第2课时等边三角形的性质 学习目标 以△BEC≌△CDB,所以BD=CE,所以AB BD=AC-CE,即AD=AE,所以∠ADE 1.进一步学习等腰三角形的相关性质,=∠AED又因为∠A是△ADE和△ABC的 了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上顶角,所以∠ADE=∠ABC,所以DE∥BC 的高,中线)的性质: 2.学习等边三角形的性质,并能够运 方法总结:等腰三角形两底角的平分线 用其解决问题.(重点、难点) 相等两腰上的中线相等,两腰上的高相等. 探究点二:等边三角形的相关性质 教学过程 【类型一】利用等边三角形的性质求 角度 、情境导入 我们欣赏下列两个建筑物(如图),图中 的三角形是什么样的特殊三角形?这样的 三角形我们是怎样定义的,有什么性质? 团2如图,△ABC是等边三角形,E 是AC上一点,D是BC延长线上一点,连 接BE,DE若∠ABE=40°,BE=DE,求 ∠CED的度数 天安门城楼 西安半坡博物馆 二、合作探究 解析:因为△ABC三个内角为60°,∠ 探究点一:等腰三角形两底角的平分线 (两腰上的高、中线)的相关性质 ABE=40°,求出∠EBC的度数,因为BE= DE,所以得到∠EBC=∠D,求出∠D的度 数,利用外角性质即可求出∠CED的度数 解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC ∠ACB=60°,∴∠ABE=40°,∴∠EBC 例1如图,在△ABC中,AB=AC,CD=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE ⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证: DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED= DE∥BC ∠ACB-∠D=40° 证明:因为AB=AC,所以∠ABC ∠ACB又因为CD⊥AB于点D,BE⊥AC于 方法总结:等边三角形是特殊的三角 点E,所以∠AEB=∠ADC=90°,所以 形,它的三个内角都是60°,这个性质常常 ∠ABE=∠ACD,所以∠ABC-∠ABE ∠ACB-∠ACD,所以∠EBC=∠DCB在 应用在求三角形角度的问题上,所以必须熟 ∠BEC=∠CDB, △BEC与△CDB中,{∠EBC=∠DCB,所练掌握 BC=CB
第 2 课时 等边三角形的性质 1．进一步学习等腰三角形的相关性质， 了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上 的高，中线)的性质； 2．学习等边三角形的性质，并能够运 用其解决问题．(重点、难点) 一、情境导入 我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中 的三角形是什么样的特殊三角形？这样的 三角形我们是怎样定义的，有什么性质？ 二、合作探究 探究点一：等腰三角形两底角的平分线 (两腰上的高、中线)的相关性质 如图，在△ABC 中，AB＝AC，CD ⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，求证： DE∥BC. 证明：因为 AB＝AC，所以∠ABC＝ ∠ACB.又因为 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于 点 E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以 ∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE ＝ ∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在 △BEC 与△CDB 中， ∠BEC＝∠CDB， ∠EBC＝∠DCB， BC＝CB， 所 以△BEC≌△CDB，所以 BD＝CE，所以 AB －BD＝AC－CE，即 AD＝AE，所以∠ADE ＝∠AED.又因为∠A 是△ADE 和△ABC 的 顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以 DE∥BC. 方法总结：等腰三角形两底角的平分线 相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 探究点二：等边三角形的相关性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求 角度 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连 接 BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求 ∠CED 的度数． 解析：因为△ABC 三个内角为 60°，∠ ABE＝40°，求出∠EBC 的度数，因为 BE＝ DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D 的度 数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝ ∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角 形，它的三个内角都是 60°，这个性质常常 应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟 练掌握．
【类型二】利用等边三角形的性质证的度数 明线段相等 解析:先根据已知条件利用SAS判定△ ABM≌△BCN,再根据全等三角形的性质求 3如图:已知等边△ABC中,D是 得∠AQN=∠ABC=60 AC的中点,E是BC延长线上的一点,且 解:∵△ABC为正三角形,∴∠ABC CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:BM∠C=∠BAC=60°,AB=BC在△AMB和 =EM AB=BC 解析:要证BM=EM,由题意证△BNC中,∠ABC=∠C,∴△AMB≌ BM=CN. △BDM≌△EDM即可 △ BNC(SAS), 证明:连接BD,∵在等边△ABC中, ∠BAM=∠CBN,∴∠BQM=∠ABQ D是AC的中点,∴∠DBC=∠ABC= +∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC= 0°=30°,∠ACB=60°∵CE=CD ∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E 方法总结:等边三角形与全等三角形的 ∠E=30°,∵∠DBC=∠E=30°∵DM⊥ BC,∴∠DMB=∠DME=90°,在△DMB综合运用,一般是利用等边三角形的性质探 ∠DMB=∠DME 究三角形全等 和△DME中,{∠DBM=∠E 三、板书设计 DM=DM, 等腰三角形两底角的平分线(两腰上 DME≌△DMB.∴BM=EM 的高、中线)的相关性质 方法总结:证明线段相等可利用三角形 等腰三角形两底角的平分线相等 等腰三角形两腰上的高相等 全等得到还应明白等边三角形是特殊的等 等腰三角形两腰上的中线相等 2.等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等,并且每 腰三角形,所以等腰三角形的性质完全适合个角都等于60° 等边三角形 数学反思 【类型三】等边三角形的性质与全等本节课让学生在认识等腰三角形的基础上 三角形的综合运用 进一步认识等边三角形.学习等边三角形的 定义、性质.让学生在探索图形特征以及相 关结论的活动中,进一步培养空间观念,锻 炼思维能力.让学生在学习活动中,进一步 产生对数学的好奇心,增强动手能力和创新 意识 4△ABC为正三角形,点M是边BC 上任意一点,点N是边CA上任意一点,且 BM=CN,BN与AM相交于Q点,求∠BQM
【类型二】 利用等边三角形的性质证 明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且 CE＝CD，DM⊥BC，垂足为 M，求证：BM ＝EM. 解析： 要 证 BM ＝EM ，由题意证 △BDM≌△EDM 即可． 证明：连接 BD，∵在等边△ABC 中， D 是 AC 的中点，∴∠DBC＝ 1 2 ∠ABC＝ 1 2 × 60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴ ∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴ ∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥ BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB 和 △DME 中 ， ∠DMB＝∠DME， ∠DBM＝∠E， DM＝DM， ∴ △ DME≌△DMB.∴BM＝EM. 方法总结：证明线段相等可利用三角形 全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等 腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合 等边三角形． 【类型三】 等边三角形的性质与全等 三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点 M 是边 BC 上任意一点，点 N 是边 CA 上任意一点，且 BM＝CN，BN 与 AM 相交于 Q 点，求∠BQM 的度数． 解析：先根据已知条件利用 SAS 判定△ ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求 得∠AQN＝∠ABC＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC＝ ∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB 和 △BNC 中，∵ AB＝BC， ∠ABC＝∠C， BM＝CN， ∴△AMB≌ △BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ ＋ ∠BAM ＝ ∠ABQ ＋ ∠CBN ＝ ∠ABC ＝ 60°. 方法总结：等边三角形与全等三角形的 综合运用，一般是利用等边三角形的性质探 究三角形全等． 三、板书设计 1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上 的高、中线)的相关性质 等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的高相等； 等腰三角形两腰上的中线相等． 2．等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每 个角都等于 60°. 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上， 进一步认识等边三角形．学习等边三角形的 定义、性质．让学生在探索图形特征以及相 关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻 炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步 产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新 意识
