类比归纳专题:等腰三角形中辅助线的作法 -形成精准思维模式,快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1.如图,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BE于点E,且∠ABE=∠ABC若BE=2,则 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC上的点 且AE=AF试说明:DE=DF 3.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且 EA=EC,试说明:EB⊥AB 、构造等腰三角形
类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE⊥BE 于点 E，且∠ABE＝∠ABC.若 BE＝2，则 BC＝________. 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 上的点， 且 AE＝AF.试说明：DE＝DF. 3．如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且 EA＝EC，试说明：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形
4.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,且AP⊥BP于点P,连接CP若△PBC的面积 为2,则△ABC的面积为() A.3 B.4 D.6 5.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D CE⊥BD试说明:BD=2CE ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等 6.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分 别在AC,BC上,且CE=BF,试说明:DE=DF B ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
4．如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，且 AP⊥BP 于点 P，连接 CP.若△PBC 的面积 为 2，则△ABC 的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， CE⊥BD.试说明：BD＝2CE. ◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等 6．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，DE⊥DF，点 E，F 分 别在 AC，BC 上，且 CE＝BF，试说明：DE＝DF. ◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于D,试说明 BC=AB+CD 8.★如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上 点,且PA=CQ,连接PQ交AC于点D (1)试说明:PD=DQ;[提示:过点P作PF∥BC交AC于点F (2)若△ABC的边长为1,求DE的长 参考答案与解析
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝108°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，试说明： BC＝AB＋CD. 8．★如图，过等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上 一点，且 PA＝CQ，连接 PQ 交 AC 于点 D. (1)试说明：PD＝DQ；[提示：过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F] (2)若△ABC 的边长为 1，求 DE 的长． 参考答案与解析 1．4
2.解:连接AD∴AB=AC,D是BC的中点,∴∠EAD=∠EAD又∵AE=AF,AD= AD,∴△AED≌△ AFD(SAS),∴DE=DF 3.解:过点E作EF⊥AC于F,∴∠AFE=90°∵EA=EC,∴AF=FC=AC∴AC= AB,∴F=AB∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵AE=AE,∴△ABE≌△AFE(SAS) ∴∠ABE=∠AFE=90°,∴EB⊥AB 4.B 5.解:如图,延长BA和CE交于点M∵CE⊥BD,∴∠BEC=∠BEM=90°∵BD平 分∠ABC,∴∠MBE=∠CBE.又∵BE=BE,∴△BME≌△BCE(ASA),∴EM=EC MC∴∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠MAC=90°,BA=AC,∴∠ABD+∠BDA= 90°∵∠BEC=90°,∴∠ACM+∠CDE=90°∵∠BDA=∠EDC,∴∠ABE= ∠ACM.∴△ABD≌△ACM(ASA),∴DB=MC,∴BD=2CE B A M 解:连接CD∵AC=BC,D是AB的中点,∴CD平分∠ACB,CD⊥AB,∴∠CDB 90°∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACD=45°,∴∠B=180-∠CDB-∠BCD=45° ∠ACD=∠B.∵ED⊥DF,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°∵∠CDF+∠BDF=90° ∠EDC=∠FDB又∵CE=BF,∴△ECD≌△ FBD(AAS),∴DE=DF 7.解:如图,在线段BC上截取BE=BA,连接DE.∵∴BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD =∠ABC又∵BD=BD,∴△ABD≌△EBD(SAS),∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB, ∴∠DEC=180°—∠BED=180°—108°=72°∵AB=AC,∠A=108,∴∠ACB=∠ABC= (180-108°)=36°,∴∠ABD=∠EBD=18°,∴∠ADB=∠EDB=180°-∠ABD-∠A= 180°-18°-108°=54°,∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°,∴∠CDE ∠DEC过点C作CF⊥DE,∴∠CFD=∠CFE=90°∵∠CDF=∠CEF,CF=CF ∴△CDF≌△CEF,∴CD=CE,∴BC=BE+EC=AB+CD 解:(1)过点P作PF∥BC交AC于点F,∴∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠Q,∠PFD ∠QCD∴△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,∴∠A=∠AFP=∠APF=60 △APF是等边三角形,∴PF=PA=CQ,∴△PFD≌△QCD,∴PD=DQ (2)∵△APF是等边三角形,PE⊥AC,∴AE=EF∴△PFD≌△QCD,∴CD=DF,DE EF+DF=AF+CF=AC.又∵AC=1,∴DE=
2．解：连接 AD.∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵AE＝AF，AD＝ AD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF. 3．解：过点 E 作 EF⊥AC 于 F，∴∠AFE＝90°.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝ 1 2 AC.∵AC＝ 2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB. 4．B 5．解：如图，延长 BA 和 CE 交于点 M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平 分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE. 又∵BE ＝BE ，∴△BME≌△BCE(ASA) ，∴EM ＝EC＝ 1 2 MC.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝ 90°.∵∠BEC ＝ 90°， ∴∠ACM ＋ ∠CDE ＝ 90°.∵∠BDA ＝ ∠EDC ， ∴∠ABE ＝ ∠ACM.∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE. 6．解：连接 CD.∵AC＝BC，D 是 AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠B.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.∵∠CDF＋∠BDF＝90°， ∴∠EDC＝∠FDB.又∵CE＝BF，∴△ECD≌△FBD(AAS)，∴DE＝DF. 7．解：如图，在线段 BC 上截取 BE＝BA，连接 DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD ＝ 1 2 ∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB， ∴∠DEC＝180°－∠BED＝180°－108°＝72°.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝ 1 2 ×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－∠ABD－∠A＝ 180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC.过点 C 作 CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFE＝90°.∵∠CDF＝∠CEF，CF＝CF， ∴△CDF≌△CEF，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD. 8．解：(1)过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC 为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝∠APF＝60°， ∴△APF 是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ. (2)∵△APF 是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE ＝EF＋DF＝ 1 2 AF＋ 1 2 CF＝ 1 2 AC.又∵AC＝1，∴DE＝ 1 2
