6.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边和角的性质 学习目标 ∠1=∠2,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是 平行四边形 1.理解平行四边形的概念:(重点) 2.掌握平行四边形边、角的性质:(重 方法总结:平行四边形的定义是判断 3.利用平行四边形边、角的性质解决个四边形是平行四边形的重要方法 问题.(难点) 探究点二:平行四边形的边、角特征 【类型一】利用平行四边形的性质求 数学程 2如图,在△ABC中,AB=AC=5 点D,E,F分别是AC,BC,BA延长线上 情境导入 的点,四边形ADEF为平行四边形,DE=2, 平行四边形是我们常见的一种图形,它则AD= 具有十分和谐的对称美.它是什么样的对称 图形呢?它又具有哪些基本性质呢? 、合作探究 解析:∵四边形ADEF为平行四边形 探究点一:平行四边形的定义 1如图,在四边形ABCD中,∠B AF=DE=2,AD=EF,ADEF,∴,∠ACB ∠D,∠1=∠2求证:四边形ABCD是平 =∠FEB.∵AB=AC∴∠ACB=∠B∴∠FEB 行四边形 D =∠B,∴EF=BF,AD=BF∵AB=5, BF=5+2=7,∴AD=7. 解析:根据三角形内角和定理求出 方法总结:本题考查了平行四边形对边 ∠DAC=∠ACB,根据平行线的判定推出 平行且相等的性质,平行线的性质,等腰三 AD∥BC,AB∥CD,根据平行四边形的定义 角形的性质,熟练掌握各性质是解题的关 推出即可 证明:∵∠1+∠B+∠ACB=180°, 2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠ 【类型二】利用平行四边形的性质求 =∠2,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC∴角度
6．1 平行四边形的性质 第 1 课时 平行四边形边和角的性质 1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重 点) 3．利用平行四边形边、角的性质解决 问题．(难点) 一、情境导入 平行四边形是我们常见的一种图形，它 具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称 图形呢？它又具有哪些基本性质呢？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的定义 如图，在四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形 ABCD 是平 行四边形． 解析：根据三角形内角和定理求出 ∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出 AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义 推出即可． 证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°， ∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠ 1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵ ∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形 ABCD 是 平行四边形． 方法总结：平行四边形的定义是判断一 个四边形是平行四边形的重要方法． 探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求 边长 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5， 点 D，E，F 分别是 AC，BC，BA 延长线上 的点，四边形 ADEF 为平行四边形，DE＝2， 则 AD＝________． 解析：∵四边形 ADEF 为平行四边形， ∴AF＝DE＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB ＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF.∵AB＝5，∴ BF＝5＋2＝7，∴AD＝7. 方法总结：本题考查了平行四边形对边 平行且相等的性质，平行线的性质，等腰三 角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关 键． 【类型二】 利用平行四边形的性质求 角度
D DC,∴∠DGC=∠DCG,∴∠DCG ∠GCB.∵∴∠DCG+∠ECP=180°,∠GCB ∠FCP=180°,∴∠ECP=∠FCP∴在 例图如图,平行四边形ABCD中,CE△PCF和△PCE中,{∠FCP=∠ECP, ⊥AB于E,若∠A=125°,则∠BCE的度 数为() CP=CP A.35°B.55 △PCF≌△PCE(SAS),∴PF=PE C.25°D.30° 方法总结:本题的综合性比较强,考查 分析:∵四边形ABCD是平行四边形 了平行四边形的性质,等腰三角形的性质 ADBC,∴∠A+∠B=180°.∠A=125°, 全等三角形的性质和判定等,利用平行四边 ∠B=55°CE⊥AB于E,∴∠BEC=90 形的性质可以解决一些相等的问题 ∠BCE=90°-55°=35°故选A 【类型四】判断直线的位置关系 5如图,在平行四边形ABCD中, 方法总结:平行四边形对角相等,所以 AB=2AD,M为AB的中点,如图连接DM MC,试问直线DM和MC有何位置关系? 利用该性质可以解决和角度有关的问题 请证明 类型三】利用平行四边形的性质证 明有关结论 D 解析:由AB=2AD,M是AB的中点的 4如图,点G、E、F分别在平行四 位置关系,可得出DM、CM分别是∠ADC 边形ABCD的边AD、DC和BC上,DG DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连与∠BCD的角平分线又由平行线的性质可 接FP,EP求证:FP=EP 得∠ADC+∠BCD=180°,进而可得出DM 解析:根据平行四边形的性质推出 与MC的位置关系 ∠DGC=∠GCB,根据等腰三角形性质求出 解:DM与MC互相垂直.证明如下 M是AB的中点,∴AB=2AM又∵AB= ∠DGC=∠DCG,推出∠DCG=∠GCB, 2AD,∴AM=AD,∴∠ADM=∠AMD.∵四 边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,∴ 根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP,∠AMD=∠MDC,∴∠ADM=∠MDC,即 根据SAS证出△PCF≌△PCE即可 ∠MDC=∠ADC,同理∠MCD=∠BCD 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC AD∥BC ∠DGC=∠GCB.∵DG
如图，平行四边形 ABCD 中，CE ⊥AB 于 E，若∠A＝125°，则∠BCE 的度 数为( ) A．35° B．55° C．25° D．30° 分析：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°， ∴∠B＝55°.∵CE⊥AB 于 E，∴∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选 A. 方法总结：平行四边形对角相等，所以 利用该性质可以解决和角度有关的问题． 【类型三】 利用平行四边形的性质证 明有关结论 如图，点 G、E、F 分别在平行四 边形 ABCD 的边 AD、DC 和 BC 上，DG＝ DC，CE＝CF，点 P 是射线 GC 上一点，连 接 FP，EP.求证：FP＝EP. 解析：根据平行四边形的性质推出 ∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出 ∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB， 根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP， 根据 SAS 证出△PCF≌△PCE 即可． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝ DC ， ∴ ∠ DGC ＝ ∠DCG ，∴ ∠ DCG ＝ ∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB ＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.∵在 △PCF 和△PCE 中， CE＝CF， ∠FCP＝∠ECP， CP＝CP， ∴ △PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE. 方法总结：本题的综合性比较强，考查 了平行四边形的性质，等腰三角形的性质， 全等三角形的性质和判定等，利用平行四边 形的性质可以解决一些相等的问题． 【类型四】 判断直线的位置关系 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB＝2AD，M 为 AB 的中点，如图连接 DM、 MC，试问直线 DM 和 MC 有何位置关系？ 请证明． 解析：由 AB＝2AD，M 是 AB 的中点的 位置关系，可得出 DM、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的角平分线，又由平行线的性质可 得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出 DM 与 MC 的位置关系． 解：DM 与 MC 互相垂直．证明如下： ∵M 是 AB 的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝ 2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四 边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，∴ ∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即 ∠MDC＝ 1 2 ∠ADC，同理∠MCD＝ 1 2 ∠BCD. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC
∠MDC+∠MCD=∠BCD+∠ADC 改,∠DMC=90°,DM与MC互相 方法总结:应熟练掌握平行四边形的性 质,并能求解一些简单的计算、证明等问题 板书设计 1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形 2.平行四边形的边和角的性质 平行四边形的对边相等,平行四边形的 对角相等 教学反思 学生通过动手操作的过程和观看多媒体课 件的演示,得出并掌握平行四边形性质,效 果比较好.例题能够引导学生用不同的方法 去解决问题并加以变式,能根据学生的具体 情况在练习的过程中及时发现问题,并通过 投影指出错误,规范说理过程,极大提高课 堂效率
∴∠MDC＋∠MCD＝ 1 2 ∠BCD＋ 1 2 ∠ADC＝ 90°，∴∠DMC＝90°，∴DM 与 MC 互相 垂直． 方法总结：应熟练掌握平行四边形的性 质，并能求解一些简单的计算、证明等问题． 三、板书设计 1．平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形． 2．平行四边形的边和角的性质 平行四边形的对边相等，平行四边形的 对角相等． 学生通过动手操作的过程和观看多媒体课 件的演示，得出并掌握平行四边形性质，效 果比较好．例题能够引导学生用不同的方法 去解决问题并加以变式，能根据学生的具体 情况在练习的过程中及时发现问题，并通过 投影指出错误，规范说理过程，极大提高课 堂效率