洤易通 山东星火国际传媒集团 4擦索三角形相似的条件
山东星火国际传媒集团 4探索三角形相似的条件
洤易通 山东星火国际传媒集团 相三角形的相关概念 ●三个角对应相等三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形 similar triangle) ●相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例 ●相似比等于1的两个三角形全等 ●注意: 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 ●反之写在对应位置上的字母就是对应角的顶点 ●由于相似三角形与其位置无关因此能否弄清对应是正 确解答的前提和关键
山东星火国际传媒集团 相似三角形的相关概念 ⚫ 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec). ⚫ 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. ⚫ 相似比等于1的两个三角形全等. ⚫注意： ⚫要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. ⚫反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ ⚫由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正 确解答的前提和关键
洤易通 山东星火国际传媒集团 判定三角形相似的方法 ●判定两个三角形相似的方法 ●两角对应相等的两个三角形相似, ●三边对应成比例的两个三角形相似 ·类比三角形全等的判定方法 边角边(SAS:角边角(ASA角角边(AAS):边边边(SS 斜边直角边(HL) 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?
山东星火国际传媒集团 判定三角形相似的方法 ⚫ 判定两个三角形相似的方法: ⚫ 两角对应相等的两个三角形相似. ⚫ 三边对应成比例的两个三角形相似. • 类比三角形全等的判定方法: • 边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS); 斜边直角边(HL). • 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?
洤易通 山东星火国际传媒集团 相似与全等类比一新化旧 三角形全等的判定方·由边角边(SAS)可猜想 法: ·两边对应成比例,且夹 边角边(SAS);角边角 (ASA;角角边(AS);边 角相等的两个三角形 边边(SS斜边直角边 相似; (HL) 由斜边直角边(HL)可猜 由角边角(ASA角角边 相 (AAS);可知有两个角对·斜边直角边对应成比 应相等的两个三角形例的两个直角三角形 相似; 相似 由边边边(s可知:有 三边对应成比例的两 我们已经把前两个猜 个三角形相似; 想变为现实,剩余的还 有问题吗
山东星火国际传媒集团 相似与全等类比—新化旧 • 三角形全等的判定方 法： • 边角边(SAS);角边角 (ASA);角角边(AAS);边 边边(SSS);斜边直角边 (HL). • 由角边角(ASA);角角边 (AAS);可知,有两个角对 应相等的两个三角形 相似; • 由边边边(SSS)可知:有 三边对应成比例的两 个三角形相似; • 由边角边(SAS)可猜想: • 两边对应成比例,且夹 角相等的两个三角形 相似; • 由斜边直角边(HL)可猜 想: • 斜边直角边对应成比 例的两个直角三角形 相似. • 我们已经把前两个猜 想变为现实,剩余的还 有问题吗
洤易通 山东星火国际传媒集团 亲历知识的发生和发展 ·问题三: 设法比较∠B与∠B的 ·如果△ABC与△ABC有 大小,∠C与∠C的大小 个角相等,且两边对应成比 例,那么它们一定相似吗? △ABC与△ABC相似 (1如果这个角是这两边的吗?说说你的理由 夹角那么它们一定相似吗?·改变k值的大小(如 我们一起来动手: 1:3),再试一试 ·画△ABC与△AB'C'使 ∠A=∠A, 通过上面的活动,你猜 AB和AC都等于 出了什么结论? A'B′AC 给定的值k(如)
山东星火国际传媒集团 亲历知识的发生和发展 • 问题三: • 如果△ ABC与△ A′B′C′有一 个角相等,且两边对应成比 例,那么它们一定相似吗? • (1)如果这个角是这两边的 夹角,那么它们一定相似吗? • 我们一起来动手: • 画△ ABC与△A′B′C′使 ∠A=∠A′, • 设法比较∠B 与∠B′的 大小,∠C与∠C′的大小. • △ ABC与△A′B′C′相似 吗?说说你的理由. • 改变k值的大小(如 1∶3),再试一试. • 通过上面的活动,你猜 出了什么结论? ). 2 3 给定的值 (如 和 都等于 k A C AC A B AB
洤易通 山东星火国际传媒集团 判定三角形相似的方法之 两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似 如图在△ABC与△ABC中如果 AB AC AB′A'C 且∠A=∠A, 那么△ABC∽△ABC′ (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.) A B A B ◆这又是一个用来判定两个三角形相似的方法但使用频 率不是很高务必引起重视
山东星火国际传媒集团 判定三角形相似的方法之三 • 两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似. • 如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果 那么△ ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.) C A B A ′ B ′ C′ . A C AC A B AB = 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频 率不是很高,务必引起重视. 且∠A=∠A′
洤易通 山东星火国际传媒集团 敢问“路”在何方 ·下面两个三角形是否相似?为什么? ·解:在△ABC和△AEF中 A AB 2 AE E Ac 6 2. B C AF 3 AB AC AE AF 且∠A是公共角 △ABC△AEF (两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
山东星火国际传媒集团 敢问“路”在何 方 • 下面两个三角形是否相似?为什么? • 解:在△ABC和△AEF中. 2. 1 2 = = AE AB ∴△ ABC ∽ △ AEF. (两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似.) 2. 3 6 = = AF AC . AF AC AE AB = A B C E 1 1 F 3 3 且∠A是公共角
洤易通 山东星火国际传媒集团 两角对应相等的两个三角 图中的△ABC~△ABC你 形相似; 还能用其它方法来说明其 ·三边对应成比例的两个三 正确性吗? 角形相似 TB ·两边对应成比例,且夹角相 等的两个三角形相似 解法2:如图,设小正方 B 形的边长为1由勾股 定理可得 AB=8,AC=2√2 且∠A=∠A=450 A'B′=4.A'C △ABC∽△ABC AB AC (两边对应成比例且夹角相 AB A'C 等的两个三角形相似.)
山东星火国际传媒集团 • 两角对应相等的两个三角 形相似; • 三边对应成比例的两个三 角形相似. • 两边对应成比例,且夹角相 等的两个三角形相似. • 图中的△ABC∽△A′B′C′ ,你 还能用其它方法来说明其 正确性吗? 且∠A=∠A′=450 , ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似.) C A B A ′ B ′ C′ 解法2:如图,设小正方 形的边长为1,由勾股 定理可得: = 2. = A C AC A B AB AB = 8, AC = 2 2; AB = 4, AC = 2;
洤易通 山东星火国际传媒集团 我思,我进步 例如图矩形ABCD是由三 个正方形 ABEG GEFHHFCD 组成的 G ·图中的△AEF∽△CEA你还 能用其它方法说明其正确 性吗? B E C ·解法2:△AEF∽△CEA理由 是: ·设小正方形的边长是1,由 勾股定理得 在△AEF中,AE=√2,EF=1 在△CEA中,CE=2,AE=√2; AE EF CECE 2 且∠AEF=∠CEA(公共角 △AEF∽△CEA (两边对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
山东星火国际传媒集团 我思,我进步 在AEF中, AE = 2,EF = 1; . 2 2 = = CE EF CE AE • 例 如图矩形ABCD是由三 个正方形ABEG,GEFH,HFCD 组成的. • 图中的△AEF∽△CEA,你还 能用其它方法说明其正确 性吗? • 解法2:△AEF∽△CEA.理由 是: • 设小正方形的边长是1,由 勾股定理得 在CEA中,CE = 2, AE = 2; ∴△AEF∽△CEA. (两边对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似.) 且∠AEF=∠CEA(公共角), A B C D E F G H
洤易通 山东星火国际传媒集团 亲历知识的发生和发展 ·问题四: ·设法比较∠B与∠B'的 在Rt△ABC与Rt△ABC中,大小,∠A与∠A的大小 ∠C=∠C=90,如果有一直 角边和斜边对应成比例,那 Rt△ABC与Rt△ABC相似 么它们一定相似吗? 吗?说说你的理由 我们一起来动手 改变k值的大小(如 画△ABC与△AB'C,使 1:3)再试一试 通过上面的活动你猜 C和1 Ac 都等于 出了什么结论? AB 给定的值k(如)
山东星火国际传媒集团 亲历知识的发生和发展 • 问题四: • 在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中, ∠C= ∠C′=900 ,如果有一直 角边和斜边对应成比例,那 么它们一定相似吗? • 我们一起来动手: • 画△ ABC与△ A′B′C′ ,使 • 设法比较∠B 与∠B′的 大小,∠A与∠A′的大小. • Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似 吗?说说你的理由. • 改变k值的大小(如 1∶3),再试一试. • 通过上面的活动,你猜 出了什么结论? ). 2 3 给定的值 (如 和 都等于 k A B AB A C AC