第3课时等腰三角形的判定与反证法 学目标一 解析:共有5个.(1)∵AB=AC∴△ABC 1.掌握等腰三角形的判定定理并学会是等腰三角形:(2)∵BD、CE分别是∠AB 运用;(重点) 2.理解并掌握反证法的思想,能够运BCD的角平分线,:∠EBC=∠ABC,∠ 用反证法进行证明 ECB=∠BCD∴△ABC是等腰三角形,∠ 数学过程 EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形; 、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流 (3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB 的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)为目 标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小 2(180°-36°)=72又∵BD是∠ABC的角 旗作标志,沿南偏东60度方向走一段距离 到C处时,测得∠ACB为30度,这时,地平分线,∠ABD=∠ABC=36°=∠A,…△ 质专家测得BC的长度是50米,就可知河 流宽度是50米 ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和 △BCD也是等腰三角形.故选A 方法总结:确定等腰三角形的个数要先 同学们,你们想知道这样估测河流宽度 的根据是什么吗?他是怎么知道BC的长度找出相等的边和相等的角然后确定等腰三 是等于河流宽度的呢?今天我们就要学习 等腰三角形的判定 角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形 二、合作探究 探究点一:等腰三角形的判定(等角对的个数 等边) 【类型二】判定一个三角形是等腰三 【类型一】确定等腰三角形的个数角形 1如图,在△ABC中,AB=A 囹2如图,在△ABC中,∠ACB= A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的 的角平分线,则图中的等腰三角形有( 角平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF A.5个B.4个 是等腰三角形 C.3个D.2个 解析:根据直角三角形两锐角互余求得
第 3 课时 等腰三角形的判定与反证法 1．掌握等腰三角形的判定定理并学会 运用；(重点) 2．理解并掌握反证法的思想，能够运 用反证法进行证明． 一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流 的宽度，选择河流北岸上一棵树(A 点)为目 标，然后在这棵树的正南方南岸 B 点插一小 旗作标志，沿南偏东 60 度方向走一段距离 到 C 处时，测得∠ACB 为 30 度，这时，地 质专家测得 BC 的长度是 50 米，就可知河 流宽度是 50 米． 同学们，你们想知道这样估测河流宽度 的根据是什么吗？他是怎么知道 BC 的长度 是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习 等腰三角形的判定． 二、合作探究 探究点一：等腰三角形的判定(等角对 等边) 【类型一】 确定等腰三角形的个数 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 解析：共有 5 个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD、CE 分别是∠ABC、 ∠BCD 的角平分线，∴∠EBC＝ 1 2 ∠ABC，∠ ECB＝ 1 2 ∠BCD.∵△ABC 是等腰三角形，∴∠ EBC＝∠ECB，∴ △BCE 是等腰三角形； (3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB ＝ 1 2 (180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角 平分线，∴∠ABD＝ 1 2 ∠ABC＝36°＝∠A，∴△ ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和 △BCD 也是等腰三角形．故选 A. 方法总结：确定等腰三角形的个数要先 找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三 角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形 的个数． 【类型二】 判定一个三角形是等腰三 角形 如图，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的 角平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形． 解析：根据直角三角形两锐角互余求得
∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定 质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求理和平角的定义求出∠B=∠DEF 得CE=CF从而求得△CEF是等腰三角形 (1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C在 BD=cE, 解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴ ∠B+∠BAC=90°∵CD是AB边上的高, △BDE和△CEF中,:∠B=∠C,∴△ ∴∠ACD+∠BAC=90° ∠B BE=CF ∠ACD.∵∴AE是∠BAC的角平分线,∴∠BDE≌△CEF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠AEC,∠是等腰三角形 ACD+∠EAC=∠CFE,即∠CEF=∠CFE, (2)解:∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE= ∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形. ∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+ 方法总结:“等角对等边”是判定等腰 ∠BDE.∵∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF, ∠B=∠DEF.∠A=50°,AB=AC,∴ 三角形的重要依据,是先有角相等再有边相∠B=7×(180-50°)=65°,∴∠DEF= 等,只限于在同一个三角形中,若在两个不 方法总结:等腰三角形提供了好多相等 同的三角形中,此结论不一定成立 类型三】等腰三角形性质和判定的的线段和相等的角判定三角形是等腰三角 综合运用 形是证明线段相等、角相等的重要手段 探究点二:反证法 【类型一】假设 囹4用反证法证明命题“三角形中必 有一个内角小于或等于60°”时,首先应假 3如图,在△ABC中,AB=AC,点设这个三角形中() D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE A.有一个内角大于60° =CF, BD=CE B.有一个内角小于60° (1)求证:△DEF是等腰三角形 C.每一个内角都大于60° (2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数 D.每一个内角都小于60° 解析:(1)根据等边对等角可得∠B= 解析:用反证法证明命题时,应先假设 ∠C,利用“边角边”证明△BDE和△CEF结论不成立,所以可先假设三角形中每一个 全等,根据全等三角形对应边相等可得DE内角都不小于或等于60°,即都大于60°故 EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;选C (2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE 方法总结:在假设结论不成立时,要注 =∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=意考虑结论的反面所有可能的情况,必须把
∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性 质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求 得CE＝CF，从而求得△CEF 是等腰三角形． 解：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∴ ∠B＋∠BAC＝90°.∵CD 是 AB 边上的高， ∴ ∠ ACD ＋ ∠BAC ＝ 90 ° ， ∴ ∠ B ＝ ∠ACD.∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠ BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF 是等腰三角形． 方法总结：“等角对等边”是判定等腰 三角形的重要依据，是先有角相等再有边相 等，只限于在同一个三角形中，若在两个不 同的三角形中，此结论不一定成立． 【类型三】 等腰三角形性质和判定的 综合运用 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE ＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠A＝50°时，求∠DEF 的度数． 解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝ ∠C，利用“边角边”证明△BDE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 DE ＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可； (2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝ ∠CEF ， 然后求出 ∠BED ＋ ∠CEF ＝ ∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定 理和平角的定义求出∠B＝∠DEF. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在 △BDE 和△CEF 中，∵ BD＝CE， ∠B＝∠C， BE＝CF， ∴△ BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF 是等腰三角形； (2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝ ∠CEF ， ∴ ∠ BED ＋ ∠CEF ＝ ∠BED ＋ ∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF， ∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴ ∠B＝ 1 2 ×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝ 65°. 方法总结：等腰三角形提供了好多相等 的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角 形是证明线段相等、角相等的重要手段． 探究点二：反证法 【类型一】 假设 用反证法证明命题“三角形中必 有一个内角小于或等于 60°”时，首先应假 设这个三角形中( ) A．有一个内角大于 60° B．有一个内角小于 60° C．每一个内角都大于 60° D．每一个内角都小于 60° 解析：用反证法证明命题时，应先假设 结论不成立，所以可先假设三角形中每一个 内角都不小于或等于 60°，即都大于 60°.故 选 C. 方法总结：在假设结论不成立时，要注 意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把
论成立所需要的条件.要特别注意的是,不 它全部否定 要遗漏题目中的已知条件.解题时学会分 【类型二】用反证法证明一个命题 析,可以采用执果索因(从结论出发,探寻 5求证:△ABC中不能有两个钝角.结论成立所需的条件)的方法 解析:用反证法证明,假设△ABC中能 有两个钝角,得出的结论与三角形的内角和 定理相矛盾,所以原命题正确 证明:假设△ABC中能有两个钝角,即 ∠A180°,与三角 形的内角和为180°矛盾,所以假设不成立 因此原命题正确,即△ABC中不能有两个钝 角 方法总结:本题结合三角形内角和定理 考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意 义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不 成立;(2从假设出发推出矛盾;(3)假设不 成立,则结论成立在假设结论不成立时要 注意考虑结论的反面所有可能的情况.如果 只有一种,那么否定一种就可以了,如果有 多种情况,则必须—否定 板书设计 1.等腰三角形的判定定理:有两个角 相等的三角形是等腰三角形(等角对等边 2.反证法 (1)假设结论不成立 (2)从假设出发推出矛盾; (3)假设不成立,则结论成立 教学反思 解决几何证明题时,应结合图形,联想我们 已学过的定义、公理、定理等知识,寻找结
它全部否定． 【类型二】 用反证法证明一个命题 求证：△ABC 中不能有两个钝角． 解析：用反证法证明，假设△ABC 中能 有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和 定理相矛盾，所以原命题正确． 证明：假设△ABC 中能有两个钝角，即 ∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°， 所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角 形的内角和为 180°矛盾，所以假设不成立， 因此原命题正确，即△ABC 中不能有两个钝 角． 方法总结：本题结合三角形内角和定理 考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意 义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不 成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不 成立，则结论成立．在假设结论不成立时要 注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果 只有一种，那么否定一种就可以了，如果有 多种情况，则必须一一否定． 三、板书设计 1．等腰三角形的判定定理：有两个角 相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)． 2．反证法 (1)假设结论不成立； (2)从假设出发推出矛盾； (3)假设不成立，则结论成立． 解决几何证明题时，应结合图形，联想我们 已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结 论成立所需要的条件．要特别注意的是，不 要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分 析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻 结论成立所需的条件)的方法