第2课时异分母分式的加减 学目标一 【类型二】分母是单项式分式的通分 囫例2通分 1.学会确定几个分式的最简公分母并 进行通分;(重点) 2.能正确地运用分式的加、减、乘 除、乘方的运算法则进行混合运算.(重点 难点) 解析:先确定最简公分母,找到各个分 教学过程 情境导入 母应当乘的单项式,分子也相应地乘以这个 小学我们学习过异分母分数的加减法, 单项式 如+2二3×2+2×2=6,那么如何计算 解:(1)最简公分母是2bd,b=2b 呢? x+1 ac acd 二、合作探究 2b2 2b2d' 探究点一:分式的通分 【类型一】最简公分母 (2)最简公分母是6b,b3b2c a-c 6abc 例分式一3x2的最简公分母2=42 是 (3)最简公分母是10xy2=2 解析:∵x2-3x=x(x-3),x2-9=(x+ 3)(x-3),∴最简公分母为x(x+3)x-3) 10xy2=10x210xy2=-2x210x 方法总结:通分时,先确定最简公分母 方法总结:最简公分母的确定:最简公 然后根据分式的基本性质把各分式的分子、 分母的系数,取各个分母的系数的最小公倍 分母同时乘以一个适当的整式,使分母化为 数;字母及式子取各分母中所有字母和式子 最简公分母 的最高次幂.“所有字母和式子的最高次 【类型三】分母是多项式分式的通分 幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子) 例3通分 2a+1)a 为底数的幂的因式选取指数最大的”;当分 (2),2m,,,m 4m2-6m+9 母是多项式时,一般应先因式分解
第 2 课时 异分母分式的加减 1．学会确定几个分式的最简公分母并 进行通分；(重点) 2．能正确地运用分式的加、减、乘、 除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点， 难点) 一、情境导入 小学我们学习过异分母分数的加减法， 如 1 3 ＋ 1 2 ＝ 1×2 3×2 ＋ 1×3 2×2 ＝ 5 6 ，那么如何计算 1 x＋1 － 2 x－1 呢？ 二、合作探究 探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母 分式 1 x 2－3x 与 2 x 2－9 的最简公分母 是________． 解析：∵x 2－3x＝x(x－3)，x 2－9＝(x＋ 3)(x－3)，∴最简公分母为 x(x＋3)(x－3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公 分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍 数；字母及式子取各分母中所有字母和式子 的最高次幂．“所有字母和式子的最高次 幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子) 为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分 母是多项式时，一般应先因式分解． 【类型二】 分母是单项式分式的通分 通分． (1) c bd， ac 2b 2； (2) b 2a 2 c ， 2a 3bc2； (3) 4 5y 2 z ， 3 10xy2， 5 －2xz2 . 解析：先确定最简公分母，找到各个分 母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个 单项式． 解：(1)最简公分母是 2b 2d， c bd＝ 2bc 2b 2d ， ac 2b 2＝ acd 2b 2d ； (2)最简公分母是 6a 2bc2， b 2a 2 c ＝ 3b 2 c 6a 2bc2， 2a 3bc2＝ 4a 3 6a 2bc2； (3) 最 简 公 分 母 是 10xy2 z 2 ， 4 5y 2 z ＝ 8xz 10xy2 z 2， 3 10xy2＝ 3z 2 10xy2 z 2， 5 －2xz2＝－ －25y 2 10xy2 z 2 . 方法总结：通分时，先确定最简公分母， 然后根据分式的基本性质把各分式的分子、 分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为 最简公分母． 【类型三】 分母是多项式分式的通分 通分． (1) a 2（a＋1） ， 1 a 2－a ； (2) 2mn 4m2－9 ， 3m 4m2－6m＋9
解析:先把分母因式分解,再确定最简 解:(1)原式= (x+2)(x-2) 公分母,然后再通分 (x+2)2 解:(1)最简公分母是2a(a+1)(a-1), x(x+2) (x+2)2(x-2) 2(a+1)2a(a+1)(a-1) 2(x-2) 2(a+1) (x+2)2(x-2 a2-a2a(a+1)(a-1) x(x+2)-2(x-2) (2)最简公分母是(2m+3)(2m-3) (x+2)2(x-2) 2mn=飞 (2m+3)(2m-3)2 (x+2)2(x-2) 3m二 3m(2m+3) a2-4+(a+2)2 4m2-6m+9(2m+3)(2m-3)2 a+2 2a(a+2) 方法总结:①确定最简公分母是通分的 a+2 关键,通分时,如果分母是多项式,一般应 m (m+n) (3)原式 (m+n)(m-n) 先因式分解,再确定最简公分母;②在确定 n (m-n) (m+n)(m-n) m+2mn 最简公分母后,还要确定分子、分母应乘的 (m+n)(m-n) m-n 因式,这个因式就是最简公分母除以原分母 方法总结:分母是多项式时,应先因式 的商 分解,目的是为了找最简公分母以便通 探究点二:异分母分式的加减法 【类型一】异分母分式的加减法运算分.对于整式与分式的加减运算,可以将整 例4计算 式的每一项的分母看成1,再通分,也可以 (1)2-4-2+4x+4 把整式的分母整体看成1再进行通分运算 a2-4 a+2+a+2 【类型二】分式的混合运算 例5计算: m+n m-n (1)( 4x+4x x2-4x+2x+2 解析:依据分式的加减法法则,(1)、(3) 中先找出最简公分母分别为x-2)(x+2) 解:(1)原式 (x-2)(x+2 (m+n)(m-n),再通分,然后运用同分母分 x x-l 式加减法法则运算;(2)中把后面的加数a+ 2看成分母为1的式子进行通分 x+2x+2x+2x+2x-1
解析：先把分母因式分解，再确定最简 公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是 2a(a＋1)(a－1)， a 2（a＋1） ＝ a 2（a－1） 2a（a＋1）（a－1） ， 1 a 2－a ＝ 2（a＋1） 2a（a＋1）（a－1） ； (2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2， 2mn 4m2－9 ＝ 2mn（2m－3） （2m＋3）（2m－3）2 ， 3m 4m2－6m＋9 ＝ 3m（2m＋3） （2m＋3）（2m－3）2 . 方法总结：①确定最简公分母是通分的 关键，通分时，如果分母是多项式，一般应 先因式分解，再确定最简公分母；②在确定 最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的 因式，这个因式就是最简公分母除以原分母 的商． 探究点二：异分母分式的加减法 【类型一】 异分母分式的加减法运算 计算： (1) x x 2－4 － 2 x 2＋4x＋4 ； (2) a 2－4 a＋2 ＋a＋2； (3) m m－n － n m＋n ＋ 2mn m2－n 2 . 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3) 中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、 (m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分 式加减法法则运算；(2)中把后面的加数 a＋ 2 看成分母为 1 的式子进行通分． 解 ： (1) 原 式 ＝ x （x＋2）（x－2） － 2 （x＋2）2 ＝ x（x＋2） （x＋2）2（x－2） － 2（x－2） （x＋2）2（x－2） ＝ x（x＋2）－2（x－2） （x＋2）2（x－2） ＝ x 2＋4 （x＋2）2（x－2） ； (2) 原式＝ a 2－4＋（a＋2）2 a＋2 ＝ 2a（a＋2） a＋2 ＝2a； (3) 原式＝ m（m＋n） （m＋n）（m－n） － n（m－n） （m＋n）（m－n） ＋ 2mn （m＋n）（m－n） ＝ m2＋2mn＋n 2 （m＋n）（m－n） ＝ m＋n m－n . 方法总结：分母是多项式时，应先因式 分解，目的是为了找最简公分母以便通 分．对于整式与分式的加减运算，可以将整 式的每一项的分母看成 1，再通分，也可以 把整式的分母整体看成 1，再进行通分运算． 【类型二】 分式的混合运算 计算： (1)( x 2－4x＋4 x 2－4 － x x＋2 )÷ x－1 x＋2 ； (2) a－5 2a－6 ÷( 16 a－3 －a－3)． 解：(1) 原 式＝[ （x－2）2 （x－2）（x＋2） － x x＋2 ]÷ x－1 x＋2 ＝( x－2 x＋2 － x x＋2 )÷ x－1 x＋2 ＝ －2 x＋2 · x＋2 x－1 ＝－
序,式子化到最简再代值计算 (2)原式 =3 【类型二】先化筍,再选择字母的值 求分式的值 刀先化简,再选择使原式有意义的 数代入求值:2x+6 2 解析:先把分式化简,再选数代入 10+2a 可取除-3、0和2以外的任何数 方法总结:对于一般的分式混合运算来 解:原式 (x-2)2x(x+3)x 讲,其运算顺序与整式混合运算一样,是先 x(x-2)x-2 乘方,再乘除,最后加减,如果遇到括号要 先算括号里面的.在此基础上,有时也应该 根据具体问题的特点,灵活应变注意方法 当x=1时,原式=-1.(x取除-3、0 探究点三:分式运算的化简求值 和2以外的任何数) 【类型一】先化简,再根据所给字母 方法总结:取数代入求值时,要注意所 的值求分式的值 例先化简,再求值:(+选择的值一定满足分式分母不为0,这包括 x+y x+2xy+y2 其中x=1,y=-2. 原式及化简过程中的每一步的分式都有意 解析:化简时,先把括号内通分,把除义 法转化为乘法把多项式因式分解再约分, 【类型三】整体代入求值 倒例8己知实数a满足a2+2a-8=0, 最后代值计算 1a+3 a2-2a+1 a+1a2-1(a+1)(a+3)的彼 求 解 式 解析:首先把分式分子、分母能因式分 (xty)z xty (x-y)(x+y) 解的先因式分解进行约分,然后进行减法运 时,原式 1+(-2) 算,最后整体代值计算 解 (a+1)(a+3) 方法总结:分式的化简求值,其关键步 骤是分式的化简.要熟悉混合运算的计算顺
2 x－1 ； (2)原式＝ a－5 2a－6 ÷( 16 a－3 － a 2－9 a－3 ) ＝ a－5 2（a－3） ÷ （5＋a）（5－a） a－3 ＝ a－5 2（a－3） · a－3 （5＋a）（5－a） ＝－ 1 10＋2a . 方法总结：对于一般的分式混合运算来 讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先 乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要 先算括号里面的．在此基础上，有时也应该 根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法． 探究点三：分式运算的化简求值 【类型一】 先化简，再根据所给字母 的值求分式的值 先化简 ， 再 求 值 ： ( 1 x－y ＋ 1 x＋y )÷ 2x x 2＋2xy＋y 2，其中 x＝1，y＝－2. 解析：化简时，先把括号内通分，把除 法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分， 最后代值计算． 解 ： 原式＝ 2x （x－y）（x＋y） · （x＋y）2 2x ＝ x＋y x－y ， 当 x＝1，y＝－2 时，原式＝1＋（－2） 1－（－2） ＝－ 1 3 . 方法总结：分式的化简求值，其关键步 骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺 序，式子化到最简再代值计算． 【类型二】 先化简，再选择字母的值 求分式的值 先化简，再选择使原式有意义的 数代入求值： 2x＋6 x 2－4x＋4 · x－2 x 2＋3x － 1 x－2 . 解析：先把分式化简，再选数代入，x 可取除－3、0 和 2 以外的任何数． 解：原式＝2（x＋3） （x－2）2· x－2 x（x＋3） － 1 x－2 ＝ 2 x（x－2） － 1 x－2 ＝ 2－x x（x－2） ＝－ 1 x . 当 x＝1 时，原式＝－1.(x 取除－3、0 和 2 以外的任何数) 方法总结：取数代入求值时，要注意所 选择的值一定满足分式分母不为 0，这包括 原式及化简过程中的每一步的分式都有意 义． 【类型三】 整体代入求值 已知实数 a 满足 a 2＋2a－8＝0， 求 1 a＋1 － a＋3 a 2－1 · a 2－2a＋1 （a＋1）（a＋3） 的值． 解析：首先把分式分子、分母能因式分 解的先因式分解进行约分，然后进行减法运 算，最后整体代值计算． 解： 1 a＋1 － a＋3 a 2－1 · a 2－2a＋1 （a＋1）（a＋3） ＝ 1 a＋1 －
b>a,∴b2>a2 (a+1)(a-1)(a+1)(a+3) ∴a2+2a-8=0,∴a2+2a=8,∴原式 ∴第一次的时间要短些 方法总结:①运用分式解决实际问题 方法总结:利用“整体代入”思想化简时,用分式表示实际问题中的量是解决问题 求值时,先把要求值的代数式化简,然后将的关键;②比较分子相同的两个分式的大 已知条件变换成适合所求代数式的形式,再小,分母大的反而小 整体代入即可 探究点四:运用分式解决实际问题 例9有一客轮往返于重庆和武汉之 、板书设计 间,第一次往返航行时,长江的水流速度为 分式的通分 a千米小时:第二次往返航行时,正遇上长 2.异分母分式的加减法:先通分,化 江汛期,水流速度为b千米/小时(b>a).已为同分母分式,再按同分母分式相加减的法 知该船在两次航行中,静水速度都为υ千米则进行计算 /小时,问该船两次往返航行所花时间是否 3.分式的混合运算:先乘方,再乘除, 相等,若你认为相等,请说明理由:若你认最后算加减,如果遇到括号要先算括号里面 为不相等,请分别表示出两次航行所花的时的 间,并指出哪次时间更短些? 教学反思 解析:重庆和武汉之间的路程一定,可 对于异分母分式相加减,注意强调转化思 想:通过通分,把异分母分式转化为同分母 设其为s,所用时间=顺时间+逆流时间,分式,再按同分母分式相加减的法则进行计 算.对于分式混合运算,关键是要注意各种 注意顺流速度=静水速度+水流谏度;逆流 运算的先后顺序,最后结果要化为最简分 速度=静水速度-水流速度,把相关数值代式.在教学中,注意培养学生认真细致的学 习态度,从运算符号到通分、约分,都应认 真对待,一丝不苟 入,比较即可 解:设两次航行的路程都为s 第一次所用时间为 第二次所用时间为 S 0+b
a＋3 （a＋1）（a－1） · （a－1）2 （a＋1）（a＋3） ＝ 1 a＋1 － a－1 （a＋1）2＝ 2 （a＋1）2＝ 2 a 2＋2a＋1 . ∵a 2＋2a－8＝0，∴a 2＋2a＝8，∴原式 ＝ 2 8＋1 ＝ 2 9 . 方法总结：利用“整体代入”思想化简 求值时，先把要求值的代数式化简，然后将 已知条件变换成适合所求代数式的形式，再 整体代入即可． 探究点四：运用分式解决实际问题 有一客轮往返于重庆和武汉之 间，第一次往返航行时，长江的水流速度为 a 千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长 江汛期，水流速度为 b 千米/小时(b＞a)．已 知该船在两次航行中，静水速度都为 v 千米 /小时，问该船两次往返航行所花时间是否 相等，若你认为相等，请说明理由；若你认 为不相等，请分别表示出两次航行所花的时 间，并指出哪次时间更短些？ 解析：重庆和武汉之间的路程一定，可 设其为 s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间， 注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流 速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代 入，比较即可． 解：设两次航行的路程都为 s. 第 一 次 所 用 时 间 为 s v＋a ＋ s v－a ＝ 2vs v 2－a 2， 第 二 次 所 用 时 间 为 s v＋b ＋ s v－b ＝ 2vs v 2－b 2， ∵b＞a，∴b 2＞a 2， ∴v 2－b 2＜v 2－a 2， ∴ 2vs v 2－b 2＞ 2vs v 2－a 2 . ∴第一次的时间要短些． 方法总结：①运用分式解决实际问题 时，用分式表示实际问题中的量是解决问题 的关键；②比较分子相同的两个分式的大 小，分母大的反而小． 三、板书设计 1．分式的通分 2．异分母分式的加减法：先通分，化 为同分母分式，再按同分母分式相加减的法 则进行计算． 3．分式的混合运算：先乘方，再乘除， 最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面 的． 对于异分母分式相加减，注意强调转化思 想：通过通分，把异分母分式转化为同分母 分式，再按同分母分式相加减的法则进行计 算．对于分式混合运算，关键是要注意各种 运算的先后顺序，最后结果要化为最简分 式．在教学中，注意培养学生认真细致的学 习态度，从运算符号到通分、约分，都应认 真对待，一丝不苟