第12章证明 选择题(本大题共8小题每小题3分,共24分在每个小题列出的四个选项中,只有一项符 合题意) 1.下列命题中是假命题的是() A-√64的立方根是2 B0的平方根是0 C.无理数是无限小数 D相等的角是对顶角 2如图1,直线AB∥CD,则下列结论正确的是() 44B C.∠1+∠3=180°D.∠3+∠4=180° 3.下面是投影屏上出示的抢答题需要回答横线上符号代表的内容 已知如图,∠BEC=∠B+∠C 求证:AB∥CD 证明:延长BE交※于点E 则∠BEC=+∠O三角形的外角等于与它不 相邻的两个内角的和) 又因∠BEC=∠B+∠C,得∠B=▲ 故AB∥CD@_相等,两直线平行) 则回答正确的是() A.◎代表∠FECB@代表同位角
第 12 章 证 明 一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分;在每个小题列出的四个选项中,只有一项符 合题意) 1.下列命题中,是假命题的是 ( ) A.-√64的立方根是-2 B.0 的平方根是 0 C.无理数是无限小数 D.相等的角是对顶角 2 如图 1,直线 AB∥CD,则下列结论正确的是 ( ) A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180° 3.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容. 则回答正确的是 ( ) A.◎代表∠FEC B.@代表同位角 已知:如图,∠BEC=∠B+∠C. 求证:AB∥CD. 证明:延长 BE 交 ※ 于点 F. 则∠BEC= ◎ +∠C(三角形的外角等于与它不 图 1 相邻的两个内角的和). 又因∠BEC=∠B+∠C,得∠B= ▲ . 故 AB∥CD( @ 相等,两直线平行)
C.▲代表∠EFCD.※代表AB 4将一副三角板(∠A=30°,∠E=45)按如图2所示方式摆放使得BA∥EF,则∠AOF等于( 图2 A.75°B.90°C.105°D.115° 5下列选项中,可以用来证明命题“若a2>b2,则a>b”是假命题的是() A.a=3,b=-2Ba=-2,b=1 C.a=0.b=1D.a=2.b=1 6在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=70°,则∠A的度数为() A.80°B.70° C.60°D.50° 7如图3,在△ABC中高线BD,CE相交于点H,若∠A=60°,则∠BHC的度数是() A60°B.90° 8如图4,直线l∥l2,直角三角板的直角顶点C在直线h上,一锐角顶点B在直线l2上,若∠1=35° 则∠2的度数是() A.65°B.55°
C.▲代表∠EFC D.※代表 AB 4.将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图 2 所示方式摆放,使得 BA∥EF,则∠AOF 等于( ) 图 2 A.75° B.90° C.105° D.115° 5.下列选项中,可以用来证明命题“若 a 2>b2 ,则 a>b”是假命题的是 ( ) A.a=3,b=-2 B.a=-2,b=1 C.a=0,b=1 D.a=2,b=1 6.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A-∠B=70°,则∠A 的度数为 ( ) A.80° B.70° C.60° D.50° 7.如图 3,在△ABC 中,高线 BD,CE 相交于点 H,若∠A=60°,则∠BHC 的度数是 ( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 图 3 图 4 8.如图4,直线ll∥l2,直角三角板的直角顶点C在直线l1上,一锐角顶点B 在直线l2上,若∠1=35°, 则∠2 的度数是 ( ) A.65° B.55°
C.45°D.35° 填空题(本大题共7小题每小题4分,共28分) 9把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式 10.命题“若a>b,则la>{b”的逆命题是_(填“真”或“假”)命题 1l0如图5,直线AB∥CD,OA⊥OB若∠1=142°,则∠2= 图5 12.如图6,如果∠ 那么根据 可得AD∥BC(写 出一个正确的就可以) 13.直角三角形两个锐角度数比是1:2,则两个锐角的度数分别是和 14.如图7AD∥BC,∠DAC=60°,∠ACF=25°,∠EFC=145°,则直线EF与BC的位置关系 图7 15.如图8在△ABC中,∠A=80°延长BC到点D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2,依此类推,∠ABC与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的 度数是
C.45° D.35° 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 9.把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式: . 10.命题“若 a>b,则|a|>|b|”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题. 11.如图 5,直线 AB∥CD,OA⊥OB,若∠1=142°,则∠2= °. 图 5 图 6 12.如图 6,如果∠ =∠ ,那么根据 可得 AD∥BC.(写 出一个正确的就可以) 13.直角三角形两个锐角度数比是 1∶2,则两个锐角的度数分别是 和 . 14.如图 7,AD∥BC,∠DAC=60°,∠ACF=25°,∠EFC=145°,则直线 EF 与 BC 的位置关系 是 . 图 7 15.如图8,在△ABC中,∠A=80°,延长BC到点D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相交于点 A2,依此类推,∠A4BC 与∠A4CD 的平分线相交于点 A5,则∠A5 的 度数是
图8 三、解答题(共48分) 16(6分)指出下列命题的条件和结论 (1)一个锐角的补角大于这个角的余角 (2)不相等的两个角不是对顶角 (3)异号两数相加得零 17.(8分)“如果a>b那么αc>bc”是真命题还是假命题?如果是假命题,举一个反例并添加适当 的条件使它成为真命题 18.(8分)证明两条平行线被第三条直线所截,组同位角的角平分线互相平行
图 8 三、解答题(共 48 分) 16.(6 分)指出下列命题的条件和结论. (1)一个锐角的补角大于这个角的余角; (2)不相等的两个角不是对顶角; (3)异号两数相加得零. 17.(8 分)“如果 a>b,那么 ac>bc”是真命题还是假命题?如果是假命题,举一个反例并添加适当 的条件使它成为真命题. 18.(8 分)证明:两条平行线被第三条直线所截,一组同位角的角平分线互相平行
19(8分)如图9,有三个判断:①∠1=∠2;②∠B=∠D,③∠A=∠C,请从中任选两个作为条件,另 个作为结论构成一个命题并证明该命题的正确性 20(8分)如图10,∠1=∠ABC,∠2=∠3,GF⊥AC于点F求证BE⊥AC
19.(8 分)如图 9,有三个判断:①∠1=∠2;②∠B=∠D;③∠A=∠C,请从中任选两个作为条件,另 一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性. 图 9 20.(8 分)如图 10,∠1=∠ABC,∠2=∠3,GF⊥AC 于点 F.求证:BE⊥AC
2(10分)如图11,已知直线h∥h2,直线b和直线h分别交于点C和D点P在直线b上 (1)若点P在C,D两点之间运动∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化?若变化请说 明理由;若不变请求出它们之间的关系式 (2)若点P在C,D两点的外侧运动点P与点C,D不重合,则∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系 又如何?
图 10 21.(10 分)如图 11,已知直线 l1∥l2,直线 l3 和直线 l1,l2 分别交于点 C 和 D,点 P 在直线 l3 上. (1)若点 P 在 C,D 两点之间运动,∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系是否发生变化?若变化,请说 明理由;若不变,请求出它们之间的关系式. (2)若点 P 在 C,D 两点的外侧运动(点 P 与点 C,D 不重合),则∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系 又如何? 图 11
答案 1.D2.D3.C4.A5.B6.A7.C8.B 9.如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余 10.假11.5212.答案不唯一,如:5,B,同位角相等,两直线平行 13.30°60°14.平行15.25° 16解:(1)如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角 条件:一个角是锐角;结论这个角的补角大于这个角的余角 (2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 条件两个角不相等结论这两个角不是对顶角 (3)如果两个数异号那么这两个数相加得零 条件两个数异号;结论这两个数相加得零 17.解假命题反例(反例不唯一)a=2,b=1,c=1满足a>b,但2x(-1)×0”,即“如果a>bc>0,那么ac>bc”,那么命题为真命题 18解已知如图AB∥CD,H与ABCD分别交于点MN,MENF分别是∠AMH,∠CNH的平分 线求证:ME∥NF E明:∵AB∥CD, ∴∠AMH=∠CNH(两直线平行,同位角相等 ME,NF分别是∠AMH,∠CNH的平分线 1=∠AMH,∠2=∠CMH, ∴∠1=∠2,ME∥NF(同位角相等两直线平行) 19解:答案不唯一,如:
答案 1. D 2.D 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. B 9.如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余 10.假 11. 52 12. 答案不唯一,如:5,B,同位角相等,两直线平行 13. 30° 60° 14. 平行 15. 2.5° 16.解:(1)如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角. 条件:一个角是锐角;结论:这个角的补角大于这个角的余角. (2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角. 条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角. (3)如果两个数异号,那么这两个数相加得零. 条件:两个数异号;结论:这两个数相加得零. 17.解:假命题.反例(反例不唯一):a=2,b=1,c=-1,满足 a>b,但 2×(-1)0”,即“如果 a>b,c>0,那么 ac>bc”,那么命题为真命题. 18.解:已知:如图,AB∥CD,HI 与 AB,CD 分别交于点 M,N,ME,NF 分别是∠AMH,∠CNH 的平分 线.求证:ME∥NF. 证明:∵AB∥CD, ∴∠AMH=∠CNH(两直线平行,同位角相等). ∵ME,NF 分别是∠AMH,∠CNH 的平分线, ∴∠1= 1 2∠AMH,∠2= 1 2∠CNH, ∴∠1=∠2,∴ME∥NF(同位角相等,两直线平行). 19.解:答案不唯一,如:
已知:∠B=∠D,∠A=∠C 求证:∠1=∠2 证明::∠A=∠C,∴AB∥CD ∴∠B=∠BFC ∠B=∠D ∠BFC=∠D ∴DE∥BF∴:∠DMN=∠BNM ∠1=∠DMN,∠2=∠BNM, 20证明:∵∠1=∠ABC, DE∥BC ∠2=∠3, ∠3=∠EBC GF∥BE GF⊥AC ∴∠GFC=90°, ∠BEC=90°, ∴BE⊥AC 21解(1)不变当点P在C,D两点之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD 理由如下:
已知:∠B=∠D,∠A=∠C. 求证:∠1=∠2. 证明:∵∠A=∠C,∴AB∥CD. ∴∠B=∠BFC. ∵∠B=∠D, ∴∠BFC=∠D. ∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM. ∵∠1=∠DMN,∠2=∠BNM, ∴∠1=∠2. 20.证明:∵∠1=∠ABC, ∴DE∥BC, ∴∠2=∠EBC. ∵∠2=∠3, ∴∠3=∠EBC, ∴GF∥BE. ∵GF⊥AC, ∴∠GFC=90°, ∴∠BEC=90°, ∴BE⊥AC. 21.解:(1)不变.当点 P 在 C,D 两点之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD. 理由如下:
如图②过点P作PE∥h, h∥h2,∴PE∥h∥ln ∠PAC=∠1.∠PBD=∠2 ∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD (2)如图②当点P在C,D两点的外侧运动,且在h上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB 理由如下 h1∥l2, ∠PEC=∠PBD ∠PEC=∠PAC+∠APB ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 如图③当点P在CD两点的外侧运动,且在h2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB 理由如下 7h1∥l2 ∠PED=∠PAC ∠PED=∠PBD+∠APB, ∴∠PAC=∠PBD+∠APB
如图①,过点 P 作 PE∥l1, ∵l1∥l2,∴PE∥l2∥l1, ∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2, ∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD. (2)如图②,当点 P 在 C,D 两点的外侧运动,且在 l1 上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB. 理由如下: ∵l1∥l2, ∴∠PEC=∠PBD. ∵∠PEC=∠PAC+∠APB, ∴∠PBD=∠PAC+∠APB. 如图③,当点 P 在 C,D 两点的外侧运动,且在 l2 下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB. 理由如下: ∵l1∥l2, ∴∠PED=∠PAC. ∵∠PED=∠PBD+∠APB, ∴∠PAC=∠PBD+∠APB