第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性 质 学同目标 方法总结:(1几个非负数的和为零,那 1.学习并掌握等边三角形的判定方法, 能够运用等边三角形的性质和判定解决问 么每一个非负数都等于零(2)有两边相等的 题:(重点、难点) 2.理解并掌握含30°角直角三角形的 三角形是等腰三角形,三边都相等的三角形 性质,能灵活运用其解决有关问题.(难点 是等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三 角形 数学过程 【类型二】三个角都是60°的三角形 情境导入 等边三角形 观察下面图形 师:等腰三角形中有一种特殊的三角 2如图,在等边△ABC中,∠ABC 形,你知道是什么三角形吗? 与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB, 生:等边三角形 OE∥AC试判定△ODE的形状,并说明你的 师:对,等边三角形具有和谐的对称理由 美.今天我们来学习等边三角形,引出课题 二、合作探究 解析:根据平行线的性质及等边三角形 探究点一:等边三角形的判定 【类型一】三边都相等的三角形是等 的性质可得∠ODE=∠OED=60°,再根据 边三角 自形 例1己知a,b,c是△ABC的三边 三角形内角和定理得∠DOE=60°,从而可 且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试说 明△ABC是等边三角形 得△ODE是等边三角形 解析:把已知的关系式化为两个完全平 解:△ODE是等边三角形 理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴ ∠ABC=∠ACB=60° 方的和等于0的形式求解 ∵OD∥AB,OE∥AC,∴∠ODE 解:移项得a2+c2-2ab-2bc+2b2=0,∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60 a2+b2-2ab+c2-2bc+b2=0 ∴∠DOE=1 ∠ODE-∠OED ∴(a-b)2+(b-c)2=0, 180°-60°-60°=60° ∴a-b=0且b-c=0,即a=b且b=c ∴∠DOE=∠ODE=∠OED=60° ∴△ODE是等边三角形 故△ABC是等边三角形
第 4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性 质 1．学习并掌握等边三角形的判定方法， 能够运用等边三角形的性质和判定解决问 题；(重点、难点) 2．理解并掌握含 30°角直角三角形的 性质，能灵活运用其解决有关问题．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角 形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称 美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的判定 【类型一】 三边都相等的三角形是等 边三角形 已知 a，b，c 是△ABC 的三边， 且满足关系式 a 2＋c 2＝2ab＋2bc－2b 2，试说 明△ABC 是等边三角形． 解析：把已知的关系式化为两个完全平 方的和等于 0 的形式求解． 解：移项得 a 2＋c 2－2ab－2bc＋2b 2＝0， ∴a 2＋b 2－2ab＋c 2－2bc＋b 2＝0， ∴(a－b) 2＋(b－c) 2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b 且b＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 是等边三角形． 方法总结：(1)几个非负数的和为零，那 么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的 三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形 是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三 角形． 【类型二】 三个角都是 60°的三角形 是等边三角形 如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O，且OD∥AB， OE∥AC.试判定△ODE 的形状，并说明你的 理由． 解析：根据平行线的性质及等边三角形 的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据 三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可 得△ODE 是等边三角形． 解：△ODE 是等边三角形， 理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵OD∥AB ，OE ∥AC，∴∠ODE ＝ ∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°. ∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝ 180°－60°－60°＝60°. ∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°. ∴△ODE 是等边三角形．
方法总结:证明一个三角形是等边三角等,要证明这个三角形是等边三角形,有两 形时,如果较易求出角的度数,那么就可以种思考方法:①证明另一边也与这两边相 分别求出这个三角形的三个角都等于60°,等;②证明这个三角形中有一个角等于 从而判定这个三角形是等边三角形 60°(2)已知一个三角形中有一个角等于 【类型三】有一个角是60的等腰三60°,要证明这个三角形是等边三角形,有 角形是等边三角形 例的如图,在△EBD中,EB=ED,点两种思考方法:①证明另外两个角也等于 C在BD上,CE=CD,BE⊥CE,A是CE 延长线上一点,AB=BC试判断△ABC的形 状,并证明你的结论 60°;②证明这个三角形中有两边相等 探究点二:含30°角的直角三角形的性 质 【类型一】利用含30°角的直角三角 形的性质求线段长 解析:由于EB=ED,CE=CD,根据 等边对等角及三角形外角性质,可求得 ∠CBE=∠ECB再由BE⊥CE,根据三角形 例4如图,在Rt△ABC中,∠ACB 内角和定理,可求得∠ECB=60°又∵AB °,∠B=30°,CD是斜边AB上的高 AD=3cm,则AB的长度是() cm BC,从而得出△ABC是等边三角形 m B 6cm C 9cm D. 1 解:△ABC是等边三角形 解析:在 RteABC中,CD是斜边AB 理由如下:∵CE=CD,∠CED=∠D 又∵∠ECB=∠CED+∠D.∴∠ECB 上的高∴∠ADC=90°,∠ACD=∠B=309 2∠D BE=DE,∴∠CBE=∠D.∴∠ECB 在R△ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC 2∠CBE.∴∠CBE=∠ECB 中,AB=2AC=12cm.AB的长度是12cm ∵BE⊥CE,∴∠CEB=90 故选D 又∵∠ECB+∠CBE+∠CEB=180° ∠ECB+∠ECB+90°=180°,∴∠ECB 方法总结:运用含30°角的直角三角形 又∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形 的性质求线段长时,要分清线段所在的直角 方法总结:(1)已知一个三角形中两边相三角形
方法总结：证明一个三角形是等边三角 形时，如果较易求出角的度数，那么就可以 分别求出这个三角形的三个角都等于 60°， 从而判定这个三角形是等边三角形． 【类型三】 有一个角是 60°的等腰三 角形是等边三角形 如图，在△EBD 中，EB＝ED，点 C 在 BD 上，CE＝CD，BE⊥CE，A 是 CE 延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC 的形 状，并证明你的结论． 解析：由于 EB＝ED，CE＝CD，根据 等边对等角及三角形外角性质，可求得 ∠CBE＝ 1 2 ∠ECB.再由 BE⊥CE，根据三角形 内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝ BC，从而得出△ABC 是等边三角形． 解：△ABC 是等边三角形． 理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝ 2∠D. ∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB ＝2∠CBE.∴∠CBE＝ 1 2 ∠ECB. ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°. 又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°， ∴∠ECB＋ 1 2 ∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°. 又∵AB＝BC，∴△ABC 是等边三角形． 方法总结：(1)已知一个三角形中两边相 等，要证明这个三角形是等边三角形，有两 种思考方法：①证明另一边也与这两边相 等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2) 已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角形是等边三角形，有 两种思考方法：①证明另外两个角也等于 60°；②证明这个三角形中有两边相等． 探究点二：含 30°角的直角三角形的性 质 【类型一】 利用含 30°角的直角三角 形的性质求线段长 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高， AD＝3cm，则 AB 的长度是( ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12cm.∴AB 的长度是 12cm. 故选 D. 方法总结：运用含 30°角的直角三角形 的性质求线段长时，要分清线段所在的直角 三角形．
【类型二】与角平分线有关的综合运 三角形面积公式计算面积求解 例5如图,∠AOB=30°,OP平分 解:如图所示,过点B作BD⊥CA交 ∠AOB,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于CA的延长线于点D∴∠BAC=150°,∴∠ D,若PC=3,则PD等于() DAB=30°.∵AB=40m,∴BD=AB= A.3B.2 C.1.5D.1 20m,∴S△ABC=×50×20=500(m2).∵这 种草皮每平方米a元 共需要500a元 方法总结:解此题的关键在于作出CA 解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,边上的高,根据相关的性质求BD的长,正 PCOA,∠AOP=∠CPO,∴∠PCE 确的计算出△ABC的面积 ∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=30°又 三、板书设计 等边三角形的判定 三边都相等的三角形是等边三角形 ∵PC=3,PE=PC=×3=1.5∴∵∠AOP 个角都是60°的三角形是等边三角 ∠BOP,OP=OP,∠OEP=∠ODP:形 有一个角是60°的等腰三角形是等边 OPE△ODP,PD=PE=1.5故选C. 角形. 2.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角是 方法总结:含30°角的直角三角形与角 30°,那么它所对的直角边等于斜边的 平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助 半 数学反思 线构造含30°角的直角三角形 本节课借助于教学活动的展开,有效地激发 【类型三】利用含30°角的直角三角了学生的探究热情和学习兴趣,从而引导学 形解决实际问题 生通过自主探究以及合作交流等活动探究 囹6某市在“旧城改造”中计划在市并归纳出本节课所学的新知识,有助于学生 内一块如图所示的三角形空地上种植某种思维能力的提高.不足之处是部分学生综合 草皮以美化环境,已知AC=50m,AB=40m,运用知识解决问题的能力还有待于在今后 ∠BAC=150°,这种草皮每平方米的售价的教学和作业中进一步的训练得以提高 是a元,求购买这种草皮至少需要多少元? 解析:作BD⊥CA交CA的延长线于点 D在Rt△ABD中,利用30°角所对的直角边 是斜边的一半求BD,即△ABC的高.运用
【类型二】 与角平分线有关的综合运 用 如图，∠AOB＝30°，OP 平分 ∠AOB，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于( ) A．3 B．2 C．1.5 D．1 解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E， ∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝ ∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又 ∵PC＝3，∴PE＝ 1 2 PC＝ 1 2 ×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△ OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故选 C. 方法总结：含 30°角的直角三角形与角 平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助 线构造含 30°角的直角三角形． 【类型三】 利用含 30°角的直角三角 形解决实际问题 某市在“旧城改造”中计划在市 内一块如图所示的三角形空地上种植某种 草皮以美化环境，已知 AC＝50m，AB＝40m， ∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价 是 a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？ 解析：作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于点 D.在 Rt△ABD 中，利用 30°角所对的直角边 是斜边的一半求 BD，即△ABC 的高．运用 三角形面积公式计算面积求解． 解：如图所示，过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于点 D.∵∠BAC＝150°，∴∠ DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝ 1 2 AB＝ 20m，∴S△ABC＝ 1 2 ×50×20＝500(m2 )．∵这 种草皮每平方米 a 元，∴一共需要 500a 元． 方法总结：解此题的关键在于作出 CA 边上的高，根据相关的性质求 BD 的长，正 确的计算出△ABC 的面积． 三、板书设计 1．等边三角形的判定 三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是 60°的三角形是等边三角 形； 有一个角是 60°的等腰三角形是等边 三角形． 2．含 30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半． 本节课借助于教学活动的展开，有效地激发 了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学 生通过自主探究以及合作交流等活动探究 并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生 思维能力的提高．不足之处是部分学生综合 运用知识解决问题的能力还有待于在今后 的教学和作业中进一步的训练得以提高