1.4角平分线 第1课时角平分线 学习目标 D到AB的距离等于点D到AC的距离,即 复习角平分线的相关知识,探究归 纳角平分线的性质和判定定理;(重点 CD=DE再根据R△CDF≌Rt△EBD,得CF 2.能够运用角平分线的性质和判定定 理解决问题.(难点) =EB;(2)利用角平分线的性质证明△ADC 数心程 和△ADE全等得到AC=AE,然后通过线段 一、情境导入 之间的相互转化进行证明 证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE 问题:在S区有一个集贸市场P,它建⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC在Rt△DCF 在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点 建两条路,一条到公路,一条到铁路. 和Rt△DEB中 Rt△CDF 问题1:怎样修建道路最短? DC=DE, 问题2:往哪条路走更近呢? ≌Rt△EBD(HL).∴CF=EB (2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB DC⊥AC,∴CD=DE在△ADC与△ADE CD=DE 中 LAD=AD 公路 ∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=A 、合作探究 AB=AE-+ BE=AC+EB=AF+CF+EB 探究点一:角平分线的性质定理 AF+2EB 【类型一】应用角平分线的性质定理 证明线段相等 方法总结:角平分线的性质是判定线段 1如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F相等的一个重要依据,在应用时一定要注意 在AC上,BD=DF求证:(1)CF=EB;(2B 是两条“垂线段”相等 AF-+2EB 【类型二】角平分线的性质定理与三 角形面积的综合运甩 解析:(1)根据角平分线的性质,可得点
1．4 角平分线 第 1 课时 角平分线 1．复习角平分线的相关知识，探究归 纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定 理解决问题．(难点) 一、情境导入 问题：在 S 区有一个集贸市场 P，它建 在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点 建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题 1：怎样修建道路最短？ 问题 2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质定理 【类型一】 应用角平分线的性质定理 证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C＝90°， AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，即 CD＝DE.再根据 Rt△CDF≌Rt△EBD，得 CF ＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到 AC＝AE，然后通过线段 之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中，∵ BD＝DF， DC＝DE， ∴Rt△CDF ≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC 与△ADE 中，∵ CD＝DE， AD＝AD， ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB ＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段 相等的一个重要依据，在应用时一定要注意 是两条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质定理与三 角形面积的综合运用
2如图,AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB要依据,可作为判定三角形全等的条件 4,则AC的长是() 探究点二:角平分线的判定定理 【类型一】角平分线的判定 解析:过点D作DF⊥AC于F,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE 团4如图,BE=CF,DE⊥AB的延长 =2,∴SABC=×4×2+XACX2=7,解 线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC, 求证:AD是∠BAC的平分线 得AC=3.故选D 解析:先判定R△BDE和Rt△CDF全等 方法总结:利用角平分线的性质作辅助 得出DE=DF,再由角平分线的判定可知 线构造三角形的高,再利用三角形面积公式 AD是∠BAC的平分线 求出线段的长度是常用的方法 证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF 【类型三】角平分线的性质定理与全⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE 等三角形的综合运用 与△CDF是直角三角形.在Rt△BDE和Rt 囹3如图所示,D是△ABC外角 ∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF△CDF中,∵ ⊥CG,垂足分别为E,F求证:CE=CF lBD=CD Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE DFDE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是∠BAC 的平分线 方法总结:证明一条射线是角平分线的 解析:由角平分线上的性质可得DE= 方法有两种:一是利用三角形全等证明两角 DF,再利用HL”证明RCDE和 StAcE 相等;二是角的内部到角两边距离相等的点 全等,根据全等三角形对应边相等证明即 在角平分线上 【类型二】角平分线的性质和判定的 证明:∵CD是∠ACG的平分线,DE综合 ⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF在Rt△CDE 和R△CDF中,∵JCD=CD, Rt△CDE ≌Rt△CDF(HL),∴CE=CF 5如图所示,△ABC中,AB=AC, 方法总结:全等三角形的判定离不开 AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别是E、F.下面给出四个结论,①AD 边,而角平分线的性质是判定线段相等的主分∠EDF:②AE=AF;③AD上的点到B
如图，AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，则 AC 的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE ＝2，∴S△ABC＝ 1 2 ×4×2＋ 1 2 ×AC×2＝7，解 得 AC＝3.故选 D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助 线构造三角形的高，再利用三角形面积公式 求出线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质定理与全 等三角形的综合运用 如图所示，D 是△ABC 外角 ∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC，DF ⊥CG，垂足分别为 E，F.求证：CE＝CF. 解析：由角平分线上的性质可得 DE＝ DF，再利用“HL”证明 Rt△CDE 和 Rt△CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即 可． 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中，∵ CD＝CD， DE＝DF， ∴Rt△CDE ≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开 边，而角平分线的性质是判定线段相等的主 要依据，可作为判定三角形全等的条件． 探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE＝CF，DE⊥AB 的延长 线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB＝DC， 求证：AD 是∠BAC 的平分线． 解析：先判定 Rt△BDE 和 Rt△CDF 全等， 得出 DE＝DF，再由角平分线的判定可知 AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE⊥AB 的延长线于点 E，DF ⊥AC 于点 F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt △CDF 中，∵ BE＝CF， BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝ DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的 方法有两种：一是利用三角形全等证明两角 相等；二是角的内部到角两边距离相等的点 在角平分线上． 【类型二】 角平分线的性质和判定的 综合 如图所示，△ABC 中，AB＝AC， AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是 E、F.下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF；②AE＝AF；③AD 上的点到 B
C两点的距离相等;④到AE、AF距离相等 的点,到DE、DF的距离也相等.其中正确然后利用角平分线上的点到角两边的距离 的结论有() A.1个B.2个C.3个D.4个相等可知DE=DG,利用到角两边距离相 解析:由AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF等的点在角平分线上来证明 ⊥AC可得DE=DF,由此易得 证明:分别过D作DE、DF、DG垂直 于AB、BC、AC,垂足分别为E、F、G∵BD △ADE≌△ADF,故∠ADE=∠ADF,即分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE= DF同理DG=DF,∴DE=DG,∴点D在 ∠BAC的平分线上,∴AD是∠BAC的平分 ①AD平分∠EDF正确;②AE=AF正确; 线 中垂线上的点到两端点的距离相等,故③正方法总结:在遇到角平分线的问题时 确∷④到AE、AF距离相等的点,在∠BAC往往过角平分线上的一点作角两边的垂线 的角平分线AD上,到DE、DF的距离相等段,利用角平分线的判定或性质解决问题 的点在∠EDF的平分线DA上,两者同一条 【类型四】线段垂直平分线与角平分 浅的综合运用 7如图,在四边形ADBC中,AB与 直线上所以到DE、DF的距离也相等正确, CD互相垂直平分,垂足为点O 故④正确;①②③④都正确.故选D. 方法总结:运用角平分线的性质或判定 时,可以省去证明三角形全等的过程,可以 (1)找出图中相等的线段 (2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边 直接得到线段或角相等 的垂线段,试说明它们的大小有什么关系 【类型三】添加辅助线解决角平分线 解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相 题 圆例6如图,△ABC的∠ABC和∠ACB 等的线段;(2)由条件可证明 的外角平分线交于点D求证:AD是∠BAC 的平分线 △AOC≌△AOD,可得AO平分∠DAC,根 据角平分线的性质可得OE=OF C B G 解:(1)∵AB、CD互相垂直平分,∴OC DD, A0=OB, E AC=BC=AD=BD (2)OE=OF,理由如下:在△AOC和 解析:分别过点D作DE、DF、DG垂 AC=AD △AOD中, △AOC≌△ 直于AB、BC、AC,垂足分别为E、F、G, A0=AO
C 两点的距离相等；④到 AE、AF 距离相等 的点，到 DE、DF 的距离也相等．其中正确 的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：由 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥ AC 可 得 DE ＝ DF ， 由此易得 △ADE≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即 ①AD 平分∠EDF 正确；②AE＝AF 正确； 中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正 确；∵④到 AE、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线 AD 上，到 DE、DF 的距离相等 的点在∠EDF 的平分线 DA 上，两者同一条 直线上，所以到 DE、DF 的距离也相等正确， 故④正确；①②③④都正确．故选 D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定 时，可以省去证明三角形全等的过程，可以 直接得到线段或角相等． 【类型三】 添加辅助线解决角平分线 的问题 如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：AD 是∠BAC 的平分线． 解析：分别过点 D 作 DE、DF、DG 垂 直于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、F、G， 然后利用角平分线上的点到角两边的距离 相等可知 DE＝DG，再利用到角两边距离相 等的点在角平分线上来证明． 证明：分别过 D 作 DE、DF、DG 垂直 于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、F、G.∵BD 平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝ DF.同理 DG＝DF，∴DE＝DG，∴点 D 在 ∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分 线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时， 往往过角平分线上的一点作角两边的垂线 段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 【类型四】 线段垂直平分线与角平分 线的综合运用 如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边 的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相 等 的 线 段 ； (2) 由 条 件 可 证 明 △AOC≌△AOD，可得 AO 平分∠DAC，根 据角平分线的性质可得 OE＝OF. 解：(1)∵AB、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD，AO＝OB，且 AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下：在△AOC 和 △AOD 中，∵ AC＝AD， OC＝OD， AO＝AO， ∴△AOC≌△
AOD(SSS) ∠CA0=∠DAO.又 ∴OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF 方法总结:本题是线段垂直平分线的性 质和角平分线的性质的综合,掌握它们的适 用条件和表示方法是解题的关键 板书设计 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等 2.角平分线的判定定理 在一个角的内部,到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上 教学反思 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流 等教学方法,从而有效地增强了学生对角以 及角平分线的性质的感性认识,提高了学生 对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学 效果较好,学生对所学的新知识掌握较好, 达到了教学的目的.不足之处是少数学生在 性质的运用上还存在问题,需要在今后的教 学与作业中进一步的加强巩固和训练
AOD(SSS) ， ∴ ∠ CAO ＝ ∠DAO. 又 ∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF. 方法总结：本题是线段垂直平分线的性 质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适 用条件和表示方法是解题的关键． 三、板书设计 1．角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等． 2．角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上． 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流 等教学方法，从而有效地增强了学生对角以 及角平分线的性质的感性认识，提高了学生 对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学 效果较好，学生对所学的新知识掌握较好， 达到了教学的目的．不足之处是少数学生在 性质的运用上还存在问题，需要在今后的教 学与作业中进一步的加强巩固和训练