1.2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 学习目标 中∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°,∠C 复习直角三角形的相关知识,归纳 并掌握直角三角形的性质和判定 90°,为直角三角形,同理,B,C中均为直 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理 能够运用其解决问题.(重点,难点) 角三角形,D选项中∠A=∠B=3∠C,即 7∠C=180°,三个角没有90°角,故不是直 教学处程 角三角形.故选D 情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角:将 方法总结:在判定一个三角形是否为直 根长绳打上等距离的13个结,然后按如角三角形时要注意直角三角形中有一个内 图所示的方法用桩钉钉成一个三角形,他们角三角形 认为其中一个角便是直角.你知道这是什么 道理吗? 角为90 【类型二】直角三角形的性质的应用 (1)(13 团2如图①,△ABC中,AD⊥BC于 D,CE⊥AB于E (5)(6)(7)(8) 、合作探究 探究点一:直角三角形的性质与判定 【类型一】判定三角形是否为直角三 图② (1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由 1具备下列条件的△ABC中,不是 (2)如果∠A是钝角,如图②,(1)中的结 直角三角形的是() 论是否还成立? A.∠A+∠B=∠C 解析:(1)根据垂直的定义可得△ABD B.∠A-∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 和△BCE都是直角三角形,再根据直角三角 解析:由直角三角形内角和为180°求得形两锐角互余可得∠1+∠B=90°,∠2+ 三角形的每一个角的度数再判断其形状A∠B=90°,从而得解;(2)根据垂直的定义可
1．2 直角三角形 第 1 课时 直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳 并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理， 能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将 一根长绳打上等距离的 13 个结，然后按如 图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们 认为其中一个角便是直角．你知道这是什么 道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】 判定三角形是否为直角三 角形 具备下列条件的△ABC 中，不是 直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为 180°求得 三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A 中∠A＋∠B＝∠C，即 2∠C＝180°，∠C＝ 90°，为直角三角形，同理，B，C 中均为直 角三角形，D 选项中∠A＝∠B＝3∠C，即 7∠C＝180°，三个角没有 90°角，故不是直 角三角形．故选 D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直 角三角形时要注意直角三角形中有一个内 角为 90°. 【类型二】 直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC 中，AD⊥BC 于 D，CE⊥AB 于 E. (1)猜测∠1 与∠2 的关系，并说明理由． (2)如果∠A 是钝角，如图②，(1)中的结 论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE 都是直角三角形，再根据直角三角 形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋ ∠B＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可
得∠D=∠E=90°,然后求出∠1+∠4= 解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°, AB=13cm, BC=5cm, .AC=VAB2-BC2 90°,∠2+∠3=90°,再根据∠3、∠4是对12cm (2)S△ABC=CB·AC=30cm2 顶角解答即可 (3)∵S△ABC=2 AC·BC=CD·AB 解:(1)∠1=∠2.∴AD⊥BC,CE⊥AB, ∴△ABD和△BCE都是直角三角形,∴∠1 十∠B=90°,∠2+∠B=90°,∴∠1 AB (2)结论仍然成立.理由如下: 方法总结:解答此类问题,一般是先利 ∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠D=∠E=90 ∴∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90° 用勾股定理求出第三边,利用两种方法表示 3=∠4(对顶角相等),∴∠1=∠2 出同一个直角三角形的面积,然后根据面积 方法总结:本题考查了直角三角形的性 相等得出一个方程,再解这个方程即可 质,主要利用了直角三角形两锐角互余,同 【类型二】分类讨论思想在勾股定理 角或等角的余角相等的性质,熟记性质是解 中的应用 4在△ABC中,AB=15,AC=13 BC边上的高AD=12,试求△ABC周长 题的关键 探究点二:勾股定理 解析:本题应分两种情况进行讨论:(1) 【类型一】直接运用勾股定理 当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和 R△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD 例的已知:如图,在△ABC中,∠ACB的长求出,两者相加即为BC的长,从而可 AB=13cm, BC=5cm, CD_AB 于D求 将△ABC的周长求出;(2)当△ABC为钝角 (1)AC的长 (2)S△AB 三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用 (3)CD的长 勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相 解析:(1)由于在△ABC中∠ACB=90°, 减即为BC的长,从而可将△ABC的周长求 AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可 出 求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公 解:此题应分两种情况进行讨论: 式即可求出S△ABC;(3)根据CDAB=BCAC 即可求出CD
得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝ 90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4 是对 顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1 ＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝ ∠2； (2) 结论仍然成立．理由如下： ∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠ 3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性 质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同 角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解 题的关键． 探究点二：勾股定理 【类型一】 直接运用勾股定理 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB 于 D.求： (1)AC 的长； (2)S△ABC； (3)CD 的长． 解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可 求出 AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公 式即可求出 S△ABC；(3)根据 CD·AB＝BC·AC 即可求出 CD. 解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝ AB2－BC2＝ 12cm； (2)S△ABC＝ 1 2 CB·AC＝30cm2 ； (3)∵S△ABC＝ 1 2 AC·BC＝ 1 2 CD·AB，∴ CD＝ AC·BC AB ＝ 60 13cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利 用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示 出同一个直角三角形的面积，然后根据面积 相等得出一个方程，再解这个方程即可． 【类型二】 分类讨论思想在勾股定理 中的应用 在△ABC 中，AB＝15，AC＝13， BC 边上的高 AD＝12，试求△ABC 周长． 解析：本题应分两种情况进行讨论：(1) 当△ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，运用勾股定理可将 BD 和 CD 的长求出，两者相加即为 BC 的长，从而可 将△ABC 的周长求出；(2)当△ABC 为钝角 三角形时，在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，运用 勾股定理可将 BD 和 CD 的长求出，两者相 减即为 BC 的长，从而可将△ABC 的周长求 出． 解：此题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ 中, 1B2-AD2=√152-122=9 =AB2,∴△ABC是直角三角形.故选A 在Rt△ACD中,CD=√AC2-AD2 132-122=5,∴BC=BD+CD=5+9 方法总结:要判断一个角是不是直角, 14,∴△ABC的周长为15+13+14=42 (2)当△ABC为钝角三角形时,在R△先要构造出三角形,然后知道三条边的大 ABD+H, BD=VAB2-AD=V152-122=9 在Rt△ACD中,CD=yAC-AD2 小,用较小的两条边的平方和与最大的边的 132-12=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC 的周长为15+13+4=32 平方比较,如果相等,则三角形为直角三角 ∵.当△ABC为锐角三角形时,△AB 的周长为42;当△ABC为钝角三角形时 形;否则不是 △ABC的周长为32 【类型二】利用勾股定理的逆定理证 明垂直关系 方法总结:在题目未给出具体图形时 6如图,在正方形ABCD中,AE 应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角EB,AF=AD,求证:CE⊥EF 形,凡符合题设的情况都要考虑,体现了分 类讨论思想,这是解无图几何问题的常用方 证明:连接CF,设正方形的边长为4 法 ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD 探究点三:勾股定理的逆定理 =DA=4.点E为AB中点,AF=AD,∴ 【类型一】判断三角形的形状 5如图,正方形网格中有△ABC, AE=BE=2,AF=1,DF=3.由勾股定理得 若小方格边长为1,则△ABC的形状为EF2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2 42+32=25.∵EF2+EC2=FC2,∴△CFE是 直角三角形,∴∠FEC=90°,即EF⊥CE 方法总结:利用勾股定理的逆定理可以 判断一个三角形是否为直角三角形,所以此 A.直角三角形 B.锐角三角形 定理也是判定垂直关系的一个主要方法 C.钝角三角形 【类型三】运用勾股定理的逆定理解 D.以上答案都不对 决面积问 7如图,在四边形ABCD B 解析:∵正方形小方格边长为1,∴BC 0°,AB=8,BC=6,CD=24,AD=26 求四边形ABCD的面积. =√42+62=2Vh3,AC=√22+32=√13, AB=√/P+8=6在△ABC中 AC2=52+13=65,AB2=65,∴BC2+AC2
(1)当△ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝ 152－122＝9， 在 Rt △ ACD 中 ， CD ＝ AC2－AD2 ＝ 132－122＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝ 14，∴△ABC 的周长为 15＋13＋14＝42； (2)当△ABC 为钝角三角形时，在 Rt△ ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝ 15 2－122＝9. 在 Rt △ ACD 中 ， CD ＝ AC2－AD2 ＝ 132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为 15＋13＋4＝32. ∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为 42；当△ABC 为钝角三角形时， △ABC 的周长为 32. 方法总结：在题目未给出具体图形时， 应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角 形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分 类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方 法． 探究点三：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状 如图，正方形网格中有△ABC， 若小方格边长为 1，则△ABC 的形状为 ( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 解析：∵正方形小方格边长为 1，∴BC ＝ 4 2＋6 2＝2 13，AC＝ 2 2＋3 2＝ 13， AB＝ 1 2＋8 2＝ 65.在△ABC 中，∵BC2＋ AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，∴BC2＋AC2 ＝AB2，∴△ABC 是直角三角形．故选 A. 方法总结：要判断一个角是不是直角， 先要构造出三角形，然后知道三条边的大 小，用较小的两条边的平方和与最大的边的 平方比较，如果相等，则三角形为直角三角 形；否则不是． 【类型二】 利用勾股定理的逆定理证 明垂直关系 如图，在正方形 ABCD 中，AE＝ EB，AF＝ 1 4 AD，求证：CE⊥EF. 证明：连接 CF，设正方形的边长为 4. ∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝BC＝CD ＝DA＝4.∵点 E 为 AB 中点，AF＝ 1 4 AD，∴ AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得 EF2＝1 2＋2 2＝5，EC2＝2 2＋4 2＝20，FC2＝ 4 2＋3 2＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE 是 直角三角形，∴∠FEC＝90°，即 EF⊥CE. 方法总结：利用勾股定理的逆定理可以 判断一个三角形是否为直角三角形，所以此 定理也是判定垂直关系的一个主要方法． 【类型三】 运用勾股定理的逆定理解 决面积问题 如图，在四边形 ABCD 中，∠B ＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26， 求四边形 ABCD 的面积．
解析:连接AC,根据已知条件运用勾其互换即可 股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形 解:(1)同旁内角互补,两直线平行.真 命题 然后代入三角形面积公式将△ABC和 (2)如果两条直线平行,那么这两条直线 垂直于同一条直线(在同一平面内).真命题; △ACD这两个直角三角形的面积求出两者 (3)内错角相等.假命题; (4)等边三角形有一个角是60°.真命 面积相加即为四边形ABCD的面积 题 解:连接AC,∵∠B=90 △AB 方法总结:一个定理不一定有逆定理, 为直角三角形.∵AC2=AB2+BC2=82+62 02,∴AC=10.在△ACD中,∵AC2+CD2只有当它的逆命题为真命题时,它才有逆定 00+576=676,AD=262=676,∴AC +CD2=AD,∴△ACD为直角三角形,且理 ∠ACD=90°,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD 三、板书设计 直角三角形的性质与判定 ×6×8+×10×24=144. 直角三角的两个锐角互余;有两个角互 方法总结:此题将求四边形面积的问题余的三角形是直角三角形 2.勾股定理及勾股定理的逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 转化为求两个直角三角形面积和的问题,既 斜边的平方:如果三角形两边的平方和等于 考直了对勾股定理逆定理的掌握情况,又体形 第三边的平方,那么这个三角形是直角三角 现了转化思想在解题时的应用 教学反思 探究点四:互逆命题与互逆定理 本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类 例8写出下列各命题的逆命题,并判讨论能力、交流能力和空间想象能力,让学 断其逆命题是真命题还是假命题 生充分体验到了数学思考的魅力和知识创 (1)两直线平行,同旁内角互补; 新的乐趣,突显教学过程中的师生互动,使 (2)垂直于同一条直线的两直线平行 学生真正成为主动学习者 (3)相等的角是内错角 (4)有一个角是60°的三角形是等边三 角形 解析:分别找出各命题的题设和结论将
解析：连接 AC，根据已知条件运用勾 股定理的逆定理可证△ACD 为直角三角形， 然 后 代入 三角 形 面积 公式 将 △ABC 和 △ACD 这两个直角三角形的面积求出，两者 面积相加即为四边形 ABCD 的面积． 解：连接 AC，∵∠B＝90°，∴△ABC 为直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝8 2＋6 2 ＝102，∴AC＝10.在△ACD 中，∵AC2＋CD2 ＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2 ＋CD2＝AD2，∴△ACD 为直角三角形，且 ∠ACD＝90°，∴S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝ 1 2 ×6×8＋ 1 2 ×10×24＝144. 方法总结：此题将求四边形面积的问题 转化为求两个直角三角形面积和的问题，既 考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体 现了转化思想在解题时的应用． 探究点四：互逆命题与互逆定理 写出下列各命题的逆命题，并判 断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是 60°的三角形是等边三 角形． 解析：分别找出各命题的题设和结论将 其互换即可． 解：(1)同旁内角互补，两直线平行．真 命题； (2)如果两条直线平行，那么这两条直线 垂直于同一条直线(在同一平面内)．真命题； (3)内错角相等．假命题； (4)等边三角形有一个角是 60°.真命 题． 方法总结：一个定理不一定有逆定理， 只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定 理． 三、板书设计 1．直角三角形的性质与判定 直角三角的两个锐角互余；有两个角互 余的三角形是直角三角形． 2．勾股定理及勾股定理的逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角 形． 本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类 讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学 生充分体验到了数学思考的魅力和知识创 新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使 学生真正成为主动学习者