解题技巧专题:平行线中作辅助线的方法 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1.如图,AB∥EF,CD⊥EF于点D若∠ABC=40°,则∠BCD的度数为 A.140°B.130°C.120°D.110° A 400B F第1题图 140第2题图 2.如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的度数为() A.20°B.30°C.40°D.70° 3.如图,某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯,当光柱相交在同一个平面时, ∠2+∠3 第3题图 第4题图 4.(2017枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放,两个三 角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的 个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是 5.如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你 从所得到的关系中任选一个加以说明.【方法8】 P A B C 图① 图④4
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 ◆类型一 含一个拐点的平行线问题 1．如图，AB∥EF，CD⊥EF 于点 D.若∠ABC＝40°，则∠BCD 的度数为( ) A．140° B．130° C．120° D．110° 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD 的度数为( ) A．20° B．30° C．40° D．70° 3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1 ＋∠2＋∠3＝________°. 第 3 题图 第 4 题图 4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三 角板的一直角边重合，含 30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板的 一个顶点在纸条的另一边上，则∠1 的度数是________． 5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB，∠PCD 的关系，请你 从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法 8】
◆类型二含两个或多个拐点的平行线问题 6.如图,AB∥CD,用含∠1,∠2,∠3的式子表示∠4,则∠4的值为() A.∠1+∠2-∠3B.∠1+∠3 C.180°+∠3-∠1-∠2D.∠2+∠3-∠1-180° E F D第6题图 l2第7题图 7.如图,直线l1∥l2,∠a=∠β,∠1=40°,则∠2= 8.如图,AB∥CD,试解决下列问题: (1)如图①,∠1+∠2 (2)如图②,∠1+∠2+∠3 (3)如图③,∠1+∠2+∠3+∠4= (4)如图④,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= B B E Eq2 N C D 图① 图② 图③ 图④ 9.(1)如图①,AB∥CD,则∠2+∠4与∠1+∠3+∠5有何关系?请说明理由 (2)如图②,AB∥CD,试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系 吗?若有,请直接写出,并将它们推广到一般情况,用一句话写出你的结论 B 6 图① 参考答案与解析
◆类型二 含两个或多个拐点的平行线问题 6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3 的式子表示∠4，则∠4 的值为( ) A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2 C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180° 第 6 题图 第 7 题图 7．如图，直线 l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°. 8．如图，AB∥CD，试解决下列问题： (1)如图①，∠1＋∠2＝________； (2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________； (3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________； (4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________． 9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4 与∠1＋∠3＋∠5 有何关系？请说明理由； (2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6 与∠1＋∠3＋∠5＋∠7 还有类似的数量关系 吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论． 参考答案与解析
1.B解析:过点C向右作CG∥AB,由题意可得AB∥EF∥CG,∠B=∠BCG,∠GCD 90°,则∠BCD=40°+90°=130°故选B 2.B解析:如图,过点C作CF∥DE,则AB∥DE∥CF,∴∠BCF=∠ABC=70°, ∠CDE+∠DCF=180°,∴∠DCF=180°-∠CDE=180°-140°=40°,∴∠BCD=∠BCF ∠DCF=70°-40°=30°故选B B 70° E 140° 4.15°解析:如图,过A点作AB∥a,∴∠1=∠2∴∵a∥b,∴AB∥b,∴∠3=∠4 30°∵∠2+∠3=45°,∴∠2=15°,∴∠1=15° B 5.解:如图①,过点P作PF∥AB,则AB∥PF∥CD.∠PAB=∠APF,∠PCD=∠FPC ∴∠APC=∠APF+∠FPC=∠PAB+∠PCD A B A B F D 图① 图 图④ 如图②,过点P作PF∥AB,则AB∥PF∥CD∠PAB+∠APF=180°,∠PCD+∠FPC 180°,∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°; 如图③,过点P作PF∥AB,则PF∥AB∥CD∠FPA+∠PAB=180°,∠FPA+∠APC ∠PCD=180°,∴∠PAB=∠APC+∠PCD 如图④,过点P作PF∥AB,则PF∥AB∥CD.∴∠FPA=∠PAB,∠PPA+∠APC= ∠PCD,∴∠PAB+∠APC=∠PCD 6.D解析:如图,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥CD.∵AB∥CD AB∥CD∥EG∥FH,∴∠1=∠AEG,∴∠GEF=∠2-∠1.∵EG∥FH,∴∠EFH=180° ∠GEF=1809-(∠2-∠1)=180°-∠2+∠1,∴∠CHH=∠3-∠EFH=∠3-(180° 2+∠1)=∠3+∠2-∠1-180°∵FH∥CD,∴∠4=∠CFH=∠3+∠2-∠1-180°故选 A E F 140解析:如图,延长AE交h于点B.∴h∥h2,∴∠3=∠1=40°:∠a=∠B, AB∥CD.∴∠2+∠3=180°,∴∠2=180°—∠3=180°-40°=140° E∠a
1．B 解析：过点 C 向右作 CG∥AB，由题意可得 AB∥EF∥CG，∴∠B＝∠BCG，∠GCD ＝90°，则∠BCD＝40°＋90°＝130°.故选 B. 2．B 解析：如图，过点 C 作 CF∥DE，则 AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝70°， ∠CDE＋∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCF －∠DCF＝70°－40°＝30°.故选 B. 3．360 4．15° 解析：如图，过 A 点作 AB∥a，∴∠1＝∠2.∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4 ＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°. 5．解：如图①，过点 P 作 PF∥AB，则 AB∥PF∥CD.∴∠PAB＝∠APF，∠PCD＝∠FPC， ∴∠APC＝∠APF＋∠FPC＝∠PAB＋∠PCD； 如图②，过点 P 作 PF∥AB，则 AB∥PF∥CD.∴∠PAB＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC ＝180°，∴∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°； 如图③，过点 P 作 PF∥AB，则 PF∥AB∥CD.∴∠FPA＋∠PAB＝180°，∠FPA＋∠APC ＋∠PCD＝180°，∴∠PAB＝∠APC＋∠PCD； 如图④，过点 P 作 PF∥AB，则 PF∥AB∥CD.∴∠FPA＝∠PAB，∠FPA＋∠APC＝ ∠PCD，∴∠PAB＋∠APC＝∠PCD. 6 ． D 解 析 ： 如图 ， 过点 E 作 EG∥AB ，过点 F 作 FH∥CD.∵AB∥CD ， ∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180° －∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－ ∠2＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选 D. 7．140 解析：如图，延长 AE 交 l2 于点 B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β， ∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°
8.(1)180°(2)360°(3)540°(4)(n-1)180° 解析:(1)如图①,∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180° B B B E<2 3 F Eps-h b----G E(2I----F D 图① 图② 图④ (2)如图②,过点E作直线EF平行于AB∴AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,∴∠1+∠AEF 180°,∠FEC+∠3=180°,∴∠1+∠2+∠3=360 (3)过点E,F作EG,FH平行于AB∵AB∥CD,∴AB∥EG∥FH∥CD,∴∠1+∠AEG 180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=540° (4)根据上述规律,显然作(n-2)条辅助线,运用(n-1)次两条直线平行,同旁内角互补, 即可得到n个角的和是(n-1)·180° 9.解:(1)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5理由如下:如图,分别过点E,G,M作EF∥AB, GH∥AB,MN∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN,∴∠1=∠BEF,∠FEG= ∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5,∵∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN ∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5 B E D C (2)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7结论:开口朝左的所有角的度数之和与开口朝 右的所有角的度数之和相等
8．(1)180° (2)360° (3)540° (4)(n－1)·180° 解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°； (2)如图②，过点 E 作直线 EF 平行于 AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF ＝180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°. (3)过点 E，F 作 EG，FH 平行于 AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°. (4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补， 即可得到 n 个角的和是(n－1)·180°. 9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点 E，G，M 作 EF∥AB， GH∥AB ，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF ，∠FEG＝ ∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN ＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5. (2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝 右的所有角的度数之和相等．