22.2降次一解一元二次方程(第四课时) 22.2.3因式分解法 ◆随堂检测 1、下面一元二次方程的解法中,正确的是() A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 B.(25x)+(5x-2)=0,.:(65x2)(5x-3)4,∴:x=2,x=3 C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x2=x两边同除以x,得x=1 2、x2-5x因式分解结果为:2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是 3、用因式分解法解方程:(1)4x2=1lx;(2)(x-2)2=2x-4 点拨:用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积,另一边为0的形式 4、已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长 ◆典例分析 方程x2+2009x-2010=0较大根为m,方程(2010x)2+2009×2011x-1=0较小根为n,求m+n 的值 分析:本题中两个方程的系数都较大,用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算,因此考虑到系数的特点 选用因式分解法最合适 解:将方程x2+2009x-2010=0因式分解,得:(x+2010)(x-1)=0 ∴x+2010=0或x-1=0,∴x=-2010,x2=1 ∴较大根为1,即m=1 将方程(2010x)2+2009×2011x-1=0变形为: (2010x)+(2010-1)×(2010+1)x-1=0 (2010x)2+20102x-x-1=0 20102x(x+1)-(x+1)=0,∴ ∴(2010x-1)x+1)=0 ∴20102x-1=0或x+1=0
22．2 降次--解一元二次方程（第四课时） 22.2.3 因式分解法 ◆随堂检测 1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ） A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2 =0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2）2 +4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x 2 =x 两边同除以 x，得 x=1 2、x 2 -5x 因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 3、用因式分解法解方程:（1） 2 4 11 x x = ；（2） 2 ( 2) 2 4 x x − = − ． 点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为 0 的形式． 4、已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 2 x x − + = 4 3 0 的解，求这个三角形的周长． ◆典例分析 方程 2 x x + − = 2009 2010 0 较大根为 m ，方程 2 (2010 ) 2009 2011 1 0 x x + − = 较小根为 n ，求 m + n 的值. 分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点， 选用因式分解法最合适． 解：将方程 2 x x + − = 2009 2010 0 因式分解，得： ( 2010)( 1) 0 x x + − = ， ∴ x + = 2010 0 或 x − =1 0 ，∴ 1 x = −2010 ， 2 x =1. ∴较大根为 1，即 m =1. 将方程 2 (2010 ) 2009 2011 1 0 x x + − = 变形为： 2 (2010 ) (2010 1) (2010 1) 1 0 x x + − + − = ， ∴ 2 2 (2010 ) 2010 1 0 x x x + − − = ， ∴ 2 2010 ( 1) ( 1) 0 x x x + − + = ，∴∴ ∴ 2 (2010 1)( 1) 0 x x − + = ， ∴ 2 2010 1 0 x − = 或 x + =1 0
较小根为-1,即n=-1.∴m+n=1+(-1)=0 ◆课下作业 ●拓展提高 1、二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为 ;如果令x2+20x+96=0,那么它的两个根是 2、下列命题:①方程kx2-x-2=0是一元二次方程:②x=1与方程x2=1是同解方程:③方程x2=x与方程x=1 是同解方程:④由(x+1)(x-1)=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有() A.0个B.1个C.2个D.3个 已知(x+y)( )-8=0,求x+y的值 点拨:将x+y看作一个整体,不妨设x+y=z,则求出z的值即为x+y的值 4、我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b) (a+b)x+ab=0 转化为 (x-a)(x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程: (1)x2-3x-4=0:;(2)x2-7x+6=0:(3)x2+4x-5=0 5、已知92-4b2=0,求代数式aba2+b2 的值 b 分析:要求ba2+b2 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a与b的关系后代入 即可 6、已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,且a≠b,求2一b的值 ●体验中考 1、(2009年,河南)方程x2=x的解是( l1,x,=0 2、(2008年,淮安)小华在解一元二次方程x-4x=0时,只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根 是 (提示:方程两边不能同除以含有未知数的式子,否则会失根的.)
∴ 1 2 1 2010 x = ， 2 x = −1. ∴较小根为-1，即 n =−1.∴ m n + = + − = 1 ( 1) 0 . ◆课下作业 ●拓展提高 1、二次三项式 x 2 +20x+96 分解因式的结果为________；如果令 x 2 +20x+96=0，那么它的两个根是_________． 2、下列命题:①方程 kx 2 -x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x 2 =1 是同解方程；③方程 x 2 =x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3.其中正确的命题有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3、已知 ( )( 2) 8 0 x y x y + + + − = ，求 x y + 的值. 点拨:将 x y + 看作一个整体,不妨设 x y z + = ，则求出 z 的值即为 x y + 的值. 4 、我们知道 2 x a b x ab x a x b − + + = − − ( ) ( )( ) ，那么 2 x a b x ab − + + = ( ) 0 就可转化为 ( )( ) 0 x a x b − − = ，请你用上面的方法解下列方程： （1） 2 x x − − = 3 4 0 ；（2） 2 x x − + = 7 6 0 ；（3） 2 x x + − = 4 5 0 . 5、已知 2 2 9 4 0 a b − = ，求代数式 2 2 a b a b b a ab + − − 的值． 分析：要求 2 2 a b a b b a ab + − − 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a 与 b 的关系后代入 即可． 6、已知 x =1 是一元二次方程 2 ax bx + − = 40 0 的一个解，且 a b ，求 2 2 2 2 a b a b − − 的值. ●体验中考 1、（2009 年，河南）方程 2 x x = 的解是（ ） A． x =1 B． x = 0 C． 1 x =1， 2 x = 0 D． 1 x =−1， 2 x = 0 2、（2008 年，淮安）小华在解一元二次方程 2 x x − = 4 0 时，只得出一个根是 x = 4 ，则被他漏掉的一个根 是________. （提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）
参考答案 ◆随堂检测 1、B用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式.只有B是正 确的 2、x(x-5);(x-3)(2x-5) 3、解:(1)移项,得:4x2-11x=0, 因式分解,得:x(4x-11)=0 于是,得:x=0或4x-11=0,x=0,x2=4 (2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,即(x-2)2-2(x-2)=0, 因式分解,得:(x-2)x-2-2)=0,整理,得:(x-2)(x-4)=0 于是,得x-2=0或x-4=0,∴x=2,x2=4 4、解方程:x2-4x+3=0,得(x-3)(x-1)=0,∴x=3,x2=1 ∵三角形两边长分别为2和4,∴第三边只能是3.三角形周长为9 ◆课下作业 ●拓展提高 1、(x+12)(x+8);x1=-12,x2=-8. 2、A①中方程当k=0时不是一元二次方程:②中x=1比方程x2=1少一个解x=-1:③中方程x=x比方 程x=1多一个解x=0;④中由(x+1)(x-1)=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题,故 选A. 3、解:设x+y=z,则方程可化为x(z+2)-8=0,∴2+2-8=0 ∴(二+4)(二-2)=0,∴1=-4,2=2.∴x+y的值是-4或2. 4、解(1)∵x2-3x-4=(x-4)(x+1),∴(x-4)(x+1)=0, x-4=0或x+1=0,∴x=4,x2=-1 (2)∵x2-7x+6=(x-6)(x-1),∴(x-6)x-1)=0
参考答案： ◆随堂检测 1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于 0 的形式．只有 B 是正 确的. 2、x（x-5）；（x-3）（2x-5）. 3、解：（1）移项，得： 2 4 11 0 x x − = ， 因式分解，得： x x (4 11) 0 − = 于是，得： x = 0 或 4 11 0 x− = ，∴ 1 x = 0 ， 2 11 4 x = . （2）移项，得 2 ( 2) 2 4 0 x x − − + = ，即 2 ( 2) 2( 2) 0 x x − − − = ， 因式分解，得： ( 2)( 2 2) 0 x x − − − = ，整理，得： ( 2)( 4) 0 x x − − = ， 于是，得 x − =2 0 或 x − =4 0 ，∴ 1 x = 2 ， 2 x = 4. 4、解方程: 2 x x − + = 4 3 0 ，得 ( 3)( 1) 0 x x − − = ，∴ 1 x = 3， 2 x =1. ∵三角形两边长分别为 2 和 4，∴第三边只能是 3.∴三角形周长为 9. ◆课下作业 ●拓展提高 1、（x+12）（x+8）；x1=-12，x2=-8. 2、A ①中方程当 k=0 时不是一元二次方程；②中 x=1 比方程 x 2 =1 少一个解 x=-1；③中方程 x 2 =x 比方 程 x=1 多一个解 x=0；④中由（x+1）（x-1）=3 不能必然地得到 x+1=3 或 x-1=3.因此没有正确的命题，故 选 A. 3、解：设 x y z + = ，则方程可化为 z z( 2) 8 0 + − = ,∴ 2 z z + − = 2 8 0 , ∴ ( 4)( 2) 0 z z + − = ,∴ 1 z =−4， 2 z = 2 .∴ x y + 的值是−4 或 2. 4、解（1）∵ 2 x x x x − − = − + 3 4 ( 4)( 1) ，∴ ( 4)( 1) 0 x x − + = ， ∴ x − =4 0 或 x + =1 0 ，∴ 1 x = 4 ， 2 x = −1. （2）∵ 2 x x x x − + = − − 7 6 ( 6)( 1) ，∴ ( 6)( 1) 0 x x − − =
x-6=0或x-1=0,∴x=6,x2=1. (3)∵x2+4x-5=(x+5)(x-1),∴(x+5)x-1)=0, ∴x+5=0或x-1=0,∴x=-5,x2=1 a2-b2-a2-b2 5、解:原式 9a2-4b2=0,∴(3a+2b)(3a-2b)=0, ∴3a+2b=0或3a-2b=0,∴a=-b或a==b 2 2 当a=-b时,原式==3:当a=b时,原式 6、解:把x=1代入方程,得:a+b=40,又∵a≠b, b(a+b(a-b) a+b ●体验中考 1、C先移项,得x2-x=0,因式分解,得:x(x-1)=0,∴x=0,x2=1 故选C. 2、x=0将方程因式分解,得x(x-4)=0,∴x1=0,x2=4.∴被他漏掉的根是x=0
∴ x − =6 0 或 x − =1 0 ，∴ 1 x = 6 ， 2 x =1. （3）∵ 2 x x x x + − = + − 4 5 ( 5)( 1) ，∴ ( 5)( 1) 0 x x + − = ， ∴ x + =5 0 或 x − =1 0 ，∴ 1 x =−5， 2 x =1. 5、解：原式= 2 2 2 2 a b a b b2 ab a − − − = − ∵ 2 2 9 4 0 a b − = ，∴ (3 2 )(3 2 ) 0 a b a b + − = ， ∴ 3 2 0 a b + = 或 3 2 0 a b − = ，∴ 2 3 a b = − 或 2 3 a b = ， ∴当 2 3 a b = − 时，原式=- 2 2 3 b − b =3；当 2 3 a b = 时，原式=-3． 6、解：把 x =1 代入方程，得： a ＋ b ＝40，又∵ a b ， ∴ 2 2 2 2 a b a b − − ＝ ( )( ) 2( ) a b a b a b + − − ＝ 2 a b + ＝20. ●体验中考 1、C 先移项，得 2 x x − = 0 ，因式分解，得： x x( 1) 0 − = ，∴ 1 x = 0 ， 2 x =1. 故选 C. 2、 x = 0 将方程因式分解，得 x x( 4) 0 − = ，∴ 1 x = 0 ， 2 x = 4.∴被他漏掉的根是 x = 0