5.2分式的乘除法 学习目标 (2-3y-2=9 1.经历探索分式的乘除法运算法则, 通过类比分数的乘除法法则,提高联想能力 方法总结:分子和分母都是单项式的分 和推理能力;(重点) 2.熟练地进行分式的乘除运算,并能式的乘法,直接按“分子乘分子,分母乘分 利用它解决实际问题.(难点) 母”进行运算其运算步骤为1)符号运算; (2)按分式的乘法法则运算;(3)各分式中的 教学过程 、情境导入 分子、分母都是多项式时,先因式分解,再 观察下列运算 约分 242×4525×2 353×5797×9 【类型二】根据分式的除法,判断分 2×55.2_595×9式中字母的取值范围 3=3×4-3×4797×27×2 以上是以前学习的分数的乘法与除法, 例2若式子 x+3 x+2x+4 有意义,则 分数乘法与除法的运算法则分别是什么? 的取值范围是() 今天我们仿照分数的乘除来研究分式 的乘除 B.x≠-2 二、合作探究 C.x≠-2,x≠-3,x≠ 探究点一:分式的乘法 【类型一】利用分式的乘法法则和险 3 法法则进行计算 解析: ≠0,x+2≠0,x+3≠0 1计算下列各式 y 且x+4≠0,解得x≠-2,x≠-3,x≠-4, 故选C. 解析:(1)直接利用分式的乘法运算法 方法总结:在分式的除法中,求字母的 则,先找出公因式,然后进行约分;(2)变为取值范围时要使被除式的分母不为0,同时 乘法,再直接利用分式的乘法运算法则求出还要使除式的分子、分母不为0. 即可 【类型三】分式的乘除法的应用 例3老王家种植两块正方形土地,边 解:(1 长分别为a米和b米(a≠b),老李家种植 块长方形土地,长为2a米,宽为b米,他
5．2 分式的乘除法 1．经历探索分式的乘除法运算法则， 通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力 和推理能力；(重点) 2．熟练地进行分式的乘除运算，并能 利用它解决实际问题．(难点) 一、情境导入 观察下列运算： 2 3 × 4 5 ＝ 2×4 3×5 ， 5 7 × 2 9 ＝ 5×2 7×9 ， 2 3 ÷ 4 5 ＝ 2 3 × 5 4 ＝ 2×5 3×4 ， 5 7 ÷ 2 9 ＝ 5 7 × 9 2 ＝ 5×9 7×2 . 以上是以前学习的分数的乘法与除法， 分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ 今天我们仿照分数的乘除来研究分式 的乘除． 二、合作探究 探究点一：分式的乘法 【类型一】 利用分式的乘法法则和除 法法则进行计算 计算下列各式： (1)3xy2 4z 2 ·(－ 8z 2 y )； (2)－3xy÷ 2y 2 3x . 解析：(1)直接利用分式的乘法运算法 则，先找出公因式，然后进行约分；(2)变为 乘法，再直接利用分式的乘法运算法则求出 即可． 解：(1)3xy2 4z 2 ·(－ 8z 2 y )＝－6xy； (2)－3xy÷ 2y 2 3x ＝－ 9x 2 2y . 方法总结：分子和分母都是单项式的分 式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分 母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算； (2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的 分子、分母都是多项式时，先因式分解，再 约分． 【类型二】 根据分式的除法，判断分 式中字母的取值范围 若式子x＋1 x＋2 ÷ x＋3 x＋4 有意义，则 x 的取值范围是( ) A．x≠－2，x≠－4 B．x≠－2 C．x≠－2，x≠－3，x≠－4 D．x≠－2，x≠－3 解析：∵ x＋3 x＋4 ≠0，x＋2≠0，∴x＋3≠0 且 x＋4≠0，解得 x≠－2，x≠－3，x≠－4， 故选 C. 方法总结：在分式的除法中，求字母的 取值范围时要使被除式的分母不为 0，同时 还要使除式的分子、分母不为 0. 【类型三】 分式的乘除法的应用 老王家种植两块正方形土地，边 长分别为 a 米和 b 米(a≠b)，老李家种植一 块长方形土地，长为 2a 米，宽为 b 米．他
们种的都是花生,并且总产量相同,试问老 【类型一】分式的乘方运算 王家种植的花生单位面积产量是老李家种 5下列运算结果不正确的是() 植的单位面积产量的多少倍 A 解析:不妨设花生的总产量是1,老王 B.[-(-)2]3 家种植的总面积为(a2+b2)平方米,老李家 种植的总面积为2ab平方米,分别求出单位 (x-y) 面积产量,再相除即可 解析:A、B、C计算都正确中(--) 解:设花生的总产量是1, a2+b2·2ab =(-1)2nF,原题计算错误,故选D a+b倍) 答:老王家种植的花生单位面积产量是 方法总结:分式的乘方就是分子、分母 老李家种植的单位面积产量的倍 分别乘方,最后化为最简分式 【类型二】分式的乘除、乘方混合运 方法总结:此题考查分式乘除运算的运 例6计算: 用,注意理清题意,正确列式计算即可 【类型四】分式乘除法的混合运算 (1)(—)2·(-)3·(-) 4计算 (2-x)(4-x) 解析:先将除法变为乘法,再根据分式 x2+2x-8 4-3x(x-3)(3x-4) 的乘法运算法则进行运算 解析:(1)先算乘方,然后约分化简,注 原 式 (a+2)(a-2) 意符号(2)先算乘方再将除法转换为乘法, a一 a+2 (a-1)2 把分子、分母分解因式,再进行约分化简 (a+1)(a-1) a-2)(a+1)=a2-a 解:(1)原式 (2) 原 式 方法总结:分式乘除混合运算要注意以 (x-2)(x-4) (3x-4) x+4)(x-4) 下几点:(1)利用分式除法法则把除法变成乘 (x-2) (x-2)(x+4)3x-4 法;(2)进行约分,计算出结果.特别提醒 (x-3)(3x-4)x-3 方法总结:进行分式的乘除、乘方混合 分式运算的最后结果是最简分式或整式 探究点二:分式的乘方 运算时,要严格按照运算顺序进行运算.先
们种的都是花生，并且总产量相同，试问老 王家种植的花生单位面积产量是老李家种 植的单位面积产量的多少倍？ 解析：不妨设花生的总产量是 1，老王 家种植的总面积为(a 2＋b 2 )平方米，老李家 种植的总面积为 2ab 平方米，分别求出单位 面积产量，再相除即可． 解：设花生的总产量是 1， 1 a 2＋b 2÷ 1 2ab ＝ 2ab a 2＋b 2 (倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是 老李家种植的单位面积产量的 2ab a 2＋b 2倍． 方法总结：此题考查分式乘除运算的运 用，注意理清题意，正确列式计算即可． 【类型四】 分式乘除法的混合运算 计算：a－1 a＋2 · a 2－4 a 2－2a＋1 ÷ 1 a 2－1 . 解析：先将除法变为乘法，再根据分式 的乘法运算法则进行运算． 解 ： 原式＝ a－1 a＋2 · （a＋2）（a－2） （a－1）2 · （a＋1）（a－1） 1 ＝(a－2)(a＋1)＝a 2－a－ 2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以 下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘 法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒： 分式运算的最后结果是最简分式或整式． 探究点二：分式的乘方 【类型一】 分式的乘方运算 下列运算结果不正确的是( ) A．( 8a 2bx2 6ab2 x ) 2＝( 4ax 3b ) 2＝ 16a 2 x 2 9b 2 B．[－( x 3 2y ) 2 ] 3＝－( x 3 2y ) 6＝－ x 18 64y 6 C．[ y－x （x－y）2 ] 3＝( 1 y－x ) 3＝ 1 （y－x）3 D．(－ x n y 2n ) n＝ x 2n y 3n 解析：A、B、C 计算都正确；D 中(－ x n y 2n ) n ＝(－1)n xn2 y2n 2，原题计算错误．故选 D. 方法总结：分式的乘方就是分子、分母 分别乘方，最后化为最简分式． 【类型二】 分式的乘除、乘方混合运 算 计算： (1)(－ x 2 y ) 2·(－ y 2 x ) 3·(－ 1 x ) 4 ； (2) （2－x）（4－x） x 2－16 ÷ ( x－2 4－3x ) 2· x 2＋2x－8 （x－3）（3x－4） . 解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注 意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法， 把分子、分母分解因式，再进行约分化简． 解：(1)原式＝x 4 y 2·(－ y 6 x 3 )·1 x 4＝－ y 4 x 3； (2) 原式＝ （x－2）（x－4） （x＋4）（x－4） · （3x－4）2 （x－2）2 · （x－2）（x＋4） （x－3）（3x－4） ＝ 3x－4 x－3 . 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合 运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先
算乘方,再算乘除.注意结果一定要化成 倒图化简求值:(2y 个整式或最简分式的形式 2yP,其中x==y= 【类型三】分式乘方的应用 7通常购买同一品种的西瓜时,西 解析:按分式混合运算的顺序化简,再 瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希 望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如代入数值计算即可 我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度 解 式 看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球 (x+y)2(x-y)2 (x+y)3 的体积公式为V=mR(其中R为球的半 xy 径),求 将x=-2,y=3代入得原式=6 (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多 方法总结:先算乘方再算乘除,将原式 (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多 少? 化为最简形式是解决此类问题的常用方法 (3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算? 三、板书设计 解析:(1)根据体积公式求出即可;(2) 1.分式的乘法法则:分式乘分式,用 分子的积作为积的分子,分母的积作为积的 根据(1)中的结果得出即可;(3)求出两体积 分母 的比即可 2.分式的除法法则:分式除以分式 把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式 解:(1)西瓜瓤的体积是2I(R-d,整 相除 数学反思 个西瓜的体积是R3; 本节是从分数的乘除法则的角度引导学生 (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法 4r(R-d)3 则.这种温故而知新的做法不仅有利于学生 接受新知识,而且能体现由数到式的发展过 R3 程.在学生得出分式的乘除法则时,要求他 们分别用文字和式子两种形式进行表述,这 (3)由(2)知,西瓜瓤与整个西瓜的体积样不仅加深了学生对法则的理解,而且锻炼 (R-d)3 了他们的数学表达能力.为了进一步加深学 比是R<1,故买大西瓜比买小西瓜 生对基本法则的理解和运用,又由浅到深设 合算 计了一些练习题,这样学生就会把所学的知 方法总结:本题能够根据球的体积,得 识融会贯通 到两个物体的体积比即为它们的半径的立 方比是解此题的关键 【类型四】分式的化简求值
算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一 个整式或最简分式的形式． 【类型三】 分式乘方的应用 通常购买同一品种的西瓜时，西 瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希 望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如 我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度 看成是均匀的，西瓜的皮厚都是 d，已知球 的体积公式为 V＝ 4 3 πR 3 (其中 R 为球的半 径)，求： (1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多 少？ (2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多 少？ (3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 解析：(1)根据体积公式求出即可；(2) 根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积 的比即可． 解：(1)西瓜瓤的体积是4 3 π(R－d) 3，整 个西瓜的体积是4 3 πR 3； (2) 西 瓜 瓤与 整 个 西 瓜 的体 积 比 是 4 3 π（R－d）3 4 3 πR 3 ＝ （R－d）3 R 3 ； (3)由(2)知，西瓜瓤与整个西瓜的体积 比是（R－d）3 R 3 <1，故买大西瓜比买小西瓜 合算． 方法总结：本题能够根据球的体积，得 到两个物体的体积比即为它们的半径的立 方比是解此题的关键． 【类型四】 分式的化简求值 化 简 求 值 ： ( 2xy2 x＋y ) 3 ÷ ( xy3 x 2－y 2 ) 2·[ 1 2（x－y） ] 2，其中 x＝－ 1 2 ，y＝ 2 3 . 解析：按分式混合运算的顺序化简，再 代入数值计算即可． 解 ： 原式＝ 8x 3 y 6 （x＋y）3· （x＋y）2（x－y）2 x 2 y 6 · 1 4（x－y）2 ＝ 2x x＋y .将 x＝－ 1 2 ，y＝ 2 3 代入得原式＝－6. 方法总结：先算乘方再算乘除，将原式 化为最简形式是解决此类问题的常用方法． 三、板书设计 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用 分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式， 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 相除． 本节是从分数的乘除法则的角度引导学生 通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法 则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生 接受新知识，而且能体现由数到式的发展过 程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他 们分别用文字和式子两种形式进行表述，这 样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼 了他们的数学表达能力．为了进一步加深学 生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设 计了一些练习题，这样学生就会把所学的知 识融会贯通