第2课时直角三角形全等的判定 学目标一 为直角三角形,由BE=CF可得BF=CE 1.理解并掌握三角形全等的判定方法 “斜边、直角边”:(重点) 然后运用HL即可判定R△ABF与Rt△DCE 2.经历探究“斜边、直角边”判定方 法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方全等 法解决有关问题.(难点) 证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+ ABF与△DCE都为直角三角形.在R△ABF 教学过程 和Rt△DCE中,∵ jBF=CE, 、情境导入 LAB=CD, 舞台背景的形状是两个直角三角形,工 ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL) 作人员想知道这两个直角三角形是否全等 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住 方法总结:利用HL”判定三角形全等, 无法测量 (1)你能帮他想个办法吗? 首先要判定这两个三角形是直角三角形,然 (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个 任务吗? 后找出对应的斜边和直角边相等即可 工作人员测量了每个三角形没有被遮 【类型二】利用”证明线段相等 住的直角边和斜边,发现它们分别对应相 例2如图,已知AD,AF分别是两个 等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF 的”,你相信他的结论吗? AC=AE求证:BC=BE. 作探究 探究点:直角三角形全等的判定 解析:根据H”证Rt△ADC≌Rt△AFE, 类型-】应用H”证明三角形全得CD=EF,再根据H"证R△ ABDERt△ 等 例1如图,已知∠A=∠D=90°,E F在线段BC上,DE与AF交于点O,且 ABF,得BD=BF,最后证明BC=BE AB=CD, BE=CF 证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC 求证:Rt△ABF≌Rt△DCE 和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,∴ Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF∵AD AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△ ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF 即BC=BE 解析:由题意可得△ABF与△DCE都 方法总结:证明线段相等可通过证明三
第 2 课时 直角三角形全等的判定 1．理解并掌握三角形全等的判定方法 ——“斜边、直角边”；(重点) 2．经历探究“斜边、直角边”判定方 法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方 法解决有关问题．(难点) 一、情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，工 作人员想知道这两个直角三角形是否全等， 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住 无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个 任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮 住的直角边和斜边，发现它们分别对应相 等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等 的”，你相信他的结论吗？ 二、合作探究 探究点：直角三角形全等的判定 【类型一】 应用“HL”证明三角形全 等 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、 F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O，且 AB＝CD，BE＝CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都 为直角三角形，由 BE＝CF 可得 BF＝CE， 然后运用“HL”即可判定 Rt△ABF 与 Rt△DCE 全等． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋ EF，即 BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ ABF 与△DCE 都为直角三角形．在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中，∵ BF＝CE， AB＝CD， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 方法总结：利用“HL”判定三角形全等， 首先要判定这两个三角形是直角三角形，然 后找出对应的斜边和直角边相等即可． 【类型二】 利用“HL”证明线段相等 如图，已知 AD，AF 分别是两个 钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF， AC＝AE.求证：BC＝BE. 解析：根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△AFE， 得 CD＝EF，再根据“HL”证 Rt△ABD≌Rt△ ABF，得 BD＝BF，最后证明 BC＝BE. 证明：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，∴ Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF. 即 BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三
角形全等解决.直角三角形的判定方法最R△CBA,此时AP=BC=10,可据此求出P 多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已点的位置,② RtAgAP≌Rt△BCA,此时AP= 知条件 AC,P、C重合,不合题意 【类型三】利用H”证明角相等 解:根据三角形全等的判定方法HL可 圆例3如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB 知:①当P运动到AP=BC时,∵∠C AD,求证:∠1=∠2 ∠QAP=90°,∴在Rt△ABC与Rt△QPA 中,AP=BC,PQ=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ QPA(HL),即AP=BC=10;②当P运动到 与C点重合时,AP=AC,不合题意.综上 所述,当点P运动到距离点A为10时,△ ABC与△APQ全等 方法总结:判定三角形全等的关键是找 解析:要证角相等,可先证明全等.即 对应边和对应角,由于本题没有说明全等三 证Rt△ABC≌R△ADC,进而得出角相等 角形的对应边和对应角,因此要分类讨论 证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B ∠D=90°,∴△ABC与△ACD为直角三角 形.在Rt△ABC和Rt△ADC中, 以免漏解 JAB=AD 【类型五】综合运用全等三角形的判 Lc=AC,R△BC≌R△ADOH,∴方法判定直角三角形全等 例5如图,CD⊥AB于D点,BE⊥AC ∠1=∠2 于E点,BE,CD交于O点,且AO平分∠BAC. 方法总结:证明角相等可通过证明三角 求证:OB=OC 形全等解决 【类型四】利用HL”解决动点问题 解析:已知BE⊥AC,CD⊥AB可推出 ∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°由 例4如图,在直角三角形ABC中,∠ AO平分∠BAC可知∠1=∠2,然后根据 =90°,AC=20,BC=10,PQ=AB.P, Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC 的射线AM上运动,且点P不与点A,C重AAS证得△AOD≌△AOE,△BOD△COE, 合.那么当点P运动到什么位置时,才能使 △ABC与△APQ全等? 即可证得OB=OC 解析:本题要分情况讨论:①Rt△APQ≌ 证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC ∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°∵A0平
角形全等解决．直角三角形的判定方法最 多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已 知条件． 【类型三】 利用“HL”证明角相等 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝ AD，求证：∠1＝∠2. 解析：要证角相等，可先证明全等．即 证 Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝ ∠D＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角 形．在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，∵ AB＝AD， AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴ ∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角 形全等解决． 【类型四】 利用“HL”解决动点问题 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P， Q两点分别在线段AC和过点A 且垂直于AC 的射线 AM 上运动，且点 P 不与点 A，C 重 合．那么当点 P 运动到什么位置时，才能使 △ABC 与△APQ 全等？ 解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌ Rt△CBA，此时 AP＝BC＝10，可据此求出 P 点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时 AP＝ AC，P、C 重合，不合题意． 解：根据三角形全等的判定方法 HL 可 知：①当 P 运动到 AP＝BC 时，∵∠C＝ ∠QAP＝90°，∴在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△ QPA(HL)，即 AP＝BC＝10；②当 P 运动到 与 C 点重合时，AP＝AC，不合题意．综上 所述，当点 P 运动到距离点 A 为 10 时，△ ABC 与△APQ 全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找 对应边和对应角，由于本题没有说明全等三 角形的对应边和对应角，因此要分类讨论， 以免漏解． 【类型五】 综合运用全等三角形的判 定方法判定直角三角形全等 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于E 点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC. 求证：OB＝OC. 解析：已知 BE⊥AC，CD⊥AB 可推出 ∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由 AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据 AAS 证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE， 即可证得 OB＝OC. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC ＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO 平
分∠BAC,∴∠1=∠2在△AOD和△AOE ∠ADC=∠AEB, OA=OA. ∴△AOD≌△AOE(AAS),∵OD=OE 在△BOD和△COE中 ∠BDC=∠CEB ∴△BOD≌△ ∠BOD=∠COE COE(ASA).∴OB=OC 方法总结:判定直角三角形全等的方法 除H”外,还有SSS、SAS、ASA、AAS 板书设计 1.作直角三角形 2.直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直 角三角形全等 数学反思 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究 以及合作交流等方式来进行.在探究直角三 角形全等的判定方法—“斜边、直角边” 时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的 等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角 形中,利用三角形全等来进行证明.此外, 还要注重通过适量的练习巩固所学的新知
分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵ ∠ADC＝∠AEB， ∠1＝∠2， OA＝OA， ∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴OD＝OE. 在 △BOD 和 △COE 中 ， ∵ ∠BDC＝∠CEB， OD＝OE， ∠BOD＝∠COE， ∴ △ BOD ≌ △ COE(ASA)．∴OB＝OC. 方法总结：判定直角三角形全等的方法 除“HL”外，还有 SSS、SAS、ASA、AAS. 三、板书设计 1．作直角三角形 2．直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直 角三角形全等． 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究 以及合作交流等方式来进行．在探究直角三 角形全等的判定方法——“斜边、直角边” 时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的 等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角 形中，利用三角形全等来进行证明．此外， 还要注重通过适量的练习巩固所学的新知 识