第四章因式分解 、学生起点分析 学生的知识技能基础:学生己经学习了因式分解的两种方法:提公因式法与 公式法,逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系,但对因式分解 在实际中的应用认识还不够深,应用不够灵活,对稍复杂的多项式找不出分解因 式的策略.因此,教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分 解因式进行计算及讨论 学生活动经验基础:在本章内容的学习过程中,学生已经经历了观察、对 比、类比、讨论、归纳等活动方法,获得了一些对多项式进行分解因式以及利用 分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础,同时在以前的数学学习中学 生已经经历了很多合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力 二、教学任务分析 在前几节的学习中,学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法,本课时安 排让学生对本章内容进行回顾与思考,旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线 有机地组合起来,从而形成一个知识网络,使学生对这些知识点不再是孤立地看 待,而是在应用这些知识时,能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点,同时能 把这些知识加以灵活运用,因此,本节课的教学目标是: 1.知识与技能 (1)使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法; (2)提高学生因式分解的基本运算技能 (3)能熟练地综合运用几种因式分解方法 2.过程与方法 (1)发展学生对因式分解的应用能力,培养寻求解决问题的策略意识,提髙解 决问题的能力; (2)注重学生对因式分解的理解,发展学生分析问题的能力和推理能力 3.情感与态度:通过因式分解综合练习和开放题练习,提高学生观察、分析问 题的能力,培养学生的开放意识;通过认识因式分解在实际生活中的应用,培养
第四章 因式分解 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与 公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解 在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因 式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分 解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对 比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用 分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学 生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安 排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线 有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看 待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能 把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解 决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力． 3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问 题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养
学生运用数学知识解决实际问题的意识 教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:知识回顾一一总结归纳一一小试牛刀一一总结 归纳 能力提升一一活学活用一一永攀高峰. 第一环节知识回顾 活动内容:1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系? 3、分解因式常用的方法有哪些? 4、试着画出本章的知识结构图 如果一个多项式的各项含有 「整式乘法 式,这种分解因式的方法叫 做提公因式法 提公因式法 平方差公式 解因式方 a+b(a-b 运用公式法 完金平方公式 2±2ab+b2=(a±b) 把一个多项式化成几个整式 式,这种分解因式的 方法叫做运用公式法 活动目的:学生通过回顾与思考,将本章的主要知识点串联起来 注意事项:学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互 逆关系有了较清楚的认识与理解,但语言叙述严谨性不够,有待加强 第二环节总结归纳(分五个知识点进行归纳训练) 活动内容:知识点一:对分解因式概念的理解
学生运用数学知识解决实际问题的意识． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结 归纳 ——能力提升――活学活用——永攀高峰． 第一环节 知识回顾 活动内容：1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。 活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来． 注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互 逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强． 第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练） 活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为( y2-3y-4=y(y-3)-4 B.1-4x+4x2=(1-2x) c. x-y=(x+yx-y D.x-1=m(1 活动目的:加深学生对因式分解概念的认识 注意事项:引导学生说出相应的理由 活动内容: 知识点二:利用提公因式法分解因式 例2把下列各式分解因式 (1)-27m2n+9mn2-18m (2)4b1-b)3+2(b-1)2 知识点三:利用公式法分解因式 例3.把下列各式分解因式 (1)(m+n)2-(m-n) +3 (x+y)2-10(x+y)+25 (4)(2a-b)2+8ab 活动目的:(1)分类讲解分解因式的两种基本方法,加强学生对因式分解的基本 技能训练:(2)增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算 注意事项:前五题学生完成得较好,但最后一题,有的学生处理时显得有些茫然, 教师在讲解时,应引导学生先化简整理,再考虑用公式或其它方法进行因式分解。 第三环节小试牛刀 活动内容:练一练:把下列各式分解因式 活动目的:连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时 应考虑用平方差公式,当多项式形式上是三项式时,应考虑用完全平方公式
例 1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。 A. B. C. D. 活动目的：加深学生对因式分解概念的认识． 注意事项：引导学生说出相应的理由． 活动内容： 知识点二：利用提公因式法分解因式 例 2.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ 知识点三：利用公式法分解因式 例 3.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本 技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算． 注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然， 教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。 第三环节 小试牛刀 活动内容：练一练：把下列各式分解因式 （1）（a 2+4）2–16a 2 （2） 活动目的： 连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时， 应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。 ) 1 1 (1 ( )( ) 1 4 4 (1 2 ) 3 4 ( 3) 4 2 2 2 2 2 x x x x y x y x y x x x y y y y − = − − = + − − + = − − − = − − 27m n 9mn 18mn 2 2 − + − 3 2 4b(1−b) + 2(b −1) 2 2 (m + n) − (m − n) 4 9 3 2 x + x + ( ) 10( ) 25 2 x + y − x + y + (2a b) 8ab 2 − + 2 2 4 4 2x y − x − y
注意事项:区分两个公式法分解因式 第四环节总结归纳 活动内容:知识点四:综合运用多种方法分解因式 例4把下列各式分解因式 (1)x2-4x (2)(a+b)-4(a+b-1) 3)x2(y2-1)+2x(y2-1) (4)x2-9y+4+4x2 活动目的:考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力,同时归纳分解因 式的一般步骤和方法。 注意事项:先观察是否有公因式,若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全 平方公式特征,若有使用公式法;若都没有,则考虑将多项式进行重新整理或分 组后进行分解因式 活动内容:知识点五:运用分解因式进行计算和求值 例5.利用分解因式计算: (992+198+1 (2)1992-198×2002 (3)(-2)101+(-2)100 例6.已知 x2+3x-2=0 求 x3+6x2-4 的值。 例7已知x+y=1,求x2+xy+y2的值 例8计算下列各式: (1)l- (2(1-2)(1-)= (3)(1-2(1-(1-n2)= 你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗?请你利用你找到的简便方 法计算下式1111M)(1×1-10)(-n
注意事项：区分两个公式法分解因式。 第四环节 总结归纳 活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式 例 4.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 活动目的： 考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因 式的一般步骤和方法。 注意事项：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全 平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分 组后进行分解因式。 活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值 例 5.利用分解因式计算： ⑴ ⑵ ⑶（–2）101+（–2）100 例 6．已知 ，求 的值。 例 7.已知 x+y=1，求 2 2 2 1 2 1 x + xy + y 的值． 例 8.计算下列各式： 你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方 法计算下式： x 4x 3 − ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 x y − + x y − + y − ( ) 4( 1) 2 a +b − a +b − x 9y 4z 4xz 2 2 2 − + + 1999 1998 2002 2 − 2 2 2 (99 198 1) 100 + + 3 2 0 2 x + x − = 2x 6x 4x 3 2 + − ) __________ . 4 1 )(1 3 1 )(1 2 1 (3)(1 ) _________; 3 1 )(1 2 1 (2)(1 ________; 2 1 (1)1 2 2 2 2 2 2 − − − = − − = − = ). 1 )...(1 10 1 )(1 9 1 )...(1 4 1 )(1 3 1 )(1 2 1 (1 2 2 2 2 2 2 n − − − − − −
活动目的:使学生了解因式分解在计算中的作用,例5考察分别考察运用公式法 和提公因式法的应用,例6、例7考察分解因式后的整体代入求值,例8由特殊 到一般鼓励学生自主发现规律特征,找到解决问题的方法。总之,应用因式分解 来解决实际问题不失为一个有效的办法 注意事项:乍一看,学生从前未接触过这种题型,因而不知从何下手,但在老师 的引导和启发下,部分学生能解决提出的问题 第五环节能力提升 活动内容:知识点六:分解因式的实际应用 例9如图,在一个半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆 (1)用代数式表示剩余部分的面积 (2)用简便方法计算:当R=75,r=1.25时,剩余部分的面积 活动目的:加强因式分解在实际生活中的应用,发展学生对因式分解的 应用能力,提高解决问题的能力. 注意事项:将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节,但对于学生是 个有益的尝试,教师的引导应注意以下两个步骤:先将多项式因式分解;再将 数据代入 第六环节活学活用 活动内容:练一练 1正方形I的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm,它们的面积相差960cm2求这两个 正方形的边长 2.当x取何值时,x2+2x+1取得最小值? 3当k取何值时,100x2kxy+49y2是一个完全平方式? 活动目的:通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注学生知识技能的发展和不 同层次的需求.第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力,需要将实际问 题转化为数学算式,再利用因式分解的特性求解;第2、3题主要考察学生对完 全平方式的掌握,中等程度以上的学生都应该能解答;但第三题有两种情况需要 考虑,部分学生被负号所迷惑只写了一个答案
活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，例 5 考察分别考察运用公式法 和提公因式法的应用，例 6、例 7 考察分解因式后的整体代入求值，例 8 由特殊 到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式分解 来解决实际问题不失为一个有效的办法． 注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师 的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题． 第五环节 能力提升 活动内容：知识点六：分解因式的实际应用 例 9.如图，在一个半径为 R 的圆形钢板上，冲去半径为 r 的四个小圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当 R=7.5，r=1.25 时，剩余部分的面积． 活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的 应用能力，提高解决问题的能力． 注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是 一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将 数据代入． 第六环节 活学活用 活动内容：练一练 1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长 96cm，它们的面积相差 960cm2 .求这两个 正方形的边长。 2.当 x 取何值时，x 2+2x+1 取得最小值？ 3.当 k 取何值时，100 x2 -kxy+49y2 是一个完全平方式？ 活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不 同层次的需求．第 1 题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问 题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第 2、3 题主要考察学生对完 全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情况需要 考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案
注意事项:注重学生将实际问题转化为数学问题的能力,同时需正确理解完全平 方式的意义。 第七环节:永攀高峰 活动内容:例10利用分解因式说明:25-5能被120整除。 练一练:24-1可以被60和70之间某两个自然数整除,求这两个数 活动目的:利用分解因式解决数字问题,需要一些小技巧,教师给出一例题讲 解,学生效仿学习 注意事项:练一练有一定的难度,学有余力的学生可探究学习。、\ 课后练习:完成课后习题 四、教学设计反思 在因式分解的几种方法中,提取公因式法师最基本的的方法,学生也很容 易掌握。但在一些综合运用的题目中,学生总会易忘记先观察是否有公因式,而 直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误,有些题目分解不 全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比 较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻,彼此的特征区别还未 真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公 因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解 培养学生的整体观念,灵活运用公式的能力。注重总结做题步骤。这章节知 识看起来很简单,但操作性很强的,相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的 或者多种公式混合使用的式子就难以入手,基础不好的学生需要手把手的教,因 此,应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因 式,那么先提公因式;②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式;③如果用 上述方法不能分解,那么可以尝试变形后选择分解方法;④分解因式,必须进行 到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外,解题步骤教师应在黑板上示范 多做题、多小考,反复强调,在复习时还要加以巩固
注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平 方式的意义。 第七环节： 永攀高峰 活动内容：例 10.利用分解因式说明： 能被 120 整除。 练一练： 可以被 60 和 70 之间某两个自然数整除，求这两个数。 活动目的： 利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲 解，学生效仿学习。 注意事项： 练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、\ 课后练习：完成课后习题。 四、教学设计反思 在因式分解的几种方法中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容 易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而 直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完 全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比 较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未 真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公 因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。 培养学生的整体观念，灵活运用公式的能力。注重总结做题步骤。这章节知 识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的 或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的教，因 此，应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因 式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；③如果用 上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；④分解因式，必须进行 到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外，解题步骤教师应在黑板上示范， 多做题、多小考，反复强调，在复习时还要加以巩固。 2 1 48 − 7 12 25 − 5