第一章三角形的证明 1.4角平分线 第1课时角平分线 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 角平分线
学习目标 1会叙述角平分线的性质及判定,(重点) 2能利用三角形全等,证明角平分线的性质定理, 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理,能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;(难点) 3经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展学 生的推理证明意识和能力
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学 生的推理证明意识和能力． 学习目标
导入新课 情境引入 如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路 和公路距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这 个集贸市场应建在何处? (比例尺为1:2000 解:作夹角的角平分线OC, 截取OD=25cm,D即为所求
情境引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路 和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这 个集贸市场应建在何处？ （比例尺为1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 导入新课
讲授新课 角平分线的性质 实验:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的 任意一点 1.操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作 PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长将 次数据填入下表:A PD PE 第一次 第二次 o E 第三次 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将 三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写 出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 一 角平分线的性质 讲授新课
验证猜想]角的平分线上的点到角的两边的距离相等 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E 求证:PD=PE. 证明:∵PD⊥O4,PE⊥OB, C ∠PDO=∠PEO=90° O B 在△PDO和△PEO中 E ∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠BOC .△PDO≌△PEO(AAS OP=OP, PD=PE
验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
知识要点 ◆性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; C (3)垂直距离 定理的作用:证明线段相等 E B ◆应用格式: 推理的理由有三个 OP是∠AOB的平分线, 必须写完全,不能少 了任何一个 PD⊥OA,PE⊥OB PD= PE (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
◆ 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. ◆应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C
判一判:(1)∵如下左图,AD平分∠BAC(已知) BD CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) D D (2)∵如上右图,DC⊥AC,DB⊥AB(已知) ∵BD=CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C
例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线, 且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为E,F 求证:EB=FC. 证明:∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB,DF⊥AC, DE=DF,∠DEB=∠DFC=90° EB 在R△BDE和Rt△CDP中, D DE=DF, BD=CD Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) EB=FC
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC
例2:如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上, PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 PE= cm A E 温馨提示:存在两条垂线段—直接应用
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则 PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
变式:如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°, AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14 (1)则点P到AB的距离为4 温馨提示:存在一条垂线段—构造应用
A B C P 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90° ， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用