综合滚动练习:等腰三角形与全等、垂直平分线、 角平分线的综合 时间:45分钟分数:100分得分 、选择题(每小题4分,共32分) 1.如图,已知DE∥BC,AB=AC,∠1=125°,则∠C的度数是() A.55°B.45°C.35°D.65° E C第1题图 C第2题图 2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC, 则△BCD的面积为() A.7.5B.8 C.15D.无法确定 3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是【方 法19】( A. AD=bd B. BD=CD C.∠1=∠2D.∠B=∠C C第3题图 C第4题图 4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点.若EC=4, △ABC的周长为23,则△ABD的周长为() A.13B.15C.17D.19 5.如图,△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12,18,24,O是△ABC三条角平分 线的交点,则S△OAB:S△OBC:S△OAc的值为【方法22】() A.1:1:1B.1:2:3 3:4:5 第5 D B第6题图 6.如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A 60°,则∠CDE的度数为() 45°B.50°C.5
综合滚动练习：等腰三角形与全等、垂直平分线、 角平分线的综合 时间：45 分钟 分数：100 分 得分：________ 一、选择题(每小题 4 分，共 32 分) 1．如图，已知 DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C 的度数是( ) A．55° B．45° C．35° D．65° 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线 BD 平分∠ABC， 则△BCD 的面积为( ) A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，则下列结论不一定成立的是【方 法 19】( ) A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C 第 3 题图 第 4 题图 4．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于 E，D 两点．若 EC＝4， △ABC 的周长为 23，则△ABD 的周长为( ) A．13 B．15 C．17 D．19 5．如图，△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长分别 12，18，24，O 是△ABC 三条角平分 线的交点，则 S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值为【方法 22②】( ) A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5 第 5 题图 第 6 题图 6．如图，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠A ＝60°，则∠CDE 的度数为( ) A．45° B．50° C．51° D．52°
7.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D,则以下结 论:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠A的平分线上.正确的是() A.①B.②C.①②D.①②③ A F人 D 8.等腰三角形纸片ABC(AB=AC)可按如图所示的方法折成一个四边形,点A与点B 重合,点C与点D重合,则原等腰△ABC中∠B的度数为( ① A.48°B.60°C.72°D.80° 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,则∠B 10.如图是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤,自然 下垂.调整架身,使点A恰好在重锤线上,则AD和BC的关系为 如图,等边△ABC的周长是12,AD是∠BAC的平分线,则BD的长是 M C第1题图 第12题图 12.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P,PM⊥AC于点M 若PM=6cm,则点P到AB的距离为 13.如图,△ABC是等边三角形,D为AC边上一点,以BD为边作等边△BDE,连接 CE若CD=1,CE=3,则BC的长是 E第13题图
7．如图，AB＝AC，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE，CF 交于点 D，则以下结 论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠A 的平分线上．正确的是( ) A．① B．② C．①② D．①②③ 8．等腰三角形纸片 ABC(AB＝AC)可按如图所示的方法折成一个四边形，点 A 与点 B 重合，点 C 与点 D 重合，则原等腰△ABC 中∠B 的度数为( ) A．48° B．60° C．72° D．80° 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 9．在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝________°. 10．如图是一个三角形测平架，已知 AB＝AC，在 BC 的中点 D 处挂一个重锤，自然 下垂．调整架身，使点 A 恰好在重锤线上，则 AD 和 BC 的关系为____________． 11．如图，等边△ABC 的周长是 12，AD 是∠BAC 的平分线，则 BD 的长是________． 第 11 题图 第 12 题图 12．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 P，PM⊥AC 于点 M. 若 PM＝6cm，则点 P 到 AB 的距离为________． 13．如图，△ABC 是等边三角形，D 为 AC 边上一点，以 BD 为边作等边△BDE，连接 CE.若 CD＝1，CE＝3，则 BC 的长是________． 第 13 题图
14.如图,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B在A1B上取点C,延长AA1到点A2 使得A1A2=AC在A2C上取点D,延长A1A2到点A3,使得A2A3=A2D,则∠A3的度数为 B D AA1A2A第14题图 三、解答题(共44分) 15.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,交AB于 点D (1)若∠A=40°,求∠CBE的度数 (2)若△BCE的周长为8cm,AB=5Cm,求BC的长 16.(10分)如图,BM平分∠ABC,D是BM上一点,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC, 分别交AB于点E,交BC于点F,P是BM上的另一点,连接PE,PF (1)若∠EDF=124°,求∠ABC的度数 (2)试说明:PE=PF 17.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的
14．如图，在△ABA1 中，∠B＝20°，AB＝A1B.在 A1B 上取点 C，延长 AA1 到点 A2， 使得 A1A2＝A1C.在 A2C 上取点 D，延长 A1A2 到点 A3，使得 A2A3＝A2D，则∠A3 的度数为 ________． 第 14 题图 三、解答题(共 44 分) 15．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 AB 于 点 D. (1)若∠A＝40°，求∠CBE 的度数； (2)若△BCE 的周长为 8cm，AB＝5cm，求 BC 的长． 16．(10 分)如图，BM 平分∠ABC，D 是 BM 上一点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥BC， 分别交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，P 是 BM 上的另一点，连接 PE，PF. (1)若∠EDF＝124°，求∠ABC 的度数； (2)试说明：PE＝PF. 17．(12 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 BC 的
延长线于点M (1)若∠A=40°,求∠M的度数 (2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,求∠M的度数: (3)你发现∠A与∠M有什么关系?请说明理由 A 8.(12分)如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三 角形”.例如,在△ABC中,如果∠A=50°,∠B=100°,那么△ABC就是一个“倍角三 角形” (1)已知倍角三角形的一个内角为150°,求这个三角形的另两个角的度数 (2)已知倍角三角形是一个等腰三角形,求它的顶角的度数 参考答案与解析
延长线于点 M. (1)若∠A＝40°，求∠M 的度数； (2)如果将(1)中∠A 的度数改为 70°，其余条件不变，求∠M 的度数； (3)你发现∠A 与∠M 有什么关系？请说明理由． 18．(12 分)如果三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍，那么称这个三角形为“倍角三 角形”．例如，在△ABC 中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC 就是一个“倍角三 角形”． (1)已知倍角三角形的一个内角为 150°，求这个三角形的另两个角的度数； (2)已知倍角三角形是一个等腰三角形，求它的顶角的度数． 参考答案与解析
1.A2.A3.A4B5C6.A7D 8.C解析:如图,由题可知AD=BD=BC,∠A=∠ABD,∠C=∠BDC, ∠BDC=180-∠ADB=2∠A∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠A.∵∠A+∠ABC+∠C= 0°,∴5∠A=180°,即∠A=36°,∴∠ABC=72° D F C 9.5010.AD垂直平分BC11.2126cm13.4 20°解析:∵AB=AB,∠B=20°,∴∠A1B=∠A=(180°-∠B)=80°,∠CA1h 1009∵4C=AL42,∴∠A42C=∠ACA2=(1800-∠CA42)=40°,∴∠DA243 140°.∵A2A3=A2D,∴∠DAy42=(180°-∠DA43)=20 15.解:(1)∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=70°(2分)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE, ∴∠ABE=∠A=40°,∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=70°-40°=30°(5分) (2)∵△BCE的周长为8cm,∴BE+EC+BC=8cm.∵AE=BE,∴AE+EC+BC=8cm (8分)∴AC+BC=8cm.∵AC=AB=5cm,∴BC=8-5=3(cm).(10分) 16.解:(1)∵BM平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∠EBD =∠FBD,DE=DF,∴:△EDB≌△FDB(A,(3分):∠BDE=∠BDF=1∠EDF=62°, ∠EBD=90°-62°=28°,∴∠ABC=2∠EBD=56°(5分) (2)∵∠BDE=∠BDF,∴∠EDP=∠FDP(6分)在△EDP和△FDP中, ED=FD ∠EDP=∠FDP,∴△EDP≌△FDP(SAS),∴PE=PF(10分) DP= DP 17.解:(1)∵AB=AC,∠A=40°,∴∠B=∠ACB=70°∵MN⊥AB,∴∠MNB=90°, ∠M=90°—∠B=20°(3分) 9(2)∵AB=AC,∠A=7P,∴∠B=∠ACB=55N⊥AB,∴∠MNB=90,∴∠M ∠B=35°(6分) (3)21=2<A(8分)理由如下:∵AB=AC,∴∠B=∠ACO≈180° 分)MN⊥AB,∴∠MNB=90°,∴∠M=90°-∠B=∠A(12分) 18.解:(1)当内角150°是另一个内角的2倍时,则另一内角的度数为75°此时三角形 的内角和超过180°,不符合.(2分)∴另两个内角互为2倍关系,且和是1809-150=30°, ∴另两个角的度数是20°和10°(5分) ×(2)当顶角是底角的2倍时,设三角形底角的度数是x,则顶角的度数为2x由题意得x x+2x=180°,解得x=45°,∴2x=90°(8分)当底角是顶角的2倍时,设顶角为y,则底
1．A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D 8．C 解析：如图，由题可知 AD＝BD＝BC，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，∴∠C＝ ∠BDC＝180°－∠ADB＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝ 180°，∴5∠A＝180°，即∠A＝36°，∴∠ABC＝72°. 9．50 10.AD 垂直平分 BC 11.2 12.6cm 13.4 14．20° 解析：∵AB＝A1B，∠B＝20°，∴∠AA1B＝∠A＝ 1 2 (180°－∠B)＝80°，∴∠CA1A2 ＝ 100°.∵A1C ＝A1A2 ， ∴∠A1A2C＝ ∠A1CA2 ＝ 1 2 (180°－ ∠CA1A2) ＝ 40°， ∴∠DA2A3 ＝ 140°.∵A2A3＝A2D，∴∠DA3A2＝ 1 2 (180°－∠DA2A3)＝20°. 15．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝70°.(2 分)∵DE 垂直平分 AB，∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝40°，∴∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝70°－40°＝30°.(5 分) (2)∵△BCE 的周长为 8cm，∴BE＋EC＋BC＝8cm.∵AE＝BE，∴AE＋EC＋BC＝8cm， (8 分)∴AC＋BC＝8cm.∵AC＝AB＝5cm，∴BC＝8－5＝3(cm)．(10 分) 16．解：(1)∵BM 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，∠EBD ＝∠FBD，DE＝DF，∴△EDB≌△FDB(AAS)，(3 分)∴∠BDE＝∠BDF＝ 1 2 ∠EDF＝62°， ∴∠EBD＝90°－62°＝28°，∴∠ABC＝2∠EBD＝56°.(5 分) (2)∵∠BDE ＝ ∠BDF ， ∴∠EDP ＝ ∠FDP.(6 分 ) 在 △EDP 和 △FDP 中 ， ED＝FD， ∠EDP＝∠FDP， DP＝DP， ∴△EDP≌△FDP(SAS)，∴PE＝PF.(10 分) 17．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°.∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°， ∴∠M＝90°－∠B＝20°.(3 分) (2)∵AB＝AC，∠A＝70°，∴∠B＝∠ACB＝55°.∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠M＝ 90°－∠B＝35°.(6 分) (3)∠M ＝ 1 2 ∠A.(8 分) 理 由如 下 ： ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝ ∠ACB ＝ 180°－∠A 2 .(10 分)∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝ 1 2 ∠A.(12 分) 18．解：(1)当内角 150°是另一个内角的 2 倍时，则另一内角的度数为 75°.此时三角形 的内角和超过 180°，不符合．(2 分)∴另两个内角互为 2 倍关系，且和是 180°－150＝30°， ∴另两个角的度数是 20°和 10°.(5 分) (2)当顶角是底角的 2 倍时，设三角形底角的度数是 x，则顶角的度数为 2x.由题意得 x ＋x＋2x＝180°，解得 x＝45°，∴2x＝90°.(8 分)当底角是顶角的 2 倍时，设顶角为 y，则底
角的度数为2y由题意得y+2y+2y=180°,解得y=36°(11分)故它的顶角的度数是90°或
角的度数为 2y.由题意得 y＋2y＋2y＝180°，解得 y＝36°.(11 分)故它的顶角的度数是 90°或 36°.(12 分)