第2课时分式方程的解法 学目标一 是代入去分母时乘的最简公分母,一般是 1.在进一步理解分式方程意义的基础 上,掌握分式方程的一般解法;(重点) 代入公分母检验 2.了解解分式方程可能会产生增根 掌握解分式方程一定要验根及验根方 【类型二】由分式方程的解确定字母 法.(难点) 的取值范围 例关于x的方程4=1的解是正 教学过程 数,则a的取值范围是 、情境导入 解析:去分母得2x+a=x-1,解得x 方程 与以前学习的方程有什么 2x+a a-1,关于x的方程 1的解是 不同?怎样解这样的方程? 二、合作探究 探究点一:分式方程的解法 正数,∴x>0且x≠1,-a-1>0且-a 【类型一】解分式方程 1解方程 1≠1,解得a<-1且a≠-2,a的取值 2(2) 范围是a<-1且a≠-2 解析:分式方程两边同乘以最简公分 方法总结:求出方程的解(用未知字母 母,把分式方程转化为整式方程求解,注意表示),然后根据解的正负性,列关于未知 验根 字母的不等式求解,特别注意分母不能为0. 解:(1)方程两边同乘x(x-2),得5(x- 探究点二:分式方程的增根 2)=7x,5x-10=7x,2x=-10,解得x= 【类型一】求分式方程的增根 5,检验:把x=-5代入最简公分母,得 x(x-2)≠0,∴x=-5是原方程的解 例国若方程32=+(42)有增 (2)方程两边同乘最简公分母(x-2),得根,则增根为() 1=x-1-3(x-2),解得x=2,检验:把x A.0B.2C.0或2D.1 =2代入最简公分母,得x-2=0,∴原方 程无解 解析:∵最简公分母是xx-2),方程 方法总结:解分式方程的步骤:①去分有增根,则x(x-2)=0,x=0或x=2.去分 母;②解整式方程;③检验;④写出方程的母得3x=α(x-2)+4,当x=0时,2a=4,a 解注意检验有两种方法,是代入原方程,=2;当x=2时,6=4不成立,增根只能
第 2 课时 分式方程的解法 1．在进一步理解分式方程意义的基础 上，掌握分式方程的一般解法；(重点) 2．了解解分式方程可能会产生增根， 掌 握 解分 式 方程 一定 要 验根 及验 根 方 法．(难点) 一、情境导入 方程 5 x－2 ＝ 3 x 与以前学习的方程有什么 不同？怎样解这样的方程？ 二、合作探究 探究点一：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5 x ＝ 7 x－2 ；(2) 1 x－2 ＝ 1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分 母，把分式方程转化为整式方程求解，注意 验根． 解：(1)方程两边同乘 x(x－2)，得 5(x－ 2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得 x＝ －5，检验：把 x＝－5 代入最简公分母，得 x(x－2)≠0，∴x＝－5 是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得 1＝x－1－3(x－2)，解得 x＝2，检验：把 x ＝2 代入最简公分母，得 x－2＝0，∴原方 程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分 母；②解整式方程；③检验；④写出方程的 解．注意检验有两种方法，一是代入原方程， 二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是 代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母 的取值范围 关于 x 的方程2x＋a x－1 ＝1 的解是正 数，则 a 的取值范围是____________． 解析：去分母得 2x＋a＝x－1，解得 x ＝－a－1，∵关于 x 的方程 2x＋a x－1 ＝1 的解是 正数，∴x＞0 且 x≠1，∴－a－1＞0 且－a －1≠1，解得 a＜－1 且 a≠－2，∴a 的取值 范围是 a＜－1 且 a≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母 表示)，然后根据解的正负性，列关于未知 字母的不等式求解，特别注意分母不能为 0. 探究点二：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程 3 x－2 ＝ a x ＋ 4 x（x－2） 有增 根，则增根为( ) A．0 B．2 C．0 或 2 D．1 解析：∵最简公分母是 x(x－2)，方程 有增根，则 x(x－2)＝0，∴x＝0 或 x＝2.去分 母得 3x＝a(x－2)＋4，当 x＝0 时，2a＝4，a ＝2；当 x＝2 时，6＝4 不成立，∴增根只能
当m-1=0时,此方程无解,此时m=1: 为x=0,故选A ②方程有增根,则x=2或x=-2,当x= 方法总结:增根是使分式方程的分母为 时,代入(m-1)x=-10得(m-1)×2= 10,m=-4;当x=-2时,代入(m-1)x 0的根,所以判断增根只需让分式方程的最 10得(m-1)×(-2)=-10,解得m=6, ∴m的值是1,-4或6 简公分母为0,注意应舍去不合题意的解 方法总结:分式方程无解与分式方程有 【类型二】分式方程有增根,求字母 增根所表达的意义是不一样的.分式方程有 的值 例如果关于x的分式方程=1-增根仅仅针对使最简公分母为0的数,分式 有增根,则m的值为() 方程无解不但包括使最简公分母为0的数 A.-3B.-2 而且还包括分式方程化为整式方程后,使整 1D.3 解析:方程两边同乘以x-3,得2=x式方程无解的数 三、板书设计 -3-m①∴∵原方程有增根,∴x-3=0,即 1.分式方程的解法 方程两边同乘以最简公分母,化为整式 x=3把x=3代入①,得m=-2.故选B 方程求解,再检验. 2.分式方程的增根 方法总结:增根问题可按如下步骤进 (1)解分式方程为什么会产生增根 行:①让最简公分母为0确定增根;②化分 (2)分式方程检验的方法 数学反思 式方程为整式方程;③把增根代入整式方程 这节课主要是通过对比有分数系数的整式 方程的解法来学习分式方程的解法,从而归 即可求得相关字母的值 纳出分式方程的基本解题步骤.在教学过程 【类型三】分式方程无解,求字母的中要着重讲解分式方程为什么要检验,要让 学生理解增根的由来,从而牢记分式方程在 5若关于x的分式方程 2,mx解题后要进行检验,避免解题出错.在完成 4解题步骤归纳之后,通过例题与练习让学生 =3无解,求m的值 在出错中找到正确的解法,让学生自己归纳 理解解题时容易出错的地方,防止犯错 解析:先把分式方程化为整式方程,再 分两种情况讨论求解:一元一次方程无解与 分式方程有增根 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 2(x+2)+mx=3(x-2),即(m-1)x=-10①
为 x＝0，故选 A. 方法总结：增根是使分式方程的分母为 0 的根，所以判断增根只需让分式方程的最 简公分母为 0，注意应舍去不合题意的解． 【类型二】 分式方程有增根，求字母 的值 如果关于 x 的分式方程 2 x－3 ＝1－ m x－3 有增根，则 m 的值为( ) A．－3 B．－2 C．－1 D．3 解析：方程两边同乘以 x－3，得 2＝x －3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即 x＝3.把 x＝3 代入①，得 m＝－2.故选 B. 方法总结：增根问题可按如下步骤进 行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化分 式方程为整式方程；③把增根代入整式方程 即可求得相关字母的值． 【类型三】 分式方程无解，求字母的 值 若关于 x 的分式方程 2 x－2 ＋ mx x 2－4 ＝ 3 x＋2 无解，求 m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再 分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与 分式方程有增根． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ②方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，当 x＝2 时，代入(m－1)x＝－10 得(m－1)×2＝－ 10，m＝－4；当 x＝－2 时，代入(m－1)x＝ －10 得(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6， ∴m 的值是 1，－4 或 6. 方法总结：分式方程无解与分式方程有 增根所表达的意义是不一样的．分式方程有 增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式 方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数， 而且还包括分式方程化为整式方程后，使整 式方程无解的数． 三、板书设计 1．分式方程的解法 方程两边同乘以最简公分母，化为整式 方程求解，再检验． 2．分式方程的增根 (1)解分式方程为什么会产生增根； (2)分式方程检验的方法． 这节课主要是通过对比有分数系数的整式 方程的解法来学习分式方程的解法，从而归 纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程 中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让 学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在 解题后要进行检验，避免解题出错．在完成 解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生 在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳 理解解题时容易出错的地方，防止犯错