4.3公式法 第1课时平方差公式 学习目标 差公式分解因式,正确.故选D 理解平方差公式,弄清平方差公式 的形式和特点:(重点 方法总结:能够运用平方差公式分解因 2.掌握运用平方差公式分解因式的方 法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式的多项式必须是二项式两项都能写成平 式.(难点) 方的形式,且符号相反 数学过程 【类型二】利用平方差公式分解因式 团例2分解因式: 情境导入 1.同学们,你能很快知道992-1是100 (1)a4-1b;:(2)xy2-xy 的倍数吗?你是怎么想出来的?请与大家 交流 解析:(1)l2-1b可以写成a)-Gb2) 2.你能将a2-b2分解因式吗?你是如 何思考的? 的形式,这样可以用平方差公式进行分解因 、合作探究 探究点一:用平方差公式因式分解 式,而其中有一个因式a2-b2仍可以继续 【类型一】判定能否利用平方差公式 )解因式 用平方差公式分解因式:2)xy2-x4有公因 1下列多项式中能用平方差公式分 解因式的是() 式x2,应先提公因式再进一步分解因式 A.a2+(-b)2B.5m2-20m x2-y2D.-x2+9 解:(1)原式=(a2+b2)a-4b2)=(a 解析:A中a+(-b)符号相同,不能+6)a-ba+b 用平方差公式分解因式,错误;B中5m2 (2)原式=xy2(x2-y2)=xy(x+y)(x-y) 方法总结:分解因式前应先分析多项式 20m两项都不是平方项,不能用平方差公 的特点,一般先提公因式,再套用公式.分 式分解因式,错误;C中-x2-y2符号相同, 解因式必须进行到每一个多项式都不能再 不能用平方差公式分解因式,错误;D中 分解因式为止 +32,两项符号相反,能用平方 【类型三】利用因式分解整体代换求
4．3 公式法 第 1 课时 平方差公式 1．理解平方差公式，弄清平方差公式 的形式和特点；(重点) 2．掌握运用平方差公式分解因式的方 法，能正确运用平方差公式把多项式分解因 式．(难点) 一、情境导入 1．同学们，你能很快知道 992－1 是 100 的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家 交流． 2．你能将 a 2－b 2 分解因式吗？你是如 何思考的？ 二、合作探究 探究点一：用平方差公式因式分解 【类型一】 判定能否利用平方差公式 分解因式 下列多项式中能用平方差公式分 解因式的是( ) A．a 2＋(－b) 2 B．5m2－20mn C．－x 2－y 2 D．－x 2＋9 解析：A 中 a 2＋(－b) 2 符号相同，不能 用平方差公式分解因式，错误；B 中 5m2－ 20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公 式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2 符号相同， 不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－ x 2＋9＝－x 2＋3 2，两项符号相反，能用平方 差公式分解因式，正确．故选 D. 方法总结：能够运用平方差公式分解因 式的多项式必须是二项式，两项都能写成平 方的形式，且符号相反． 【类型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式： (1)a 4－ 1 16b 4 ；(2)x 3 y 2－xy4 . 解析：(1)a 4－ 1 16b 4 可以写成(a 2 ) 2－( 1 4 b 2 ) 2 的形式，这样可以用平方差公式进行分解因 式，而其中有一个因式 a 2－ 1 4 b 2 仍可以继续 用平方差公式分解因式；(2)x 3 y 2－xy4 有公因 式 xy2，应先提公因式再进一步分解因式． 解：(1)原式＝(a 2＋ 1 4 b 2 )(a 2－ 1 4 b 2 )＝(a 2 ＋ 1 4 b 2 )(a－ 1 2 b)(a＋ 1 2 b)； (2)原式＝xy2 (x 2－y 2 )＝xy2 (x＋y)(x－y)． 方法总结：分解因式前应先分析多项式 的特点，一般先提公因式，再套用公式．分 解因式必须进行到每一个多项式都不能再 分解因式为止． 【类型三】 利用因式分解整体代换求
运算 团例3已知x2-y2=-1.,⊥,1 例5利用因式分解计算: 的值 (2)5 解析:已知第一个等式左边利用平方差 解析:(1)根据平方差公式进行计算即 公式化简将x+y的值代入计算即可求出x 可;(2)先提取公因式,再根据平方差公式进 解:∵x2-y2=(x+y)x-y)=-1,x+ 行计算即可 解:(1)1012-992=(101+99(101-99) 方法总结:有时给出的条件不是字母的 (2)5 4282×=(572-4282) 具体值,就需要先迸行化简求岀字母的值, (572+428)(572-428)× 但有时很难或者根本就求不出字母的值,根100014141-300 据题目特点,将一个代数式的值整体代入可 方法总结:一些比较复杂的计算,如果 使运算简便 通过变形转化为平方差公式的形式,则可以 探究点二:用平方差公式因式分解的应 使运算简便 用 【类型一】利用因式分解解决整除问 【类型三】因式分解的实际应用 题 6如图,100个正方形由小到大套在 例4248-1可以被60和70之间某两一起,从外向里相间画上阴影,最里面一个 个自然数整除,求这两个数 小正方形没有画阴影,最外面一层画阴影 解析:先利用平方差公式分解因式,再最外面的正方形的边长为10m,向里依次 为99cm,98cm,…,lcm,那么在这个图 形中,所有画阴影部分的面积和是多少? 找出范围内的解即可 解 1=(24+1)(22-1)=(24+ 1)(212+1 +1)(21+1)(26+ 1)(26-1).∴26=64,∴26-1=63,26+1 =65,∴这两个数是65和63 方法总结:解决整除的基本思路就是将 解析:相邻两正方形面积的差表示一块 代数式化为整式乘积的形式,然后分析被哪阴影部分的面积,而正方形的面积是边长的 些数或式子整除 平方,所以能用平方差公式进行因式分解 【类型二】利用平方差公式进行简便 解:每一块阴影的面积可以表示成相邻
值 已知 x 2－y 2＝－1，x＋y＝ 1 2 ，求 x －y 的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差 公式化简，将 x＋y 的值代入计算即可求出 x －y 的值． 解：∵x 2－y 2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y ＝ 1 2 ，∴x－y＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的 具体值，就需要先进行化简，求出字母的值， 但有时很难或者根本就求不出字母的值，根 据题目特点，将一个代数式的值整体代入可 使运算简便． 探究点二：用平方差公式因式分解的应 用 【类型一】 利用因式分解解决整除问 题 2 48－1 可以被 60 和 70 之间某两 个自然数整除，求这两个数． 解析：先利用平方差公式分解因式，再 找出范围内的解即可． 解：2 48－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋ 1)(212＋1)(212 －1) ＝(224 ＋1)(212 ＋1)(26 ＋ 1)(26－1)．∵2 6＝64，∴2 6－1＝63，2 6＋1 ＝65，∴这两个数是 65 和 63. 方法总结：解决整除的基本思路就是将 代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪 些数或式子整除． 【类型二】 利用平方差公式进行简便 运算 利用因式分解计算： (1)1012－992 ； (2)5722× 1 4 －4282× 1 4 . 解析：(1)根据平方差公式进行计算即 可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进 行计算即可． 解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99) ＝400； (2)5722× 1 4 －4282× 1 4 ＝(5722－4282 )× 1 4 ＝ (572 ＋ 428)(572 － 428)× 1 4 ＝ 1000×144× 1 4 ＝36000. 方法总结：一些比较复杂的计算，如果 通过变形转化为平方差公式的形式，则可以 使运算简便． 【类型三】 因式分解的实际应用 如图，100 个正方形由小到大套在 一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个 小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影， 最外面的正方形的边长为 100cm，向里依次 为 99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图 形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解析：相邻两正方形面积的差表示一块 阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的 平方，所以能用平方差公式进行因式分解． 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻
正方形的面积的差,而正方形的面积是其边 长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算 了.则S明影=(1002-99)+(982-97)+…+ (32-22)+1=100+99+98+97+…+2+1 =5050(cm2) 答:所有阴影部分的面积和是5050cm 方法总结:首先应找出图形中哪些部分 发生了变化,是按照什么规律变化的,通过 分析找到各部分的变化规律后直接利用规 律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考 善用联想来解决这类问题 板书设计 1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b) 2.平方差公式的特点:能够运用平方 差公式分解因式的多项式必须是二项式,两 项都能写成平方的形式,且符号相反 数学反思 运用平方差公式因式分解,首先应注意每个 公式的特征.分析多项式的次数和项数,然 后再确定公式.如果多项式是二项式,通常 考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因 式可提,应先提取公因式,而且还要“提” 得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要 化简,二是分解因式时,每个因式都要分解 彻底
正方形的面积的差，而正方形的面积是其边 长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算 了．则 S 阴影＝(1002－992 )＋(982－972 )＋…＋ (32－2 2 )＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1 ＝5050(cm2 )． 答：所有阴影部分的面积和是 5050cm2 . 方法总结：首先应找出图形中哪些部分 发生了变化，是按照什么规律变化的，通过 分析找到各部分的变化规律后直接利用规 律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考， 善用联想来解决这类问题． 三、板书设计 1．平方差公式：a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)； 2．平方差公式的特点：能够运用平方 差公式分解因式的多项式必须是二项式，两 项都能写成平方的形式，且符号相反． 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个 公式的特征．分析多项式的次数和项数，然 后再确定公式．如果多项式是二项式，通常 考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因 式可提，应先提取公因式，而且还要“提” 得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要 化简，二是分解因式时，每个因式都要分解 彻底