1.1等腰三角形 第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质 学目标 案.A∠1=∠2,AD为公共边,若BD 复习全等三角形的判定定理及相关 性质 CD则△ABD≌△ACD(SAS)B.∠1=∠2 2.理解并掌握等腰三角形的性质定理 及推论,能够运用其解决简单的几何问AD为公共边,若AB=AC,不符合全等三 题.(重点,难点) 角形判定定理,不能判定△ABD≌△ACD 数学心程 一、情境导入 C∴∠1=∠2,AD为公共边,若∠B=∠C, 探究:如图所示,把一张长方形的纸按 照图中虚线对折并减去阴影部分,再把它展则△ABD≌△ACD(AAS):D:∠1=∠2,AD 开得到的△ABC有什么特点? 为公共边,若∠BAD=∠CAD,则 △ABD≌△ACD(ASA);故选B 方法总结:判定两个三角形全等的一般 、合作探究 方法有SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA 探究点一:全等三角形的判定和性质 【类型一】全等三角形的判定 例如图,已知∠1=22,则不一定SSA不能判定两个三角形全等判定两个三 能使△ABD≌△ACD的条件是() 角形全等时,必须有边的参与,若有两边一 角对应相等时,角必须是两边的夹角 【类型二】全等三角形的性质 A. BD=CD B. AB=AC C.∠B=∠C 例2如图,△ABC≌△CDA,并且AB D.∠BAD=∠CAD CD,那么下列结论错误的是() 解析:利用全等三角形判定定理ASA A.∠1=∠2B.AC=CA C.∠D=∠BD.AC=BC SAS,AAS对各个选项逐一分析即可得出答 解析:由△ABC≌△CDA,并且AB=
1．1 等腰三角形 第 1 课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 1．复习全等三角形的判定定理及相关 性质； 2．理解并掌握等腰三角形的性质定理 及推论，能够运用其解决简单的几何问 题．(重点，难点) 一、情境导入 探究：如图所示，把一张长方形的纸按 照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展 开得到的△ABC 有什么特点？ 二、合作探究 探究点一：全等三角形的判定和性质 【类型一】 全等三角形的判定 如图，已知∠1＝∠2，则不一定 能使△ABD≌△ACD 的条件是( ) A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BAD＝∠CAD 解析：利用全等三角形判定定理 ASA， SAS，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答 案．A.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若 BD＝ CD，则△ABD≌△ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2， AD 为公共边，若 AB＝AC，不符合全等三 角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD； C.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若∠B＝∠C， 则△ABD≌△ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD 为公共边 ， 若 ∠BAD ＝ ∠CAD ， 则 △ABD≌△ACD(ASA)；故选 B. 方法总结：判定两个三角形全等的一般 方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意 AAA、 SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三 角形全等时，必须有边的参与，若有两边一 角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【类型二】 全等三角形的性质 如图，△ABC≌△CDA，并且 AB ＝CD，那么下列结论错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠D＝∠B D．AC＝BC 解析：由△ABC≌△CDA，并且 AB＝
CD,AC和CA是公共边,可知∠1和∠2 ∠D,∴∠BCD=280°÷2=140°,故选C ∠D和∠B是对应角.全等三角形的对应角 方法总结:求角的度数时,①在等腰三 相等,对应边相等,因而前三个选项一定正角形中,一定要考虑三角形内角和定理;② 确.AC和BC不是对应边,不一定相有平行线时,要考虑平行线的性质:两直线 等.∴△ABC≌△CDA,AB=CD,∴∠1和平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角 2,∠D和∠B是对应角,∵∠1=∠2,∠D互补;③两条相交直线中,对顶角相等,互 ∠B,∴AC和CA是对应边,而不是BC,为邻补角的两角之和等于18 A、B、C正确,错误的结论是D故选D. 【类型二】分类过论思想在等腰三鱼 形求角度中的运用 例4等腰三角形的一个角等于30°, 方法总结:本题主要考查了全等三角形求它的顶角的度数 的性质;根据已知条件正确确定对应边、对 解析:本题可根据等腰三角形的性质和 应角是解决本题的关键 三角形内角和定理求解,由于本题中没有明 探究点二:等边对等角 【类型一】运用“等边对等角”求鱼确30角是顶角还是底角因此要分类讨论 的度数 解:①当底角是30°时,顶角的度数为 180°-2×30°=120 ②顶角即为30 因此等腰三角形的顶角的度数为30°或 120° 例3]如图,AB=AC=AD,若∠BAD 方法总结:已知的一个锐角可以是等腰 =80°,则∠BCD=() A.80° B.100° C.140 D.160° 三角形的顶角,也可以是底角;一个钝角只 解析:先根据已知和四边形的内角和为能是等腰三角形的顶角.分类讨论是正确解 360°,可求∠B+∠BCD+∠D的度数,再答本题的关键 根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB,∠ 探究点三:三线合 【类型一】利用等腰三角形“三线合 ACD=∠D,从而得到∠BCD的 值∴∵∠BAD=80°,∠B+∠BCD+∠D= 280°AB=AC=AD,∠B=∠ACB,∠ACD
CD，AC 和 CA 是公共边，可知∠1 和∠2， ∠D 和∠B 是对应角．全等三角形的对应角 相等，对应边相等，因而前三个选项一定正 确．AC 和 BC 不是对应边，不一定相 等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1 和 ∠2，∠D 和∠B 是对应角，∴∠1＝∠2，∠D ＝∠B，∴AC 和 CA 是对应边，而不是 BC， ∴A、B、C 正确，错误的结论是 D.故选 D. 方法总结：本题主要考查了全等三角形 的性质；根据已知条件正确确定对应边、对 应角是解决本题的关键． 探究点二：等边对等角 【类型一】 运用“等边对等角”求角 的度数 如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD ＝80°，则∠BCD＝( ) A．80° B．100° C．140° D．160° 解析：先根据已知和四边形的内角和为 360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D 的度数，再 根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ ACD ＝ ∠D ， 从而得到 ∠BCD 的 值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝ 280°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD ＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选 C. 方法总结：求角的度数时，①在等腰三 角形中，一定要考虑三角形内角和定理；② 有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线 平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角 互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互 为邻补角的两角之和等于 180°. 【类型二】 分类讨论思想在等腰三角 形求角度中的运用 等腰三角形的一个角等于 30°， 求它的顶角的度数． 解析：本题可根据等腰三角形的性质和 三角形内角和定理求解，由于本题中没有明 确 30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 解：①当底角是 30°时，顶角的度数为 180°－2×30°＝120°； ②顶角即为 30°. 因此等腰三角形的顶角的度数为 30°或 120°. 方法总结：已知的一个锐角可以是等腰 三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只 能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解 答本题的关键． 探究点三：三线合一 【类型一】 利用等腰三角形“三线合 一”进行计算
D 圆5如图,在△ABC中,已知AB=AC 圆6如图,△ABC中,AB=AC,D为 ∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠AC上任意一点,延长BA到E使得AE=AD, ADC=125°求∠ACB和∠BAC的度数 连接DE,求证:DE⊥BC 解析:根据等腰三角形三线合一的性质 解析:作AF∥DE,交BC于点F利用 可得AE⊥BC,再求出∠CDE,然后根据直等边对等角及平行线的性质证明∠BAF 角三角形两锐角互余求出∠DCE,根据角平AC在△ABC中由“三线合一”得AF⊥ 分线的定义求出∠ACB,再根据等腰三角形BC再结合AF∥DE可得出结论 两底角相等列式进行计算即可求出∠BA 证明:过点A作AF∥DE,交BC于点 F 解:∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE ∵∴AE=AD,∴∠E=∠ADE ⊥BC.∴∠ADC=125°,∴∠CDE=55° ∵AF∥DE,∴∠E=∠BAF,∠EC= ∴∠DCE=90°-∠CDE=35°又∵CD平∠ADE 分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70°又 ∠BAF=∠FAC AB=AC,∴∠B=∠ACB=70° 又∵AB=AC,∴AF⊥BC BAC=180-(∠B+∠ACB)=40° AF∥DE,∴DE⊥BC 方法总结:利用等腰三角形“三线合 方法总结:利用等腰三角形“三线合 ”的性质进行计算,有两种类型:一是求一”得出结论时,先必须已知一个条件,这 边长,求边长时应利用等腰三角形的底边上个条件可以是等腰三角形底边上的高,可以 的中线与其他两线互相重合;二是求角度的是底边上的中线,也可以是顶角的平分 大小,求角度时,应利用等腰三角形的顶角线.解题时,一般要用到其中的两条线互相 的平分线或底边上的高与其他两线互相重重合 三、板书设计 全等三角形的判定和性质 【类型二】利用等腰三角形“三线合 2.等腰三角形的性质:等边对等角 三线合一:在等腰三角形的底边上 的高、中线、顶角的平分线中,只要知道其 中一个条件,就能得出另外的两个结论 数学反思
如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC， ∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，∠ ADC＝125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数． 解析：根据等腰三角形三线合一的性质 可得 AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直 角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平 分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形 两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC. 解：∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，∴AE ⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°， ∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平 分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠ BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°. 方法总结：利用等腰三角形“三线合 一”的性质进行计算，有两种类型：一是求 边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上 的中线与其他两线互相重合；二是求角度的 大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角 的平分线或底边上的高与其他两线互相重 合． 【类型二】 利用等腰三角形“三线合 一”进行证明 如图，△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 上任意一点，延长 BA 到 E 使得 AE＝AD， 连接 DE，求证：DE⊥BC. 解析：作 AF∥DE，交 BC 于点 F.利用 等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝ ∠FAC.在△ABC 中由“三线合一”得 AF⊥ BC.再结合 AF∥DE 可得出结论． 证明：过点 A 作 AF∥DE，交 BC 于点 F. ∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE. ∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝ ∠ADE. ∴∠BAF＝∠FAC. 又∵AB＝AC，∴AF⊥BC. ∵AF∥DE，∴DE⊥BC. 方法总结：利用等腰三角形“三线合 一”得出结论时，先必须已知一个条件，这 个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以 是底边上的中线，也可以是顶角的平分 线．解题时，一般要用到其中的两条线互相 重合． 三、板书设计 1．全等三角形的判定和性质 2．等腰三角形的性质：等边对等角 3．三线合一：在等腰三角形的底边上 的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其 中一个条件，就能得出另外的两个结论．
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之 等教学方法,有效地增强了学生的感性认处是少数学生对等腰三角形的“三线合 识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因 性质理解不透彻,还需要在今后的教学 而本节课的教学效果较好,学生对所学的新和作业中进一步巩固和提高
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流 等教学方法，有效地增强了学生的感性认 识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因 而本节课的教学效果较好，学生对所学的新 知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之 处是少数学生对等腰三角形的“三线合 一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学 和作业中进一步巩固和提高