免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 2.5等腰三角形的轴对称性(3) 教材:义务教育教科书·数学(八年级上册) 2.5等腰三角形的轴对称性(3) 1.探索并掌握直角三角形的一个性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2.经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程,发展学生的空间观念和抽象、概括能力,不断积累数学活动的经验 3.在交流过程中,引导学生体会推理的思考方法,进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力 4.引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径,进一步体会证明的必要性 教学重点 探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题, 教学难点 引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 教学过程(教师) 学生活动 设计思路 情境创设 提问: 学生回顾: 复习回顾等腰三角形的性质 1.等腰三角形有哪些性质? 等腰三角形的性质等边对等角等腰三角形底边上的高线、中|及判定方法,为下面解决问愿作 2.怎样判定一个三角形是等腰三角形? 及顶角平分线重合 铺垫,同时也明确无论是证明线 2.判定一个三角形是等腰三角形的方法 段相等还是折出等腰三角形,都 (1)根据定义,证明三角形有两边相等 只要证(寻)得相等的角即可 (2)根据“等角对等边”,只要证明一个三角形有两个角相 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 aoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 2.5 等腰三角形的轴对称性（3） 教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册） 2.5 等腰三角形的轴对称性（3） 教学目标 1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验； 3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力； 4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性． 教学重点 探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题． 教学难点 引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ． 教学过程（教师） 学生活动 设计思路 情境创设 提问： 1．等腰三角形有哪些性质？ 2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 学生回顾： 1．等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形底边上的高线、中 线及顶角平分线重合． 2．判定一个三角形是等腰三角形的方法： （1）根据定义，证明三角形有两边相等； （2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相 复习回顾等腰三角形的性质 及判定方法，为下面解决问题作 铺垫，同时也明确无论是证明线 段相等还是折出等腰三角形，都 只要证（寻）得相等的角即可．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 应用反馈 学生独立思考分析,代表发言 对等腰三角形的判定方法的 根据你所掌握的方法独立解决下列问题: 解:△ABC是等腰三角形 直接应用,同时也为下面折纸活 1.已知:如图,∠EAC是△ABC的外角,AD平 AD∥BC 动作铺垫 分∠EAC,AD∥BC.求证:AB=AC ∠EA=∠B,∠DAC=∠C ∵∠EAD=∠DAC AB=AC(等角对等边) 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 等． 应用反馈 根据你所掌握的方法独立解决下列问题： 1．已知：如图，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平 分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC． 学生独立思考分析，代表发言． 解：△ABC 是等腰三角形． ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C． ∵∠EAD＝∠DAC， ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC（等角对等边）． 对等腰三角形的判定方法的 直接应用，同时也为下面折纸活 动作铺垫． C E B A D
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 思考:(1)上图中,如果AB=AC,AD∥BC,那 式,同时也是“等边对等角”性 么AD平分∠EAC吗?试证明你的结论 质的应用. 生板演 培养学生积极思考,举一反 惯,也培养学生的归 ∠EAD=∠B,∠DAC=∠C. 纳概括能力 AB=Ac (2)上图中,如果AB=AC,AD平分∠EAC,那 ∠B=∠C(等边对等角) 么AD∥BC吗? ∠EAD=∠DAC 通过这一系列问题的解决,你有什么发现? AD平分∠EAC. 学生交流想法,代表发言 归纳结论:①AB=AC:②AD平分∠EAC:③AD∥BC三个论断中,其中 任意两个成立,第三个一定也成立 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 思考：（1）上图中，如果 AB＝AC，AD∥BC，那 么 AD 平分∠EAC 吗？试证明你的结论． （2）上图中，如果 AB＝AC，AD 平分∠EAC，那 么 AD∥BC 吗？ 通过这一系列问题的解决，你有什么发现？ 学生板演． ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C （等边对等角） ． ∴∠EAD＝∠DAC． ∴AD 平分∠EAC． 学生交流想法，代表发言． 归纳结论：①AB＝AC；②AD 平分∠EAC；③AD∥BC 三个论断中，其中 任意两个成立，第三个一定也成立． “思考”两题是第 1 题的变 式，同时也是“等边对等角”性 质的应用． 培养学生积极思考，举一反 三的思维习惯，也培养学生的归 纳概括能力．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 活动一:操作·探索 学生思考,操作,小组内交流 激发学生的学习兴趣,也明 1.提问:你能用折纸的方法将一个直角三角形1.学生代表发言,说明折纸的方法,指出△ACD与△BCD是等腰三角确操作活动的目的,为在折纸过 分成两个等腰三角形吗? 程中发现直角三角形的性质作铺 通过折纸 生亲历操作 察一一发现一一归纳的过 程,体验“做数学”,发展空间观 念,提高动手能力 图(2) 图(3 2.提问:△AC与△BCD为什么是等腰三角形? 设计这个活动的目的是通过 请说明理由 2.在学生代表带领下操作,将剪出的直角三角形纸片,分别按图(2)观察线段CD把直角三角形ABC分 (3)折叠,标出点D,连接CD 成的2个三角形,进一步获得直 角三角形与斜边的关系.实质是 从中引导学生不断地学会从多个 3.提问:观察图形,你还有哪些发现? 3.观察图形,小组内交流自己的发现,代表发言 角度观察、认识图形,主动地发 有4个直角三角形全等 现和获得新的数学结论,不断地 BIECE AD 积累数学活动经验 相互讨论使学生主动参与到 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 活动一： 操作·探索 1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形 分成两个等腰三角形吗？ 2．提问：△ACD 与△BCD 为什么是等腰三角形？ 请说明理由． 3．提问：观察图形，你还有哪些发现？ 学生思考，操作，小组内交流． 1．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD 与△BCD 是等腰三角 形； D D B C B C B C B C A A A A 2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2） （3）折叠，标出点 D，连接 CD． 3．观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言． 有 4 个直角三角形全等； BD＝CD＝AD； …… 激发学生的学习兴趣，也明 确操作活动的目的，为在折纸过 程中发现直角三角形的性质作铺 垫． 通过折纸，让学生亲历操作 ——观察——发现——归纳的过 程，体验“做数学”，发展空间观 念，提高动手能力． 设计这个活动的目的是通过 观察线段 CD 把直角三角形 ABC 分 成的 2 个三角形，进一步获得直 角三角形与斜边的关系．实质是 从中引导学生不断地学会从多个 角度观察、认识图形，主动地发 现和获得新的数学结论，不断地 积累数学活动经验． 相互讨论使学生主动参与到 图（2） 图（3）
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 学习活动中来,提高学生的观察 分析能力,培养学生善于思考的 良好习惯,同时也培养学生合作 交流精神和发散思维能力. 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 学习活动中来，提高学生的观察 分析能力，培养学生善于思考的 良好习惯，同时也培养学生合作 交流精神和发散思维能力
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 活动二:探素·说理 1.提问 1.在刚才讨论交流的基础上,学生回答,得出结论 在相互交流的过程中,培养 学生的归纳概括能力 (1)D是斜边AB的中点吗? 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)斜边AB上的中线D与斜边AB有何数量 关系? 巩固证明文字命题的一般步 2.刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜2.(1)画出Rt△ABC,∠ACB=90°,CD为斜边上的中线 边上的中线等于斜边的一半”,你能说明理由吗? 引导学生进行严格的证明 (1)你能根据题中的已知条件和要说明的结论 使学生进一步体会证明的必要 画出图形来表示吗? (2)思考:怎样说明CD=4B 提供学生充分讨论和交流的 在折纸活动中,你怎样找出斜边上的中线? 机会,鼓励学生进行不同证明思 (2)首先独立思考,尝试证明,再小组讨论交流,代表发言,说明路的交流和讨论 假设已知OD=。AB,那么我们可以得出怎样的 如何想到证明思路的 引导学生回顾折纸过程,从 结论?这对于你说明结论有启发吗? ①通过折叠,使∠BCD=∠B,从而确定斜边AB的中点D并发现结/而明确像折叠那样使∠BCD= ∠B,就能逐步证得结论,目的是 论,所以说理时也可以在∠ACB内作∠B=∠BD,在证明CD是斜边上的 受合情推理有助于发现 中线时也能证明结论 证明思路和方法 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 aoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 活动二：探索·说理 1．提问． （1）D 是斜边 AB 的中点吗？ （2）斜边 AB 上的中线 CD 与斜边 AB 有何数量 关系？ 2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半”，你能说明理由吗？ （1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论 画出图形来表示吗？ （2）思考：怎样说明 CD＝ 1 2 AB？ 分析： 在折纸活动中，你怎样找出斜边上的中线？ 假设已知 CD＝ 1 2 AB，那么我们可以得出怎样的 结论？这对于你说明结论有启发吗？ 1．在刚才讨论交流的基础上，学生回答，得出结论： “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ． 2.（1）画出 Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD 为斜边上的中线． （2）首先独立思考，尝试证明，再小组讨论交流，代表发言，说明 如何想到证明思路的？ ①通过折叠，使∠BCD＝∠B，从而确定斜边 AB 的中点 D，并发现结 论，所以说理时也可以在∠ACB 内作∠B＝∠BCD，在证明 CD 是斜边上的 中线时也能证明结论； 在相互交流的过程中，培养 学生的归纳概括能力． 巩固证明文字命题的一般步 骤． 引导学生进行严格的证明， 使学生进一步体会证明的必要 性． 提供学生充分讨论和交流的 机会，鼓励学生进行不同证明思 路的交流和讨论． 引导学生回顾折纸过程，从 而明确像折叠那样使∠BCD＝ ∠B，就能逐步证得结论，目的是 使学生感受合情推理有助于发现 证明思路和方法． D B C A
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 让学生了解“分析法”,逐步 2如果CD==AB,那么CD=BD=AD,∠A=∠ACD, 学会自己进行分析寻找解题思 ∠B=∠BCD,那么首先需作OD使∠A=∠ACD或∠B= ∠BCD,再证CD为斜边AB上的中线,且C=BD=AD即可 展现学生的思路,并通过讨 ③阅读课本 论,引导学生体会推理的思考方 (1)定理:“直角三角形斜边上的中线等于斜 法,并由学生自己逐步完善证明 边的一半”,并用符号语言表述 3.学生口答,板书 的思路.使学生认识将探索和证 (2)证明中常用的一种思考方法:即分析法从 明有机的结合起来和演绎推理都 在△ABC中,∠ACB=90°, 需要证明的结论出发,逆推出要使结论成立所需要 是人们正确的认识事物的重要途 点D是AB的中点 的条件,再把这样的“条件”看作“结论”,一步 径.同时,培养学生“言之有理 落笔有据”的习惯 步逆推,直至归结为已知条件 回归教材,阅读课本,培养 (1)Rt△ABC中,如果斜边AB为4cm,那么 学生的阅读理解能力 斜边上的中线C= (2)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的 4.学生口答,并说明理由 中线,DE⊥AC,垂足为E. (1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,CD=AB ①如果CD=2.4cm,那么AB= Ⅲ ②写出图中相等的线段和角 (2)①根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,AB=2C 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 3．小结． （1）定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半”，并用符号语言表述； （2）证明中常用的一种思考方法：即分析法从 需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要 的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一 步逆推，直至归结为已知条件． 4．尝试练习． （1）Rt△ABC 中，如果斜边 AB 为 4cm，那么 斜边上的中线 CD＝_______cm． （2）如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的 中线，DE⊥AC，垂足为 E． ①如果 CD＝2.4cm，那么 AB＝ cm． ②写出图中相等的线段和角． ②如果 CD＝ 2 1 AB，那么 CD＝BD＝AD，∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD，那么首先需作 CD 使∠A＝∠ACD 或∠B＝ ∠BCD，再证 CD 为斜边 AB 上的中线，且 CD＝BD＝AD 即可； ③阅读课本． 3．学生口答，板书． ∵ 在△ABC 中，∠ACB＝90°， 点 D 是 AB 的中点， ∴ CD＝ 2 1 AB． 4．学生口答，并说明理由． （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，CD＝ 2 1 AB ＝2cm． （2）①根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB＝2CD 让学生了解“分析法”，逐步 学会自己进行分析寻找解题思 路． 展现学生的思路，并通过讨 论，引导学生体会推理的思考方 法，并由学生自己逐步完善证明 的思路．使学生认识将探索和证 明有机的结合起来和演绎推理都 是人们正确的认识事物的重要途 径．同时，培养学生“言之有理， 落笔有据”的习惯． 回归教材，阅读课本，培养 学生的阅读理解能力．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ =4.8cm ②CD=BD=AD,CE=AE,∠A=∠ACD, B=∠BCD,∠ACB=∠DEA=∠DEC=90 通过尝试练习,及时巩固定 理的应用 (3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB (1)已知斜边上的中线长 如果斜边AB=5cm,那么斜边上的高CD= 应用定理求出斜边长 (2)综合应用等腰三角形 (3)因为C=CB,CD⊥AB,根据“等腰三角形底边上的高线、中线“三线合一”的性质和“直角三 及项角平分线重合”得A=BD,又因为∠ACB=90°,根据“直角三角角形斜边上的中线等于斜边的 形斜边上的中线等于斜边的一半”得 半”.学生回答时,要求他们说明 C=-AB=2.5cm 理由,及时巩固等腰三角形的性 质和直角三角形的这一性质,同 时也锻炼学生有条理的表达能 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com （3）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB， 如 果 斜 边 AB ＝ 5cm ， 那 么 斜 边 上 的 高 CD ＝ cm． ＝4.8cm． ②CD＝BD＝AD，CE＝AE，∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD，∠ACB＝∠DEA＝∠DEC＝90°． （3）因为 CA＝CB，CD⊥AB，根据“等腰三角形底边上的高线、中线 及顶角平分线重合”得 AD＝BD ，又因为∠ACB＝90°，根据“直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半”得 CD＝ 1 2 AB＝2.5cm． 通过尝试练习，及时巩固定 理的应用． （1）已知斜边上的中线长， 应用定理求出斜边长． （2）综合应用等腰三角形 “三线合一”的性质和“直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一 半”．学生回答时，要求他们说明 理由，及时巩固等腰三角形的性 质和直角三角形的这一性质，同 时也锻炼学生有条理的表达能 力． D A C B A E D B C
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 例题讲解 1.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,如果∠A 1.独立思考,尝试用分析法推理证明思路. 学生猜想后追问为什么这样 30°,那么BC与AB有怎样的数量关系? 猜想,引导学生认识到可以通过 试证明你的结论 度量或叠合等操作获得线段(或 角)之间的数量关系的感性认识, 以便作出合理猜想 引导学生采用分析法推理证 师生互动,锻炼学生的口头 提问引导: (1)对于BC与AB的数量关系,你有何猜想? 表达能力,培养学生勇于发表自 你为什么作这样的猜想? 己看法的能力 学生口答,说明自己的思考过程 (2)我们猜想BC=-AB,根据我们学过的知 (1)猜想:BC=-AB 识,什么与AB相等?这对于你证明结论有启发 2)联想:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,也有AB, 吗? 作斜边上的中线CD,则CD=B,如果结论成立,则△B①为等边三角形 (3)指导学生完成证明过程(投影) 指导学生进一步规范证明的 ∠B=60°,由已知条件易得 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 aoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 例题讲解 1．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，如果∠A＝ 30°，那么 BC 与 AB 有怎样的数量关系？ 试证明你的结论． A B C 提问引导： （1）对于 BC 与 AB 的数量关系，你有何猜想？ 你为什么作这样的猜想？ （2）我们猜想 BC＝ 2 1 AB，根据我们学过的知 识，什么与 2 1 AB 相等？这对于你证明结论有启发 吗？ （3）指导学生完成证明过程（投影）． 1．独立思考，尝试用分析法推理证明思路． 学生口答，说明自己的思考过程． （1）猜想：BC＝ 2 1 AB； （2）联想：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，也有 2 1 AB， 作斜边上的中线 CD，则 CD＝BD，如果结论成立，则△BCD 为等边三角形， ∠B＝60°，由已知条件易得； 学生猜想后追问为什么这样 猜想，引导学生认识到可以通过 度量或叠合等操作获得线段（或 角）之间的数量关系的感性认识， 以便作出合理猜想. 引导学生采用分析法推理证 明思路. 师生互动，锻炼学生的口头 表达能力，培养学生勇于发表自 己看法的能力. 指导学生进一步规范证明的
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 作斜边上的中线CD, ∠ACB=90°,∠A=30°, ∠AC=90°,CD是斜边上的中 CD=4B=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 △BCD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角 BC=C=-AB 2.已知:如图,点C为线段AB的中点,∠AB ∠AWB=90°.CM与CN是否相等?为什么? 2.独立思考,完成证明过程,学生板演 第2题也是巩固“直角三角 形斜边上的中线等于斜边的 ∵点C为线段AB的中点,∠AMB=∠AMB=90° 半”这一性质的厂 CM/=AB,C=AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) C CIECA 解压密码联系qq19139686加微信公众号 paoxuewuyou九折优惠l淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com A D B C 2．已知：如图，点 C 为线段 AB 的中点， ∠AMB ＝∠ANB＝90°.CM 与 CN 是否相等？为什么？ O C A B N M （3）书写证明过程． 解：BC＝ 2 1 AB． 作斜边上的中线 CD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边上的中线， ∴CD＝ 1 2 AB＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ∴△BCD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形）． ∴BC＝CD＝ 1 2 AB． 2．独立思考，完成证明过程，学生板演． 解：CM＝CN． ∵点 C 为线段 AB 的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°， ∴CM＝ 1 2 AB，CN＝ 1 2 AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ∴CM＝CN． 书写格式. 第 2 题也是巩固“直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一 半”这一性质的应用