月份的利润分别是 9 万元、16 万元。问
(1)该厂每月获得的利润y(万元)和月份x之间的函数关系式; (2)该厂在第几个月份获得最大利润?最大利润为多少 (3)该厂一年中应停产的是哪几个月份?通过计算说明。 4、(黄冈)某技术开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定 为3000元,在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买这种新型产品,公司决定商家 一次性购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售:若一次性购买该种产品超过 10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于 2600元 (1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元? (2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(元) 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围 (3)该公司的销售人员发现:当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时,,会出现随着 次购买数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来越 公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其他销售条件不变) 5、(长沙)在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司 以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的 生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调查发现,该产品的销售单 价定为25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元) 40-x(25≤x≤30 之间的函数关系式为:y=125-05x(30<x≤35)°(年获利年销售收入一生产成本 投资成本) (1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件? (2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(件)之间的函数关系式,并说明投 资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少? (3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分是10 万元的固定捐款:另一部分则是每销售一件产品,就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最 大获利(或是最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年底,两年的总盈利不低于67.5万 元,请你确定此时销售单价的单位。(选作)
（1）该厂每月获得的利润 y（万元）和月份 x 之间的函数关系式； （2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？ （3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。 4、（黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定 为 3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家 一次性购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次性购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元。 （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？[来源: Z ,xx ,k. Com ] （2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利润为 y 元，求 y（元）与 x（元） 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着 一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来越 多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变） 5、（长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司 以 25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备 ，进行该产品的 生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件 20 元。经过市场调查发现，该产品的销售单 价定为 25 元到 30 元之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x（元） 之间的函数关系式为： 40 (25 30) 25 0.5 (30 35) x x y x x − = − ＜ 。（年获利=年销售收入-生产成本- 投资成本） （1）当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利 W（万元）与销售单价 x（件）之间的函数关系式，并说明投 资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分是 10 万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最 大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于 67.5 万 元，请你确定此时销售单价的单位。（选 作）
参考答案 选择题1、D2、B3、B4、D5、D6、B7、B8、D 二填空题1、600240002y=a(1+x) 3、y=-2x+60x+80 5、0.16 (2+V2)(2-2 三.解答题1、解:设每天的房价为60+5x元, 则有x个房间空闲,已住宿了30-x个房间 度假村的利润y=(30-x)(60+5x)-20(30-x),其中0≤x≤30 ∴y=(30-x)·5·(8+x) =5(240+22x-x2) -5(x-11)2+1805 因此,当x=11时,y取得最大值1805元, 即每天房价定为115元/间时,度假村的利润最大。 2、解:(1)y=(x-20) (x-20)(-2x+80) =-2x2+120x-1600, ∴y与x的函数关系式为: y=2x2+120x-1600:(3分) (2)y=-2x2+120x-1600 2(x-30)2+200, ∴当x=30时,y有最大值200 ∴当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元;(6分) (3)当y=150时,可得方程: 2(x-30)2+200=150 解这个方程,得 x1=25,x2=35,(8分) 根据题意,x2=35不合题意,应舍去, ∴当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元 3、解:(1)把点(3,9),(4,16)代入函数关系式 9=-9+3a+b 16=-16+4a+b 14 解得 b=-24 ∴y=-x2+14x-24 14 7 (2)当 2×(-1)y大25
参考答案 选择题 1、D 2、B 3、B 4、D 5、D 6、B 7、B 8、D 二.填空题 1、600 240000 2、 ( ) 2 y a x = +1 3、 2 y x x = − + + 2 60 80 4、 2 5 3 3 或 5、0.16 6、（-2,1） (2 2,1 + ) (2 2,1 − ) 7、3 三．解答题 1、解：设每天的房价为 60+5x 元， 则有 x 个房间空闲，已住宿了 30-x 个房间． ∴度假村的利润 y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中 0≤x≤30． ∴y=（30-x）•5•（8 +x） =5（240+22x-x2） =-5（x-11）2+1805． 因此，当 x=11 时，y 取得最大值 1805 元， 即每天房价定为 115 元∕间时，度假村的利润最大。 2、解：（1）y=（x-20）w =（x-20）（-2x+80） =-2x2+120x-1600， ∴y 与 x 的函数关系式为： y=-2x2+120x-1600；（3 分） （2）y=-2x2+120x-1600 =-2（x-30）2+200， ∴当 x=30 时，y 有最大值 200， ∴当销售价定为 30 元/千克时，每天可获最大销售利润 200 元；（6 分） （3）当 y=150 时，可得方程： -2（x-30）2+200=150， 解这个方程，得 x1=25，x2=35，（8 分） 根据题意，x2=35 不合题意，应舍去， ∴当销售价定为 25 元/千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元． 3、解：（1）把点（3，9），（4，16）代入函数关系式： 9 9 3 16 16 4 a b a b = − + + = − + + 解得： 14 24 a b = = − ∴y=-x2+14x-24 （2）当 14 7 2 ( 1) x = − = − 时， y最大 =25
∴7月份获得最大利润,最大利润是25万元 (3)当y=0时,有方程: x2-14x+24=0 解得:x1=2,x2=12 所以第二月和第十二月份无利润,根据二次函数的性质,第一月份的利润为负数, 因此一年中应停产的是第一月份,第二月份和第十二月份 4、解:(1)设件数为x,依题意,得3000-10(x-10)=2600,解得x=50 答:商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元 (2)当0≤x≤10时,y=(30002400)x=600x 当1050时,y=(2600-2400)x=200x 600x(0≤x≤10,且x为整数) -10x2+700x(1050,且x为整数) (3)由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下,当x=35时,利润y有最大值 此时,销售单价为3000-10(x-10)=2750元 答:公司应将最低销售单价调整为2750元 5、解:(1)∵25<28<30, 40-x(25≤x≤30) 25-0.5x(30<x≤35) ∴把x=28代入y=40-x得 y=12(万件), 答:当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为12万件 (2)①当25≤x≤30时,W=(40-x)(x-20)-25-100=x2+60x-925=-(x-30)2-25, 故当x=30时,W最大为-25,即公司最少亏损25万; ②当30<x≤35时, W=(25-0.5x)(x-20)-25-10=3+2+35x-625-(x-35)2-12.5 2 故当x=35时,W最大为-12.5,即公司最少亏损12.5万; 对比①,②得,投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万 答:投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万; (3)①当25≤x≤30时,W=(40-x)(x-20-1)-12.5-10=x2+61x-862.5≥67.5, x2+61x-862.5≥67.5 化简得:x2-61x+930≤0 解得:30≤x≤31 当两年的总盈利不低于67.5万元时,x=30
∴7 月份获得最大利润，最大利润是 25 万元． （3）当 y=0 时，有方程： x2-14x+24=0 解得：x1=2，x2=12． 所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数， 因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份． 4、解：（1）设件数为 x，依题意，得 3000-10（x-10）=2600，解得 x=50， 答：商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元； （2）当 0≤x≤10 时，y=（3000-2400）x=60 0x， 当 10＜x≤50 时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即 y=-10x2+700x 当 x＞50 时，y=（2600-2400）x=200x ∴y= 600x(0≤x≤10，且 x 为整数) −10x2+700x(10＜x≤50，且 x 为整数) 200x(x＞50，且 x 为整数) （3）由 y=-10x2+700x 可知抛物线开口向下，当 x=35 时，利润 y 有最大值， 此时，销售单价为 3000-10（x-10）=2750 元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元． 5、解：（1）∵25＜28＜30， y＝ 40−x(25≤x≤30) 25−0.5x(30＜x≤35) ∴把 x=28 代入 y=40-x 得， ∴y=12（万件）， 答：当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为 12 万件； （2）①当 25≤x≤30 时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25， 故当 x=30 时，W 最大为-25，即公司最少亏损 25 万； ②当 30＜x≤35 时， W=（25-0.5x）（x-20）-25-100= 1 2 35 625 2 − + − x x = 1 2 ( 35) 12.5 2 − − − x 故当 x=35 时，W 最大为-12.5，即公司最少亏损 12.5 万； 对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万； 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万； （3）①当 25≤x≤30 时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5， -x2+61x-862.5≥67.5， 化简得：x2-61x+930≤0 解得：30≤x≤31， 当两年的总盈利不低于 67.5 万元时，x=30；
35.5x-547.5≥67.5 ②当30<x≤35时,W=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10= 化简得:x2-71x+1230≤0 解得:30≤x≤41 当两年的总盈利不低于67.5万元时,30≤x≤35, 答:到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售 单价的范围是30≤x≤35
②当 30＜x≤35 时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10= 1 2 35.5 547.5 67.5 2 − + − x x - 化简得：x2-71x+1230≤0 解得：30≤x≤41， 当两年的总盈利不低于 67.5 万元时，30≤x≤35， 答：到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时销售 单价的范围是 30≤x≤35．