易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题 错归纳,各个击破 ◆类型一求长度时忽略三边关系 1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为() A.12B.9 C.12或9D.9或7 2.学习了三角形的有关问题后,王老师请同学们交流这样一个问题:“已知一个等腰 三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另外两条边的长.”同学们经过片刻思考和交流 后,小明同学举手说:“另两条边长为3,6或45,4.5”.你认为小明回答是否正确 理由是 3.某等腰三角形的一边长是5m,周长是20cm,求此等腰三角形其他两边的长 4.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分,求这个 角形的腰长和底边的长 ◆类型二当腰和底不明求角度时没有分类讨论 5.已知某等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数为() A.50°B.80° C.50°或80°D.40°或65° 6.某等腰三角形的一个外角为100°,则它的顶角的度数为
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 ——易错归纳，各个击破 ◆类型一 求长度时忽略三边关系 1．若一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5，则它的周长为( ) A．12 B．9 C．12 或 9 D．9 或 7 2．学习了三角形的有关问题后，王老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰 三角形的周长是 12，其中一条边长为 3，求另外两条边的长．”同学们经过片刻思考和交流 后，小明同学举手说：“另两条边长为 3，6 或 4.5，4.5”．你认为小明回答是否正确：________， 理由是______________________． 3．某等腰三角形的一边长是 5cm，周长是 20cm，求此等腰三角形其他两边的长． 4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成 9cm 和 15cm 两部分，求这个三 角形的腰长和底边的长． ◆类型二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论 5．已知某等腰三角形的一个内角为 50°，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A．50° B．80° C．50°或 80° D．40°或 65° 6．某等腰三角形的一个外角为 100°，则它的顶角的度数为__________．
7.已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为2:1,求这个等腰三角形顶角的度数 8.★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,试求该大等腰三角形顶角 的度数(要求画出相应图形,并写出求解过程) ◆类型三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论 9.某等腰三角形的一内角为80°,则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是 0.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为 50°,则∠B等于 11.★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°,试求这个等腰三角形各内角的 度数 ◆类型四两点固定,另一点不固定,确定三角形个数时漏解 12.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A,B是格点,以A,B,C为等腰三角
7．已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为 2∶1，求这个等腰三角形顶角的度数． 8．★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角 的度数(要求画出相应图形，并写出求解过程)． ◆类型三 三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论 9．某等腰三角形的一内角为 80°，则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是 __________． 10．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到的锐角为 50°，则∠B 等于________________． 11．★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 20°，试求这个等腰三角形各内角的 度数． ◆类型四 两点固定，另一点不固定，确定三角形个数时漏解 12．如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，A，B 是格点，以 A，B，C 为等腰三角
形顶点的所有格点C的个数为【易错7】() A.7个B.8个 C.9个D.10个 B A 第12题图 ●·第13题图 3.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图 中已有两个阵点分别标为A,B,请在此点阵图中找一个阵点C,使得以A,B,C为顶点 的三角形是等腰三角形,则符合条件的C点有 个.【易错7】 参考答案与解析 L. A
形顶点的所有格点 C 的个数为【易错 7】( ) A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个 第 12 题图 第 13 题图 13．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图 中已有两个阵点分别标为 A，B，请在此点阵图中找一个阵点 C，使得以 A，B，C 为顶点 的三角形是等腰三角形，则符合条件的 C 点有________个．【易错 7】 参考答案与解析 1．A
2.不正确3,3,6不能构成三角形 3.解:当腰长为5cm时,底边长为20-5×2=10(cm).∵∴5+5=10,∴不能构成三角 形.当底边长为5cm时,腰长为20-5)×=7.5(cm).∵7.5+5>7.5,∴可以构成三角形, 当5cm为底边时,其他两边的长为75cm,7.5cm 4.解:设腰长为xcm.分两种情况进行讨论.(1)当腰长与腰长的一半的和是9cm时,x x=9,解得x=6,∴底边长为15-—×6=12(cm).∵6+6=12,∴6cm,6cm,12am不 能组成三角形 (2)当腰长与腰长的一半的和是15cm时,x+x=15,解得x=10,∴底边长为9-× 10=4(cm).∵4+10>10,∴10cm,10cm,4cm能组成三角形.综上所述,三角形的腰长 为10cm,底边长为4cm 5.C6.80°或20° 7.解:分两种情况进行讨论:(1)当底角与顶角的度数比是2:1时,等腰三角形的顶 角是18536°:(2)当顶角与底角的度数比是2:1时,等腰三角形的顶角是180°× 90°即该等腰三角形的顶角为36°或90° 8.解:分四种情况讨论:(1)如图①,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,∴∠B ∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD.∵∠CDA=180°-∠BDA=180°-(180°-∠B-∠BAD= 2∠B,∴∠BAC=3∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=1809,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,∴∠BAC 2)如图②,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC ∠B.∴∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠B=45°,∴∠BAC=90° (3)如图③,△ABC中,AB=AC,BD=AD=BC,∴∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC ∠C.∵∠BDC=180°-∠BDA=2∠A,∴∠C=2∠A,∴∠ABC=2∠A∴∵∠A+∠ABC+ ∠C=180°,∴5∠A=180°,∴∠A=36°; A A (4)如图④,△ABC中,AB=AC,BD=AD,CD=BC设∠A=x∴:AD=BD,∴∠DBA A=x,∴∠BDC=180°一∠ADB=2x.∵AB=AC,∴∠DBC=-x∵CD=BC, 180°-x ∴∠BDC=∠DBC,∴2x= 7
2．不正确 3，3，6 不能构成三角形 3．解：当腰长为 5cm 时，底边长为 20－5×2＝10(cm)．∵5＋5＝10，∴不能构成三角 形．当底边长为 5cm 时，腰长为(20－5)× 1 2 ＝7.5(cm)．∵7.5＋5＞7.5，∴可以构成三角形， ∴当 5cm 为底边时，其他两边的长为 7.5cm，7.5cm. 4．解：设腰长为 xcm.分两种情况进行讨论．(1)当腰长与腰长的一半的和是 9cm 时，x ＋ 1 2 x＝9，解得 x＝6，∴底边长为 15－ 1 2 ×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm 不 能组成三角形． (2)当腰长与腰长的一半的和是 15cm 时，x＋ 1 2 x＝15，解得 x＝10，∴底边长为 9－ 1 2 × 10＝4(cm)．∵4＋10＞10，∴10cm，10cm，4cm 能组成三角形．综上所述，三角形的腰长 为 10cm，底边长为 4cm. 5．C 6.80°或 20° 7．解：分两种情况进行讨论：(1)当底角与顶角的度数比是 2∶1 时，等腰三角形的顶 角是 180°× 1 5 ＝36°；(2)当顶角与底角的度数比是 2∶1 时，等腰三角形的顶角是 180°× 2 4 ＝ 90°.即该等腰三角形的顶角为 36°或 90°. 8．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，∴∠B ＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD.∵∠CDA＝180°－∠BDA＝180°－(180°－∠B－∠BAD)＝ 2∠B，∴∠BAC＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC ＝108°； (2)如图②，△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°. (3)如图③，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠C.∵∠BDC＝180°－∠BDA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∴∠ABC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋ ∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°； (4)如图④，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠DBA ＝∠A＝x，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝2x.∵AB＝AC，∴∠DBC＝ 180°－x 2 －x.∵CD＝BC， ∴∠BDC＝∠DBC，∴2x＝ 180°－x 2 －x，∴x＝ 180° 7
综上所述,这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36° 方法点拨:本题应使用方程思想,根据等腰三角形等边对等角,再结合三角形的内角和 求角度.正确把握题意,归纳出四种情形,防止漏解是解题关键 9.10°或40°10.70°或20° 11.解:分两种情况进行讨论:(1)如图①,当△ABC(AB=AC为锐角三角形时,∠ABD 20°,BD⊥AC,…∴∠A=70°,∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=55:(2)如图②,当△ ABC(AB AC)为钝角三角形时,∠ABD=20°,BD⊥AC,∴∠DAB=70°,∴∠BAC=110°,∴∠ABC C=180°-∠BO=39综上所述,这个等腰三角形各内角的度数分别为 55°或110°,35°,35° D D 图① 图② 12.B解析:符合条件的点数有8个,如图所示 C 第12题图 13.5解析:如图,分别以AB为腰、底找等腰三角形,故符合条件的C点有5个 B 第13题图
综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为 108°或 90°或 36°或 180° 7 . 方法点拨：本题应使用方程思想，根据等腰三角形等边对等角，再结合三角形的内角和 求角度．正确把握题意，归纳出四种情形，防止漏解是解题关键． 9．10°或 40° 10.70°或 20° 11．解：分两种情况进行讨论：(1)如图①，当△ABC(AB＝AC)为锐角三角形时，∠ABD ＝20°，BD⊥AC，∴∠A＝70°，∴∠ABC＝∠C＝ 1 2 (180°－∠A)＝55°；(2)如图②，当△ABC(AB ＝AC)为钝角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠DAB＝70°，∴∠BAC＝110°，∴∠ABC ＝∠C＝ 1 2 (180°－∠BAC)＝35°.综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别为 70°，55°， 55°或 110°，35°，35°. 12．B 解析：符合条件的点数有 8 个，如图所示． 第 12 题图 13．5 解析：如图，分别以 AB 为腰、底找等腰三角形，故符合条件的 C 点有 5 个． 第 13 题图